2023年高考数学第34讲 割补法与等积法

第34讲割补法与等积法

一、知识概要

1割补法

割补法包括分割法和补体法，求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体，锥体，分

别求出雉体和柱体的体积，从而得出几何体的体积，这种方法称为分割法.用于直接解题较困

难，分割后化繁为简,使问题较易获得解快，但有时候，所给的几何体并不复杂，却很难直接计算求

解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分.通过添补适当的几何体，将其扩展为新的、

其特征为我们比较熟悉的几何体，以便于从整体上宏观把握，处理局部问题的一种方法称为补体

法，体现了拓展空间，从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.

分割法与补体法合在一起称为割移法.

2等积法（又称等积变换法）

（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面.（1）求体积时，可选

择“容易计算''的方式来计算；（2）利用“等积法”可求“点到面的吟离”，关键是在面中选取3个点,

与已知点构成三棱锥.

（2）等积变换法充分体现了转化的数学思想，在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.

二、题型精析

图3-84

【例11（1）如图3-84所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB,AC,

AD两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面

ADGC,AB=AD=DG^2,AC=EF^l,则该多面

体的体积为（）.

A.2

B.4

C.6

D.8

图3-85

(2)如图3-85所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且

VADENBCF均为正三角形.EF//AB,EF=2,则该多面体的体

积为().

A.---

3

B百

3

【策略点击】本例两小题给出的都是不规则几何体，直接求体积比较困难,可以将这个几何体分

割成若干规则的几何体，从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成)，也可认运用补体

法补成一个规则几何体再求解，如第(1)问，可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一

个正方体;第(2)问，不同的分割可以引发一题多解与发散思维，这种解法体现了割补思想和等积

变换思想.

图3-86

【解】：(1)【解法一】(割)如图3-86所示，过点C作S_LOG于“，联结

把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三

棱柱BEF-CHG.

于是所求几何体的体积为

-D£=f|x2xlJx2+f|x2xljx

,A。+5丫际

2=4.

【解法二】（补）如图3-87所示.将多面体补成棱长为2的正方

体.显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半.

于是所求几何体的体积V=1X23=4.

2

图3-88

（2）【解法一】（分割法一）如图3-88所示,分别过A,B作EF的垂

线，垂足分别为点G,H.联结DG,CH.

则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱，锥高

；，柱高1.AG=J12-^=亭，取AD中点M,则

MG=—

2

V2也xl+2xk也x

434

1V2

2-V

【解法二】（分割法二）如图3-89所示，取EF中点

P,则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉，易知三棱雉P-AED和三棱雉P-BCF

都是棱长为1的正四面体,四棱雉P-ABCD为棱长为1的正四棱雉.

323433

【例2】已知直三棱柱ABC-AMG中，452G是用一平面截得的截面，且AA2=h,,

，若7ABC的面积为S.求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积

为短=：5（4+4+为）.

策略点击由于几何体A2B2C2-ABC是一个不规则的几何体，为求得其体积不妨采用分割

或补体的方法来求解和证明.

【证法一】（分割）为了讨论方便，不妨设礴呢%,可将几何体ABC-A2B2C2分割成一

个小直三棱柱与两个三

B

图3-90

棱雉.如图3-90所示，过A作A2B3//AB交B2B

于％过力作B3C3//BC交c2c于C3.联结AC3,

不。3，则几何体ABC-482G被分割成直三棱柱ABC—483G、三棱雉

巴―A233c3、二棱锥4—B1C3c2

设BC=x,A至IJBC的距离为d,则S=-xd.由于

2

-A263c3=；S（为一九）,

匕804%二M，5

匕2一当Gq=jSv玛c3G=§.5（4_//!）.x.d=1S（0一4）.

故KtBC-AjBjCj=K\BC-A,B,CJ++匕2-%C3c2=qS（4+为+a）.

【证法二】（补体）将几何体ABC-A2B2C2以7ABe为底面进行两次等几何体补形，使侧

棱的长均为4+a+%,这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱.

而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的-,

3

故-A,B、C,二3v新直三植柱=/$（%+H+4）.

M

f\i\

C

图3-91

［例3］如图3—91所示,三棱锥A-BCD中，AB±平面BCD,

CDA.BD

(1)求证：CD±平面ABD;

⑵若AB=BD=CD=1,M为AD中点，求三棱雉

A-MBC的体积.

【策略点击】利用三棱锥的“等积法”，即体积计算时，可以任一个面作为三棱锥的底面，利用“等

积法'’可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点，与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体

现了转化的数学思想，在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.

解：⑴证明：：平面BCD,CDLBD,CDu平面ABD,BDu平面ABD,

：.CD1平面ABD.

⑵【解法一】由AB_L平面BCD,得ABVBD,

QAB-BD=1,SVABD=~-

QM为AD中点，SVABM=万5丫®=z

由(1)知,CC平面ABD,

三棱锥C-A8W的高h=CD=\.

因此三棱雉A-MBC的体积匕一

1

~n'

M

图3-92

【解法二】由AB_L平面BCD知，平面ABDI.平面BCD.

又平面ABDc平面BCD=BD,过点M作MN1BD交BD于点N,如图

3-92

所示，则MNX.平面BCD,且MN=LAB=L

22

又CDJ.BD,BD=CD=1,;.SVBCD=3•

•••三棱傕A-MBC的体积VA_MBC=VA_BCD-VM_BCD=^AB-SVfiCD-^MN.

S^BCD~,

【方法提炼】

1割补法

割补法是高中数学中的重要思想方法之一，是割法与补法的总称.割法是把复杂的几何体切割

成简单的几何体，把复杂的几何图形切割成规范的几何图形.补法是把不熟悉的（或复杂的）几

何体延伸或补成熟悉（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割与补是对立统一的,

是一个问题的两个相反方向.“割”就是"分解"，"补"就是“合成从哲学的角度分析，分与合是矛

盾对立的双方，因此，完整地说，割补法的实质是分解O合成，分割日拼补的辩证思考,属于整

体与局部数学思想范畴.

有些立体几何问题，根据已知图形直接求解较为困难，若将几何体进行适当的“割”或"补''后，则可

转化为熟悉的容易求解的问题.即变整体为局部，把局部扩展为整体,化不规则为规则,化抽象

为直观，为顺利运用公式，定理解题铺平道路，排除障碍

割补法解立体几何题，常见的方法如下.

（1）斜棱柱补成直棱杜.

（2）棱锥补成棱柱;棱柱割成棱雉.

（3）四面体、三棱雉补成平行六面体.

（4）某些特殊的三棱雉补成长方体或正方体.（5）将某些不规则几何体补形为简单几何体，把

某些不规则且较为复杂的几何体分割成规则的、简单的、方便套用公式的几何体.

2等积法

这里讲的“等积”,指面积或者体积相等，对于某些平面图形和空间图形.其面积和体积的计算可以

有不同的表达，但作为同一个平面图形或空间图形，不管从哪一个角度去计算，面积或体积总是

相等的，等积法就是利用面积或体积相等，把问题转化，化繁为简，化难为易，从而达到解决问题

的目的.这种方法在求三角形的高或者棱雉的高，以及求点到面的距离时可达到事半功倍的效

果.

三、易错警示

【例】正方体容器AC,中盛满水，E,F,G分别是ABrBB「BC的中点，若3个小孔

分别位于E,F,G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的（）.

7

A.

11

B.n

c.5

6

23

D.

24

【错解】：剩下的水的最大容积是截面EFG以下几何体的体积，如

图3-93所示，设CG的中点为M,CR的中点为N,

则截面EFG在正方体ACt的截面是EFMN,设正方体ACt的棱长为1,则三棱柱

BXEF-CXMN的体积

1111

Vf

Vt^EFC'MN=—X—X—X1=—.

2228

17

于是，正方体的水最多会剩下原体积的1-已=」,故

88

选A.

图3-94

【评析及正解】上迥解法是否正确，我们可认考查另一种情形.考虑由B,E,C1确定的截面，如图

3-94所示.此时，另一个小孔在截面BEC}

的上方，此时三棱锥与-喀的体积为Vi十

|-xlxl|xl=—<1.于是，正方体中的水最多会剩下原体

（22）128

积的1一-L=U,故应选B.1.

1212

23

从选项看，还有—,那么，会不会是这个结果呢？我们可以

24

考虑一般的情形.

【正确的解法】如下：

【解】：我们注意到，当正方体中剩下的水最多时，这时的水平面必定经过其中的两个小孔，不妨

设经过小孔瓦G,如图3-95所示，另一个小孔F在该平面的上方.设过E,G的平面与

棱BBrCCi，CR的交点分别为4,P,Q,则流出的水的最小体积是台体B.EH-C.QP

的体积.

设正方体AC,的棱长为2,则=设掇/2),则Cf=2—x.

由YB'EHC7c\QP,得6Q=三

X

于是，台体B}EH-C,QP的体积为

VBIEHCIQP

41

当且仅当％=即x=2时，台体B.EH-C.QP的体积最小，为正方体体积的—.lit

x12

吐点H与点B重合，即截面为VB£C,,故选B.

四，难题攻略

【例】在三棱台ABC—A5G中，翳=；，G为CC,的中点，截面A.BG将棱台分

成上、下两部分，求这两部分体积之比.

【破难析疑】由于合成的两部分都是不规则的儿何体，故需将其分割成几个锥体(特别是三棱

锥)的组合体才便于计算体积之比，需要提醒的是这里有等面积、等高，等体积的运用，使问题的

解答别开生面.

图3-96

【解】：如图3-96所示，联结BC,,A,C