适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数高考小题突破10导数的简单应用课件

高考小题突破10导数的简单应用考点一导数的几何意义考向1导数几何意义的应用

C(2)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为____________,____________.(3)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是____________________.(-∞,-4)∪(0,+∞)增分技巧利用导数的几何意义解决切线问题的方法(1)已知切点(x0,y0),则曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)已知曲线y=f(x)的切线斜率k,求切点坐标(x0,y0)时,可根据f'(x0)=k解方程得到.(3)求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线方程时,应设出切点(x0,y0),则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),再将点(x1,y1)的坐标代入切线方程,求出x0即可求得切线方程.对点训练1(1)(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为__________.y=2x(2)(2023广东梅州二模)已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为2,则实数a=__________.-3解析

函数f(x)=x2+aln

x,求导得f'(x)=2x+,f'(1)=2+a,而f(1)=1,因此函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=(a+2)(x-1),令x=0,得y=-a-1,于是-a-1=2,解得a=-3.考向2公切线问题

D(2)(2023湖南邵阳二模)已知直线l是曲线f(x)=ln(x-2)+2与g(x)=ln(x-1)的公切线,则直线l与x轴的交点坐标为__________.增分技巧解决曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线问题时,通常有两种方法:一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;二是分别设出公切线与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,则有f'(x1)=g'(x2)=

,据此列式求解.对点训练2(2023河北唐山三模)已知曲线y=lnx与y=ax2(a>0)有公切线,则实数a的取值范围为__________.考点二利用导数研究函数的单调性考向1求函数的单调区间例3(2023云南“3+3+3”诊断联考)函数f(x)=ex-ln(1+x)的单调递增区间为__________.[0,+∞)增分技巧利用导数求函数的单调区间,其实质是转化为解不等式问题,但应注意以下几点:(1)首先确定函数的定义域,忽视定义域的限制易致错.(2)当函数在区间的端点处有定义时,单调区间可以写成闭区间也可以写成开区间,但当函数在区间的端点处没有定义时,单调区间只能写成开区间.(3)当函数具有多个单调递增区间(递减区间)时,不能用“∪”联结,而应该用“和”“,”等联结.对点训练3(-∞,1)解析

当x<0时,f(x)=-x-2,其在(-∞,0)上单调递减,当x≥0时,f(x)=(x-2)ex,则f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,当x>1时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.当0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在[0,1)上单调递减,又0-2=-2,f(0)=-2,故f(x)的单调递减区间为(-∞,1).考向2

函数的单调性求参数的取值范围例4若函数h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在区间[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围为____________________.延伸探究1若本例条件变为“函数h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在区间[1,4]上单调递增”,则a的取值范围为__________.(-∞,-1]延伸探究2若本例条件变为“函数h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在区间[1,4]上存在单调递减区间”,则a的取值范围为_______________.(-1,0)∪(0,+∞)延伸探究3若本例条件变为“函数h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在区间[1,4]上不单调”,则a的取值范围为__________.增分技巧已知函数单调性求参数取值范围问题注意点(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法,但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别,前者是不等式恒成立问题,后者是不等式有解问题.(2)解决这类问题主要与参数处理相关,因此尽量采取措施合理地规避分类讨论,简化求解过程,否则就要运用分类讨论的思想解决问题.对点训练4(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C考向3比较大小或解不等式

A.a>b>c B.c>a>bC.c>b>a D.b>a>cB(2)(2023广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式f(ex)<x+1的解集为__________.(1,+∞)解析

令函数g(x)=f(x)-ln

x,x>0,因此函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(e)=f(e)-ln

e=1,因此f(ex)<x+1⇔f(ex)-x<1⇔g(ex)<g(e),即ex>e,解得x>1,所以不等式f(ex)<x+1的解集为(1,+∞).增分技巧利用导数解不等式或比较大小的思路根据题目条件,通过已知函数或构造辅助函数,利用导数研究函数的单调性,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式问题.对点训练5(1)(2022全国甲,文12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(

)A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>aAB考点三利用导数研究函数的极值、最值例6(1)(2022全国乙,文11)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(

)D(2)(2021全国乙,理10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(

)A.a<b

B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2D增分技巧利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在f'(x)=0的根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,从而得到函数的最值.对点训练6B(2)(2022全国乙,理16)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是__________.

考点四利用导数解决实际问题C增分技巧利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求导:求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.(3)求最值:比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)结论:回归实际问题作答.对点训练7(2023广东茂名二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图,某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛,其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN,且AC长度为3百米,为便于游客到小岛观光,打算从点A到小岛建三段栈道AB,BD与BE,水面上的