2022年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

2022年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）下列各数中，比-1小的数是（）

A.-4B.0C.-1D.1

2.（3分）如图，该几何体的主视图是（）

A.«304-a2B.C.小a?D.(a4)2

4.（3分）某商店连续7天销售口罩的盒数分别为9,II,1312,11,11,10.关于这组

数据，以下结论错误的是（）

A.众数是11B.平均数是11C.中位数是12D.方差是也

5.（3分）点P的坐标为（6,2）,A是x轴正半轴上一点，O为原点，则cosNAOP的值为

（）

A.3B.C.D.A

10103

6.（3分）如图，直线a〃6,一块含45角的直角三角板的直角顶点恰好在直线a上，若N1

=25°,则N2的度数是（）

7.（3分）若点A（a,yi）,B（a+1,”）在反比例函数>=区（4<0）的图象上，且力>”,

x

则a的取值范围是（）

A.a<-\B.-l<a<0C.a>0D.或a>0

8.（3分）已知抛物线C：>-=?-4mx+m-3,其顶点为。，若点力到x轴的距离为3,则

m的值为（)

A.0或•！B.gc.-AD.1•或-3

44224

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分

9.（3分）计算：-12+2X|-4|=.

10.（3分）分解因式：ar2-6ar+9a=.

11.（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中有一道题，大意如下：一支竿子一条索子，

索子比竿子长一托（托为我国古代长度计量单位），对折索子来量竿，却比竿子短一托.问:

索子与竿子分别长多少托？若设索子长x托，竿子长y托，则可列方程组为.

C

12.（3分）如图，在△ABC中，CD,BE是△ABC的两条中线，则：*二的值为.

2ABCF

13.（3分）如图，等边△ABC的边长为6,三角形内部有一个半径为1的OP,若含OP与

△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是.

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14.（5分）计算：V2cos450+（1-H）0+I1-V2|,

'x+4>-2x+l

15.（5分）解不等式组：《xx-l/・

口号41

16.（5分）解方程：士--?—=1.

2

x-2X-2X

17.（5分）如图所示的是以0为圆心的圆，。0上有一点A,请用尺规作图法，求作

的内接正方形ABC。.（保留作图痕迹，不写作法）

18.（5分）如图，在△ABC中，点。在BC的延长线上，£>E〃AC,JIDE=BC,AC=BD.求

证：△ABC丝△BED

B

19.（5分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价

格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相

同.

（1）求此期间五花肉价格月增长率.

（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少

五花肉.

20.（5分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有

三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正

面印有冰墩墩图案的卡片分别记为4、A2,正面印有雪容融图案的卡片记为8,将三张

卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀

后再从中随机抽取一张卡片.

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是

（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率.

g

冰墩墩4冰墩墩山雪容融5

21.（6分）如图，某海轮在港口A处观测到在其北偏东50°有一灯塔P,海轮早上8：00

从港口A出发沿北偏东70°的方向航行，11：00到达B处，此时观测到灯塔P在其正

西方向，若港口A与灯塔P的距离为40海里，求海轮的航行速度.（结果精确到1海里/

22.（7分）为落实《教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知》，进一步减轻中

小学生的课业负担，规定中学生每天家庭作业时间少于1.5小时（90分钟），为符合作业

管理要求.某校对该校七年级学生一周（7天）“家庭作业时间”（单位：小时）进行了随

机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表，请根据表中的信息回答下列问题.

（1）统计表中m的值为,n的值为.

（2）小丽同学说：“我的周家庭作业时间是此次抽样调查所得数据的中位数.”请直接写

出小丽同学的周家庭作业时间在哪个范围内.

（3）已知该校七年级学生有700人，试估计该校七年级学生每周“家庭作业时间符合作

业管理要求的人数.

周家庭作业时间f（单位：小频数频率

时）

0WV3.550.05

3.54V7200.20

7Wr<10.5m0.35

10.5Wf<1425n

14W/W17.5150.15

23.(7分)涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同

的速度原路骑共享单车返回家中.设涛涛同学距离家的路程为yCm),运动时间为x(min),

y与x之间的函数图象如图所示.

(1)a=.

(2)在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式.

(3)在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60加加〃的速度从博学书店匀速步行去涛涛

家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间.

过点C作。。的切线交AB的延长线于点P,过点O作OE〃4c交EC于点D,交PC于

点E.

(1)求证：ZPCB=ZPOE.

(2)若PB=LAB,AC=12,求。E的长.

25.(8分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线丫=以2-4or+3a(«<0)与x轴分别交

于A、8两点，且点A在点B的左侧.

(1)求出点A、8的坐标.

(2)记抛物线的顶点为C,连接AC,BC,当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上

是否存在一点。，使得/。OA=45°?若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

26.(10分)问题提出

(1)如图1,在△ABC中，D为BC上一点，且满足AD=BD=DC,则AABC形状

为.(请填写序号：①钝角三角形；②直角三角形；③锐角三角形)

问题探究

(2)如图2,四边形488为的内接四边形，/R4£>=60°,90°,连接

AC、BD,若BD=6,则对角线AC的长度为多少？

问题解决

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZA=ZC=60°,ZADC=90°,BC=CD,以C为

圆心，C8长为半径画俞，例为俞上的一动点，过点"作ME±AB,MF1.AD,连接EF.已

知AO=20,探究：线段EF是否存在最小长度？若存在，请求出EF的最小长度；若不

存在，请说明理由.

2022年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）下列各数中，比-1小的数是（）

A.-4B.0C.-ID.1

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负

数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

【解答】解：：-4<-1,0>-1,-1=-1,1>-1,

...所给的各数中，比-1小的数是-4.

故选：A.

【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都

大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.

2.（3分）如图，该几何体的主视图是（）

【解答】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，且右边的矩形较宽.

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

3.（3分）下列式子中，与J。/相等的是（）

A.ai0^a2B.a5+a3C.小/D.（«4）2

【分析】根据同底数塞的乘法法则，同底数基的除法法则，合并同类项法则，募的乘方

法则对每个选项进行分析，即可得出答案.

【解答】解:。3・05=双

选项A不符合题意；

*/a5+a3^as,

二选项B不符合题意；

a4,a2=a6,

...选项C不符合题意；

•••(冷2=血

二选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了同底数塞的乘法，同底数基的除法，合并同类项，幕的乘方，掌握

同底数基的乘法法则，同底数基的除法法则，合并同类项法则，幕的乘方法则是解决问

题的关键.

4.(3分)某商店连续7天销售口罩的盒数分别为9,11,13,12,11,1b10.关于这组

数据，以下结论错误的是()

A.众数是11B.平均数是11C.中位数是12D.方差是改

7

【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别求出结果再进行判断即可.

【解答】解：这7个数据9,10,11,11,11,12,13中，出现次数最多的是11,因此

众数是11,

这7个数的平均数为(9+10+11+11+11+12+13)=11,

7

将这7个数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是II,因此中位数是11,

这组数据的方差为工X[(9-11)2+(10-11)2+(11-11)2X3+(12-11)2+(13-

7

11)2]=改，

7

故选：C.

【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差，掌握中位数、众数、平均数、方差的

计算方法是解决问题的关键.

(3分)点P的坐标为(6,2),A是x轴正半轴上一点，。为原点，则cosNAOP的值为

()

A.3B.D-3

10

【分析】过点尸作垂足为B,在RtaOPB中，利用勾股定理求出0P的长,

然后利用锐角三角函数的定义进行计算可解答.

【解答】解：过点P作尸B_LOA,垂足为B,如图：

：.OB=6,PB=2,

.，•OP=VoB2+BP2=V62+22=2^10，

cosZAOP=—=—3V,

OP2V1010

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件画出图形进

行分析是解题的关键.

6.（3分）如图，直线。〃从一块含45角的直角三角板的直角顶点恰好在直线“上，若N1

=25°,则N2的度数是（）

【分析】根据三角形外角性质得出N3=70°,再根据平行线的性质即可得解.

【解答】解：如图，

VZ1=25°,

・・・N3=Nl+45°=70°,

•・•直线”〃儿

/.Z2=Z3=70°,

故选：c.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

7.(3分)若点A(a,yi),B(a+1,”)在反比例函数y=Ka<0)的图象上，且yi>”，

x

则a的取值范围是()

A.a<-1B.-l<a<0C.a>0D.-1或a>0

【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,yi),B(〃+l,”)

在同一象限时，②当点A(a,y\),B(a+1,”)在不同象限时.

【解答】解：Vjt<0,

...反比例函数丫=上&<0)的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，

X

①当A(a,y\),B(o+l,yi)在同一象限，

•*Cla+1»

此不等式无解；

②当点ACa,yi)、B(a+1,”)在不同象限，

"•"yi>y2>

.'.a<0,a+l>0,

解得：-IVaVO,

故选：B.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键.

8.(3分)已知抛物线C：-3,其顶点为。，若点。到x轴的距离为3,则

m的值为()

A.0或工B.3C.-AD.』或-3

44224

【分析】将函数解析式化为顶点式，由顶点纵坐标等于3或-3求解.

【解答】解："'y=J?-4mx+m-3=(x-2m)2-4m2+m-3»

.•♦抛物线顶点坐标为(2m,-4m2+m-3),

-4zM2+m-3=3时，方程无解，

-4m2+m-3=-3时,

解得w=O或m——,

4

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分

9.（3分）计算：-i+2x|-4l=7.

【分析】原式先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可得到结果.

【解答】解:原式=-1+2X4

=-1+8

=7.

故答案为：7.

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

10.（3分）分解因式：or2-6ax+9a=a（x-3）?.

【分析】先提取公因式a,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：（a±6）2

=a2±2ab+b2.

【解答】解：ax1-6ax+9a

=a（？-6x+9）--（提取公因式）

=a（x-3）2.--（完全平方公式）

故答案为：a（x-3）2.

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进

行二次分解，注意分解要彻底.

11.（3分）我国古代数学著作《算法统宗》中有一道题，大意如下：一支竿子一条索子，

索子比竿子长一托（托为我国古代长度计量单位），对折索子来量竿，去吐匕竿子短一托.问：

索子与竿子分别长多少托？若设索子长*托，竿子长y托，则可列方程组为

x-y=5

【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却

比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.

【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，

x-y=5

根据题意，可列方程组为，x-

—=5

x-y=5

故答案是：Jy.

,5

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组是解题的关键.

s

12.（3分）如图，在△ABC中，CD,BE是△ABC的两条中线，则二型巳的值为_工_

2ABCF4

【分析】根据中位线的性质得：DE//BC,DE=LBC,从而得：丛DEFs丛CBF,根据

2

相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论.

【解答】解：：CD,8E分别是△ABC的边AB,AC上中线,

二。是A8的中点，E是AC的中点,

是△ABC的中位线,

：.DE//BC,DE.BC,

2

：.ADEFs^CBF,

.SADEF/DE、2—1

2ABCFBC4

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解

题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方.

13.（3分）如图，等边△A8C的边长为6,三角形内部有一个半径为1的。尸，若含OP与

△ABC边相切的情况，则点P可移动的最大范围（最大面积）是_12＞而-18_.

A

BC

【分析】根据题意画出OP与aABC相邻两边均相切的图形，可知点P可运动的面积即

为△£>£：下的面积.

【解答】解：如图，当点P分别与点。、E、F重合时均与△4BC的相邻两边相切，

过点E作EMLBC于点M,过点N作FNLBC于点N,

则NEBM=1_NABC=30°,

2

；EM=1,

:.BM=M，

同理可得CN=J§,

：.EF=MN=6-273>

同理可得：DE=DF=EF=6-2^3-

由题意得：P可移动的最大范围即为等边三角形DEF的面积，

"SADEF=4'EF2=12^-18.

故答案为：1蓊-1&

【点评】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质、切线长定理及等边三角形面积公

式是解题关键.

三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）

14.（5分）计算：V2cos45°+（1-兀）+|1-亚|•

【分析】首先计算零指数塞、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最

后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

【解答】解：V2cos450+（1-兀）+|卜五|

=V2X—+1+—+（&-1）

24

—1+1+_1+&-

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，

和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有

括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算

律在实数范围内仍然适用.

x+4>-2x+l

15.(5分)解不等式组：|xx-1/.

23%

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组

的解集.

x+4>-2x+l①

【解答】解：

合4写O《1②

解不等式①，得x>7,

解不等式②，得xW4,

原不等式组的解集为：-1<XW4.

【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等

式的解集找出不等式组的解集.

16.(5分)解方程：—=1.

x-2x-2x

【分析】将原方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验.

【解答】解：整理，得：」------且<=1,

x-2x(x-2)

方程两边同时乘以x(x-2),得：x2-8=x(x-2),

去括号，得：x2-8=^-lx,

移项，合并同类项，得：2r=8,

系数化1,得：x=4,

检验：当x=4时，x(%-2)#0,

，x=4是原分式方程的解.

【点评】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤准确计算是解题关键，注意分式方程

结果要进行检验.

17.（5分）如图所示的是以0为圆心的圆，Q0上有一点A,请用尺规作图法，求作

的内接正方形A8CD（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】先作直径AC,过。点作AC的垂线交于8、D,则四边形ABC。满足条件.

【解答】解：如图，正方形ABCD为所作.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了正方形的性

质.

18.（5分）如图，在△ABC中，点。在BC的延长线上，DE//AC,且。E=BC,AC=BD.求

证：AABC%ABED.

【分析】根据平行线的性质得出NQ=/AC8,再根据全等三角形的判定定理SAS推出即

可.

【解答】证明：

:.ND=4ACB,

在△ABC和△BE£>中,

'BC=DE

<ZACB=ZD-

AC=BD

:.△ABCgABED(SAS).

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定

定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角

三角形全等还有“乙等.

19.（5分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价

格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相

同.

（1）求此期间五花肉价格月增长率.

（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少

五花肉.

【分析】（1）设此期间五花肉价格月增长率为x,由题意得关于x的一元二次方程，求解,

并保留符合题意的答案即可：

（2）由（1）中的增长率求得11月份五花肉的单价，然后由题意求得答案.

【解答】解：（1）设此期间五花肉价格月增长率为X,

由题意，得30（1+x）2=36.3.

解得xi=0.1=10%,X2—~2.1(舍去).

答：此期间五花肉价格月增长率为10%；

（2）根据题意，得99=3(千克).

30X(1+10%)

答：她买了3千克五花肉.

【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量X（1+年平均增长率）年

数=增长后的量.

20.（5分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有

三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正

面印有冰墩墩图案的卡片分别记为4、42,正面印有雪容融图案的卡片记为3,将三张

卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀

后再从中随机抽取一张卡片.

（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是2；

-3-

（2）请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率.

冰墩墩4冰墩墩山雪容融5

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）画出树状图，共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的

结果有4个，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是2,

3

故答案为：2；

3

（2）画树状图如图:

开始

A।AjBA]AiBA】A?B

共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，

♦（小明同学抽出的两米卡片都是张地地卡片）―—

9

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件：解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.（6分）如图，某海轮在港口A处观测到在其北偏东50°有一灯塔P,海轮早上8：00

从港口A出发沿北偏东70°的方向航行，11：00到达8处，此时观测到灯塔P在其正

西方向，若港口A与灯塔P的距离为40海里，求海轮的航行速度.（结果精确到1海里/

时；参考数据：sin20°弋0.34,cos20°弋0.94,tan20°弋0.36）

p

北B

-A

【分析】延长BP交AC于C,求得NACB=90°,过P作P”_LAB于”，解直角三角形

即可得到结论.

【解答】解：延长8P交AC于C,

则/ACB=90°,

；NCAP=50°,

AZAPC=90°-50°=40°,

VZCAB=70°,

N%8=ACAB-/C4P=20°,

,?AAPC=APAB+ZB,

：.ZB=；.ZAPC-ZPAB=20°,

：.AP=PB,

过P作PHI.AB于H,

:.AH=BH,

VAP=40（海里），

；.AH=A尸•cosZO。=40X0.94=37.6（海里），

.•.AB=2AH=75.2海里，

...海轮的航行速度=运2p25（海里/时）.

【点评】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

22.（7分）为落实《教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知》，进一步减轻中

小学生的课业负担，规定中学生每天家庭作业时间少于1.5小时（90分钟），为符合作业

管理要求.某校对该校七年级学生一周（7天）“家庭作业时间”（单位：小时）进行了随

机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表，请根据表中的信息回答下列问题.

（1）统计表中m的值为35,n的值为0.25.

（2）小丽同学说：“我的周家庭作业时间是此次抽样调查所得数据的中位数.”请直接写

出小丽同学的周家庭作业时间在哪个范围内.

（3）已知该校七年级学生有700人，试估计该校七年级学生每周“家庭作业时间符合作

业管理要求的人数.

周家庭作业时间/（单位：小频数频率

时）

0WV.550.05

3.5WY7200.20

7WY10.5tn0.35

10.54V1425n

14W/W17.5150.15

【分析】（1）根据0Wf<3.5的频数与频率，求出总人数，再根据频数、频率与总人数的

关系，即可得出相、”的值；

（2）根据中位数的定义即可得出答案；

（3）用总人数乘以每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的人数所占的百分比即可.

【解答】解：（1）抽取的总人数有：54-0.05=100（人），

m=100X0.35=35,

n=/=0.25；

100

故答案为：35,0.25；

（2）•.•共有100名学生，中位数是第50、51个数的平均数，

中位数在10.5这个范围内；

（3）V7X1.5=10.5（小时），

A700X（0.05+0.20+0.35）=420（人），

答：估计该校七年级学生每周“家庭作业时间”符合作业管理要求的人数有420人.

【点评】本题考查的是频数（率）分布表、中位数及样本估计总体的综合运用.读懂统

计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

23.(7分)涛涛同学骑共享单车保持匀速从家到博学书店买书，选好书付好款后，以相同

的速度原路骑共享单车返回家中.设涛涛同学距离家的路程为运动时间为x(机山),

y与x之间的函数图象如图所示.

(1)a=14.

(2)在涛涛同学从书店返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式.

(3)在涛涛从家里出发的同时，小波同学以60〃?/〃〃•"的速度从博学书店匀速步行去涛涛

家，当小波同学与涛涛同学在路上相遇时，直接写出涛涛同学的运动时间.

【分析】(1)根据题意可知，涛涛同学去书店用了10疝〃,所以从书店回家也用了10加〃,

所以24-10=14即可;

(2)设函数解析式为丫=自+6,将点(14,2000)和(24,0)代入即可；

(3)设经过皿比两人相遇，根据题意列方程(200+60)x=2000,求解即可.

【解答】解：(1)根据题意，2470=14,

a=14,

故答案为：14.

(2)设y与x的函数解析式为：丫=履+6,

代入(14,2000),(24,0),

得［14k+b=20001

124k+b=0

解得(k=-200,

lb=4800

...函数解析式为：y=-200X+4800.

(3)设涛涛同学从家里出发刈访?，与小波同学相遇，

贝IJ有(200+60)x=2000,

解得尸期，

13

...涛涛同学经过幽"比与小波同学相遇.

13

【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象理解题意，然后用待定系数求解析式是

解决本题的关键.

24.（8分）如图，AB是。。的直径，点C在。。上（不与点A,8重合），连接AC,BC,

过点C作。。的切线交AB的延长线于点P,过点0作OE〃AC交BC于点D,交PC于

点E.

（1）求证：NPCB=NPOE.

（2）若AC=12,求。E的长.

2

【分析】（1）连接0C,如图，先利用切线的性质得到NOCP=90°,再利用圆周角定理

得到NAC8=90°,则根据等角的余角相等得到NPC8=N0CA,然后证明NPC8=NA,

ZPOE=ZA,于是得到NPCB=NPOE；

（2）设。。的半径为r,则PB=lAB=r,根据平行线分线段成比例得到国=处，即述

2ACPA12

=2r=2,则可计算出OE=8,再证明0O=LC=6,然后计算OE-OD即可.

3r32

【解答】（1）证明：连接OC,如图，

为。0的切线，

：.OCLPC,

.\ZOCP=90°,

即NPCB+NBCO=90°,

是。。的直径，

AZACB=90°,

即NBCO+NOCA=90°,

：.ZPCB^ZOCA,

"：OA=OC,

：./A=/OCA,

：.ZPCB=ZA,

'."OE//AC,

.".ZPOE^ZA,

ZPCB=NPOE；

(2)解：设。。的半径为r,则PB=2AB=r,

2

'JOE//AC,

：.OD±BC,妈=空，

ACPA

即OE=2r=2,

123r3

解得OE=8,

,：OD1.BC,

：.BD=CD,

而OB=OA,

：.OD=1AC=6,

2

：.DE=OE-OD=i-6=2.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定

理和相似三角形的判定与性质.

25.(8分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax1-4ax+3a(a<0)与x轴分别交

于A、8两点，且点A在点8的左侧.

(1)求出点A、B的坐标.

(2)记抛物线的顶点为C,连接AC,BC,当△A8C为等腰直角三角形时，在抛物线上

是否存在一点。，使得/。。4=45°?若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

【分析】(1)令y=0,则or2-4ax+3q=0,即可求得点A、8的坐标.

(2)先将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点C的坐标为(2,-«),如图，过点C作

CHLAB于点H,根据△ABC为等腰直角三角形，可得CH=AH=BH,求得a=-l,得

出抛物线解析式为y=-/+4x-3,设。(/,-r+4/-3),由//)OA=45°,可得：\XD\

=IM，即IH=I-d+4f-3|，解方程即可求得点D的坐标.

【解答】解：(1)令y=0，贝！Ior2-4ax+3。=0,

解得：X1=1,X2=3,

・・♦点A在点5的左侧,

・・・A(1,0),B(3,0)；

(2)存在点。使得/。。4=45°.

-4ax+3a=a(x-2)2-

・・・顶点。的坐标为(2,-〃)，

VA(1,0),B(3,0),

・"8=2,

如图，过