2023年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（5月份）

2023年浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷(5月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若复数z满足z+W=2,|z|=。.则z=()

A.1+iB.1+CiC.l±iD.1+

2.已知R为实数集，集合4=卜|告<1},B={x\^<2x<4],

则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|-1<%<3]

B.{x\2<%<3]

C.{%|1<x<2}

D.{x|-1<%<2}

3.已知平面向量行=(1,3)5=(-2,1)，则()

A.a>KB.(2a-b)16

C.五与石的夹角为钝角D.五在方上的投影向量的模为?

4.如图1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，

其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2,已知正四棱锥的高为4.87m,

其侧棱与图的夹角为45。,则该正四棱锥的体积约为(4.873xii5.5)()

图I

A.231m3B.179m3C.154m3D.77m3

5.已知函数f(x)=y/~3sina)x-coscox(a)>0)>集合｛x6(0,7r)|/(x)=1｝中恰有3个元素,

则实数3的取值范围是()

QQ77

A.弓,3]B.[|,3]C.[p]D.(1,3]

6.某市举行一环保知识竞赛活动.竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题

.其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答

错扣5分.已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均

为暂若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不

放回.则他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的概率为（）

A81「189

A，625B，625C625D・接

7.已知椭圆C：鸟+弓二二1,尸为椭圆的右焦点，曲线y=|x-l|交椭圆C于4,B两点，且

a"a4-1

亩+由=4,则椭圆C的离心率为（）

D5n7+1r\TT7-1\TT74-1

A.罕B-J~~T~Un，~~T~

8.已知直角梯形48CC,AB//CD,48=90。，48=4,CD=2,BC=2「，点M在边4。

上.将AABM沿BM折成锐二面角点4,M,B,C,。均在球。的表面上，当直

线4B和平面MBCD所成角的正弦值为华时，球。的表面积为（）

4

A3225<3TT厂16/752

A.—nBD.---C.D.n—Ti

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知m,n,1是三条不同的直线，a,6是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A.若〃/a,l//p,则0/0

B,若m,nca,I1m,I1n,则，_La

C.若〃/a,l〃B，anp=m,则〃/m

D.若mua,l//m,则〃/a

10.己知AB为圆C：/+丫2=4的直径，直线i：y=kx+i与y轴交于点”，贝心）

A.I与C恒有公共点B.△ABM是钝角三角形

C.△ABM的面积的最大值为1D.，被C截得的弦的长度的最小值为2门

11.已知函数f(x)的定义域为R,且/(2x+2)的图象关于直线x=-1对称，/(X+1)+/(x-

1)=2,又f(0)=2,g(x)—/(x—4)=8,则()

A./（x）为偶函数B./（%）的图象关于点（1,2）中心对称

C.g（x）是奇函数D.Ekg(k)=197

12.如图，已知F是抛物线Cy=4x的焦点，过点F和点E（2,0）

分别作两条斜率互为相反数的直线k，%，交抛物线于4B,C,

。四点，且线段4B,CD相交于点G,则下列选项中正确的是（）

A.kAC+kBD=0

B.\GA\\GB\=\GC\-\GD\

C.乙BCD=Z.BAD

DS&GAC_S^GBC

•SRGBD

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知(比-丧产的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为

14.数学王子高斯在小时候计算1+2+…+100时，他是这样计算的：1+100=2+99=

…=50+51,共有50组，故和为5050,事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函

数y=/(x)图象关于©,2)对称，Sn=(n+1)[/(^)+/(^)+-+e/V*)-则

工+_L+…工=

SiTS2TSn------

15.已知函数/(x)=x3-ax+l,过点P(2,0)存在3条直线与曲线y=/(%)相切，则实数a的

取值范围是.

16.对任意的％>1,不等式e*—-+33仇工一2o恒成立，则实数a的取值范围为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛an｝的前几项和Sn,%=3,且%+1=2Sn+几+3,数列｛bn｝满足瓦=1,bn+1=(14-

2

(1)求数列｛an｝，｛九｝的通项公式；

(2)将数列｛九｝中的项按从小到大的顺序依次插入数列｛an｝中，在任意的au以+i之间插入

2k—l项，从而构成一个新数列｛%｝,求数列｛%｝的前100项的和.

18.(本小题12.0分)

在A4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且a2-川=accosB-gbc.

⑴求4

(2)若a=6,2BD=比，求线段AD长的最大值.

19.(本小题12.0分)

在四棱锥P-ABCD中，面PABL面/BCD,PA=PC,ADA.AB,AD//BC,AD=2BC=2,

AB=，3，E是线段48上的靠近B点的三等分点.

(1)求证：CDJL面PEC；

(2)若面BPC和面PEC的夹角为45。，求线段BP的长.

20.(本小题12.0分)

某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能

力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生成绩是否高于75分及周平均阅读

时间是否少于10小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于75分的样本占样本总数

的30%,周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而不低于75分且周平均阅读

时间不少于10小时的样本有100人.

周平均阅读时间周平均阅读时间

合计

少于10小时不少于10小时

75分以下S

不低于75分t100

合计500

(1)根据所给数据，求出表格中s和t的值，并分析能否有99.9%以上的把握认为语文成绩与阅

读时间是否有关；

(2)先从成绩不低于75分的样本中按周平均阅读时间是否少于10小时分层抽样抽取9人进一

步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记抽取3人中周平均阅读时间不少

于10小时的人数为X,求X的分布列与均值.

2

n(ad-bc')

参考公式及数据:n=Q+b+c+d・

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

21.(本小题12.0分)

已知双曲线E的方程为：《一〈=1，左右焦点分别为Fi，F2,N是线段OF2的中点，过点A作

OO

斜率为k的直线，，，与双曲线的左支交于4B两点，连结川V,BN与双曲线的右支分别交于C,

。两点.

(1)设直线CD的斜率为m,求k+5的取值范围.

(2)求证：直线CD过定点，并求出定点坐标.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=\x-m\ex—t-

(1)对任意mZl,方程/(x)=0恒有三个解，求实数t的取值范围；

(2)已知m=l,方程/(%)=0有三个解为％1，%2»%3，且求证：X3-x2<t,

X2—%1>1.

答案和解析

1.【答案】c

［解析］解：设z=a+bi,则z=a—bi,

则z+z=2a=2,解得：a=L

又|z|=、1+岳=解得：b=+1,

故z=1±i.

故选：C.

设出复数z,结合共甑复数以及复数的模，求出z即可.

本题考查了复数求模，共轨复数问题，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：图中阴影部分表示BnCR4

由二<1,得x<l或x>3,所以CRA={X|1WxW3},

x—1

由:<2工<4,解得一1<x<2,所以B={x|-1<x<2},

故8nQRA={x|l<x<2}.

故选：C.

图中阴影部分表示BnCRA,根据分式不等式求出4的解集，利用指数不等式求出B的解集，进而

求出结果.

本题主要考查Uezm图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：已知平面向量五=(1,3),b=(-2,1).

对于选项A,向量不能比较大小，即选项A错误；

对于选项8,2a-b=(4,5)，则(2五一3)•石=4x(—2)+5x1=-3*0,即2方一方与另不垂直,

即选项B错误；

对于选项C,cos(方花>=儒=丁云％=黑，即正与方的夹角为锐角，即选项C错误；

对于选项。，方在方上的投影向量的模为|鲁去|=煮=一，即选项D正确.

故选：D.

由平面向量的数量积运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.

本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题.

4.【答案】D

【解析1解：如图所示，设正四棱锥P—4BCD的底面边长为am,

连接AC,8。交于点0,连接P。，

则P。，平面4BCD,由题可得NCP。=45°,

故P0=C0=?a，所以?a=4.87，

解得a=4.87x

所以该正四棱锥的体积V=1x(4.87X<2)2X4.87=4.873工77(m3).

故选：D.

设正四棱锥「一48。。的底面边长为。m，连接4C,BD交于点0,连接P0,易得P。_L平面4BCD,

乙CP0=45。，再根据高为4.87m求解.

本题考查正四棱锥的体积的求解，属基础题.

5.【答案】D

【解析】解：:/(X)=V""5s讥3X—C0S3X(3>0),

:./(%)—2sin(a)x—3)，

又集合4={XG(0,7T)|/(X)=1}含有3个元素，

.•・方程/(x)=1,在(0,兀)上只有三解，

•••2sin{a)x-=1,在(0,兀)上只有三解，

3X—*=[+2/CTT或3%—=V*+2kn,k€Z,

oo66

it,2/c7r_p.n,2kn.一„

+—或％=-+—,kEZ

3toa)o)o)9

又2sm(3%一6=1,在(0,兀)上只有三解，

•••T、卷、畀其他值均不在(0,兀)内，

f0<-<7T

0)

0<3<兀

7n，解得(<aW3,

o<r<兀3

3a)

、

l了37r27r

故选：D.

利用三角变换将函数fQ:)=yTisincox-cosax转化为f(%)=2sin(a)x-*).集合/={%6

(0,7T)|/(X)=1}只含有3个元素，表示f(x)=1时在(0,兀)上只有三解，求出2s讥⑷工-今)=1的根,

从而得出3的范围.

本题考查三角方程的求解，化归转化思想，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：他在这次竞赛中得分在10分以下(含10分)的事件为4“生态环境”题答对且“自

然环境”题全错的事件为4，

“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对1题的事件为力，显然①与必互斥，力=4+人2,

PGM=|x(l-1)3=蔡P&)=|x[^x|x呼+(|)3]=糕

所以P(4)=P(a)+P(4)=挑+掇=!§・

故选：B.

把得分在10分以下(含10分)的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合独立重复试验的概率公式求

出每个事件的概率作答.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

7.【答案】A

2

【解析】解：设4(xi，，i)，B(x2,y2)(x1>x2)>a—1>0,设a>1,c=1,

'#2y2

联立滔+月=1,化简(2。2一1)/一2°2》+2。2一。4=0,%+右=哥7，%62=当£

y=%_12a^—l2QN-]

11

丽+西=4.-.\AF\+\BF\=4\AF\\BF\,

V~2(X1-x2)=4/7(XI-1)x7-2(1-x2),

-X2=4-7^(-X1X2-1++%2)'

22

VX—X=V(%1—X)=J(%1+工2)2—4%I%2=2号:NJ)'代入上式化简得：2a-Q-2=

t22

0,

c

・•・a=—/T7；—+1，・•・？=-=<-T7--1.

4a4

故选：A.

设4(修,月)，B(x2,y2Xx1>x2),联立方程组可得与+小=招，与右=襄苧，进而由已知可

得2a2-a—2=0,可求椭圆C的离心率.

本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由题设知：A'B=AB=4,设点A到面MBCD的距离为d,则金=白，血=口,

AB4

要使4',M,B,C,。均在球。的表面上，则M,B,C,。共圆，

由直角梯形ABC。，AB//CD,4B=90°,则N8CD=90°,所以N8MD=90°,

所以BMJ.4D,故A在绕BM旋转过程中BM面4MD,BMu面MBCD,

所以面AMD1面MBCD,即4到面MBCD的距离为d,即4到直线MC的距离，

△48"沿8”折成锐二面角4'-8用一(；，过4F1MC于凡则4尸=d=，3，

又AB=4,CD=2,BC=2C，则=60。，故4CDM=120。，即4cBM=60。，

综上，4BCD、ABM。都是以BD为斜边的直角三角形，且NCDB=60。，

所以4BOM=60。，易知：△ABD为等边三角形，则M为4。中点，

故AM=2,BM=2C，在中，MF=74一3=1,而MD=2,即F为MD的中点,

同时ZBCD若E为BD的中点，即E为MBCD外接圆圆心，

连接EF,贝IJEF〃BM且EF=；BM=，3,故EEL面AMD,且△4MD为等边三角形，

球心。是过E并垂直于面MBCD的直线与过△4MD外接圆圆心垂直于面AMD的直线交点,

若球0的半径为R,则R2="2+(|AF)2=等所以球的表面积4兀/?2=掾兀.

故选：D.

由题设知M,B,C,。共圆，并确定外接圆圆心E位置，由已知求得4到直线MD的距离d=q且

BM1面AMD,进而有面4MC_1面时8£:0,确定△4MD的形状，找到外接圆圆心，利用几何关系

求外接球半径，进而求表面积.

本题考查了球的表面积计算，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对4：若〃/a,l//p,则a〃夕或戊与£相交，错误；

对8：若?n〃n,贝〃不一定与a垂直，.'B错误；

对C：如图：

过，分别作两个平面与平面a，0交于直线a,b,

•••l//a,1/IP，.-.l//a,l//b,：.a//b,

又aC/?,bu0,a//p,

又aua,an°=m,a//m,

•••〃/m,；.C正确；

对D：若mua,贝〃〃a或1在a内，二。错误.

故选：ABD.

对A：平行于同一条直线的两个平面也可能平行也可能相交，故错误；对8：没有说明机，n是平

面内的两条相交直线，故错误；对C：可根据线面平行的性质证明正确；对D：没有说明直线I是

平面外的一条直线，故错误.

本题考查空间中直线与平面的平行关系，化归转化思想，属中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：直线八'=/^+1过定点(0,1),又02+12=1<4,二点(0,1)在圆内，故I与C恒有

公共点，故A正确；

•・•点M(0,l)在圆内，.♦.乙4MB>90。，故8正确；

当CM14B时，SAAB/=^X4X1=2,故C错误；

C到直线2的距离d<\CM\=1,.-./被C截得的弦的长度的最小值为2“4-d2>2-3,当d=1时,

等号成立，故。正确.

故选：ABD.

求得直线I过定点，判断定点在圆内可判断力，B；进而可求三角形的最大面积，以及最短弦长判

断C,D.

本题考查直线与圆的方程，直线与圆位置关系等基础知识，考查推理论证，运算求解能力，考查

函数与方程思想，属中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：因为/(2x+2)的图象关于直线久=一1对称,可得f[2(x-1)+2]=/[2(-x-1)+2],

即f(2x)=f(-2x),

令1=2x,则f(t)=/(-t),即f(x)=f(-x),故/(x)为偶函数，A正确；

又因为/Q+l)+/。―1)=2,

所以/(x+2)+/(x)=2①,/(x+4)++2)=2②,

由②减①可得：/(x+4)=/(%),故/。)的周期为4,

又g(x)-f(x-4)=8,所以g(x)-/(x)=8③，

则有g(-x)-f(-x)=8④，因为/'(X)为偶函数，

③减④可得：g(-x)=g(x),故g(x)是偶函数，故C不正确；

由/(x+1)+f(x-1)=2,可得f(1)+/(-I)=2/(1)=2,

解得：/(1)=1,故B不正确：

令/(x+1)+/(x-1)=2中x=1,可得f(2)+/(0)=2,

因为f(0)=2,则/(2)=0,

令/(x+1)+/(x-1)=2中尤=2,可得/(2)+/(I)=2,

因为f(l)=1，则/(3)=1-

由/(%)的周期为4,可得/(4)=f(0)=2,

又因为g(x)-/(x)=8,

则f(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1+04-1+2=4,

£跄(k)=[/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+4x8]+[/(I)+8+"2)+8]=197,故D正确.

故选：AD.

由/(2x+2)的图象关于直线x=-1对称，可得/(%)为偶函数，可判断4

令/(x+1)+/(x-1)=2中x=0,求出f(1)=1可判断B；

由/(*+1)+/0-1)=2可得/。)的周期为4,由g(x)-f(x-4)=8,可得g(x)为偶函数可判

断C;

求出/(I)+"2)+”3)+/(4)=4,再结合g(x)-/(%)=8和/(x)的周期为4可判断D.

本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：4选项，显然两直线的斜率均存在且不为0,

由题意得F(l,0),设直线kx=1+my,与C：/=4%联立得y2一4my—4=0,

设AQi，%),B(x2,y2)<则为+y2=4m,yry2=-4,

设直线％：x=2—my,与C：y?=4%联立得y2+4771y_8=0,

设。(如乃)，。(应以)，贝M+丫4=-4m,y3y4=-8,

_y3-yi_y3-yi_4k_4

MF-yjyj-九+旷2,

-X3-X1-yl

4444

4+4_4(当+丫3)+4。4+」2)_4。巾2+y3+丫4)_4(4所4峭

则%C+^BD==0,A正确;

力+巧"4+旷2―。3+〉1)°4+旷2)-。3+%)(以+及)—佻+力)。4+为)

B选项，延长ZC交x轴于点M,延长DB交x轴于点N,

因为总C+ABD=0，所以乙4MF=NBN凡

因为直线/1，%的斜率互为相反数，所以N4FE=NFEC,

故ZJIFE-4AMF=Z.FEC-乙BNF,即ZTAE=乙BDE,

又乙AGC=LDGB,所以△ACGS^DBG,故解=黑，

\GD\

所以|G4|•|GB|=|GC|•|GD|,B正确;

C选项，因为黑=黑!，且4CGB=4AGB,所以△CGBSAZGD,故NBCD=4B4D,C正确；

l»G||G〃I

22

。选项，由BC选项可知沁=吗,如跳=吗，由于|GB|与|G2|不一定相等，故。错误.

S&GBD|GB『SAGAD|G4『

故选：ABC.

4选项，设出直线上x=l+my,与C：y2=4x«,得到两根之和，两根之积，同理得到公

x=2-my,与双曲线方程联立，表达出七小kBD,相加后得到以。+心口=。，A正确；

B选项，在4选项的基础上，作出辅助线，找到角度相等，证明相似，得到8正确；

C选项，在B的基础上得到所以△CGB“AAGD,乙BCD=LBAD,C正确；

。选项，在BC基础上，得到面积之比，得到O错误.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

13.【答案】-84

【解析】解：「（x-行尸的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，

.1.Cn=Cn>n=9,故展开式的通项公式为7>+1=CJ•（-l）r•%9-3r,

令9-3r=0,求得r=3,可得一以=一84,

故答案为:—84.

由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得n值，在二项式展开式的通项公

式中，令x的基指数等于0,求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

14.【答案】盘

【解析】解：•.・函数y=/（x）图象关于©,2）对称，

•••+%）+6-x）=4,

・••/岛）+八磊）+…+/哈）=>4=2人

・•・Sn=5+1），岛）+扁）+…+-岩）］SG*）,

・•・Sn=2n(n+1).

・工-2n(n+l)-2。-n+V，

1.1..11-1,11..11、

7

SjS2S〃21223nn+1

=2(1_去)=热•故答案为：2^2-

由函数y=f(x)图象关于(g,2)对称得：/(；+x)+f©-•x)=4,从而求得/($，)+/(添片)+…

+f(信)=>4=2处得到再用裂项相消法即可求出答案・

本题是数列与函数的综合问题，考查了倒序相加法和列项相消法，也考查了转化思想和计算能力，

属中档题.

15.【答案】(我)

【解析】解：由/'(%)=%3-Q%+1,得/(%)=3/-。，

设切点坐标为(t"?—at+1),则过切点的切线方程为y=(3t2—a)(x—t)+t3—at+1,

把点P(2,0)代入，得a=-t3+3t2+1

令g(t)=一卢+3t2+则——3t2+6t=-3t(t—2).

当t€(-8,0)U(2,+8)时,g'(f)<o,g(t)在(-8,0),(2,+8)上单调递减；

当te(0,2)时,g'(t)>0,g(t)单调递增.

又g(0)=：，g(2)=?,且当tT一8时，g(t)T+8，当3+8时，g(t)T-8，

•••要使过点P(2,0)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围是弓弓).

故答案为：(；，?).

设切点坐标为(t,t3-at+l),利用导数求得过切点的切线方程，代入已知点的坐标，可得a=

-t3+3t2+j,令g(t)=-t3+3t2+g,再由导数求极值，即可求得满足条件的实数a的取值范

围.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，是中档题.

16.【答案】(—8,1]

【解析】解：•・,对任意的%>1,不等式e"-%4+3x3lnx-ax3>0恒成立,

pX—丫4+42ADYpX2一

・•・a<----------=f-%+3lnx=3+In二，x>1,

设t=!|,x>l,则八哼2

3

当l<x<3时，t'>0,t=上单调递增，

ex

3

当%>3时，t'<0,t=上单调递减，

ex

二当久=3时，”三取得极大值也为最大值为刍

ex

r3?7

设/«)=、+bit,0<t<^,

则/''(t)=-3+:=

当0<t<l时，<0,/(t)单调递减，

当时，f(t)>0,/(t)单调递增，

.•.当t=1时，f(t)取得极小值也为最小值为1,

-a<1,

则实数a的取值范围为(-8,1].

故答案为：(—8,1].

先分离参数得到a〈W+lnM，x>l,再换元£=M，x>l,利用导数确定函数的单调性，从而

X-3exex

求函数的最值，化恒成立问题为最值问题即可.

本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题.

17.【答案】解：(l)Sn+i=2Sn+n+3,①，

Sn—2Sn_，i+几—1+3,②,

①一②得，an+i=2a九+1,两边同时加1得，

+1=2即+2=2(a+1),•••=2,

n的1十人

；・｛斯+1｝是首项为由+1=4,公比为2得等比数列，an+l=2"】,

n+1

an=2-l,

既+1_2n+l

9(neN+)f

bn2n—1

2=5,空空=（，…，抖-=袈三，等号左右两边相乘得，

1©23。3b^n―1N九一§

空=2九一1,又•・•瓦=1,

bi

・•・bn=2n—19

（2）设数列｛cn｝的前100项的和为％

〃=Cl+C2+...+C100=（al+&+…+Q10）+（瓦+/+…+匕90），

=12182.

【解析】本题根据an与S/勺关系，累乘法分别求出两个数列的通项公式，求数列｛7｝的前100项的

和.可以转换为分组求和.

本题考查的是数列的递推公式及分组求和法，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由题意得a?一炉=QCCOSB-gbc,

结合余弦定理可得Q2一匕2=QC•次士庐_工，

2ac2ac

所以炉c2-a2=be,所以cosA==1,

+2bc2

因为46（0,兀），所以

（2）因为2前=2反,所以而=|同+5福则|而『=］炉+4。2+2瓦）,因为〃+c2-a2=

be,.且Q—•6,

所以炉+c2-c=36,则|衲2=4、^^=4乂^|^

令”“利2=4X需号=4+詈詈

令比=1+1缶＞1),所以1而『=4+^^=4+舟34+春=16+8门，

U

当且仅当u=，？时取等号，所以的最大值为2c+2.

【解析】（1）结合余弦定理可得cos4,进而可求4

（2）由已知可得|而『=4x4号迦=4x年产岁，进而可求线段AD长的最大值.

bz+c2-bcQ+1-7

本题考查余弦定理的应用，考查向量在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求最大值，属中

档题.

19.【答案】解⑴证明：•：4D_L4B,面P4B1面4BCD,

.-.ABL^PAB,：.AB1PA,由勾股定理可得：CD=2,因为4。=2,又24=PC,PD=PD,

所以△PCD三△PAD,所以CD1PC.

易得：FC=|<3,E£)=gC，

所以ED2=EC2+。。2,所以co_LEC.

又PCnEC=C,所以CDL面PEC.

(2)取AD的中点凡连结BF,交EC于点。，

因为BF〃CD,所以B0垂直平面PEC,

过。作OG垂直PC于点G,连结BG,NBG。就是二面角B—PC—E的平面角，

即4BGO=45。，BO=：BG=］，利用直角△BPC可得BP=1.

【解析】(1)由已知可得4B1P4,进而可证CDJLPC,CD_LEC.可证CDJL面PEC；

(2)取4。的中点F,连结BF,交EC于点。，可得过。作OG垂直PC于点G,连结BG,可得NBG。=45°,

进而可求线段8P的长.

本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，属中档题.

20.【答案】解：(1)根据已知条件填表如下:

周平均阅读时间少于10小时周平均阅读时间不少于10小时合计

75分以下200150350

不低于75分50100150

合计250250500

所以s=150,t=50,

7

不=驷需微震*23.8>10.828,

所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关.

(2)依题意，成绩不低于75分的学生中周平均阅读时间少于10小时和不少于10小时的人数比是1：

2,

按分层抽样抽取9人，

则周平均阅读时间少于10小时有3人，不少于10小时的有6人，

从这9人中再随机抽取3人进行访谈，则X可能的取值为0,1,2,3,

P(X=O)W=-

P(X=1)=誓=各

P(X=2)=等焉

Pi—/

X的分布列为:

X0123

13155

P

84142821

故E(X)=lx^+2x2+3x言=2.

【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义可知，X可能的取值为0,1,2,3,分别求出对应的概率,

再结合期望公式，即可求解.

本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)设直线/的方程为y=k(x+4),

联立《2二竽二：)，可得(1-/)/一8k2%-(I6fc2+8)=0,

设B(x2ly2),C(^x3,y3),D(x4,y4)-

q—卜2Ho

4=32(1+1)>0

根据题意可得《坐^<0,解得％<-1或k>l,

1-fc2

_16d+80

1-k2>。

又直线4c方程为y=含。-2)

联立？=让("_2),可得口_备田+碧^—磊+8]=0,

x2—y2=8

T-^S+8]

_。「2)_(3勺-8)勺

1的-1--巧-3

_3xi-8

“*3一4_3'为x「3'

同理可得办=学，丫4=/，

xzyi

._>2-3叼-3_乃(勺-3)一巧(-2-3)

・•-3X2-8_3X1-8-(3X2-8)(X1-3)-(3X1-8)(X2-3)

x2-34]—3

=稔2+4)(右-3)—kg+4)(X2-3)=7k(盯一通)=7k,

%1一切-%L%2

11

-'-k+m=k+7k'又k<T或A>1，

•••由对勾函数的单调性可得k+3=k+京(-00,-2)u(2,4-00)；

(2)证明：•••直线CD的方程为了一为=^1^一句)，令y=0,

x4—x3

3X|-81y23攵-8y1

可得Y=%3y4T4y