2023-2024学年北京西城区三十五中高三（上）期中数学试题及答案

北京市第三十五中学2023-2024学年度第一学期高三数学期中测试北京市第三十五中学2023-2024学年第一学期期中测试高三数学行政班教学班姓名学号试卷说明：试卷分值150分，考试时间120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．I卷10440．．．．确答案填在机读卡相应的题号处）．．．．．．．．．．．．．．．已知集合P{∣xN},Q2x8则PQ(A){x(B)x(C)(D)．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为1(A)yx1(B)y(C)yxcosx(D)yx|x|x1i1i．已知复数z，则复数z的共轭复数的虚部为(C)1(D)1(A)i(B)i1113．已知a23，blog2，c，则123(A)abc(B)acb(C)cab(D)cba．在等腰梯形中,,M为BC的中点,则112312314134(A)ABAD(B)ABAD(C)ABAD(D)ABAD2442π．“a1是“函数f(x)|xa|在区间]上最大值为的2(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(4,0)M为曲线yx2M在轴上的射影为N的y最小值为(A)13(B)14(C)15(D)16第1页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中学2023-2024学年度第一学期高三数学期中测试f(x)sin(2x)．把函数的图象向右平移个单位后,得到一个偶函数6的图象则(A)(B)(C)(D)63362x22m,mf(x)当x2时,f(x)取得最小值,则m的取值范2x1,x围为(A)[(B)[2(C)[2](D)[x3x5x7．十八世纪早期,英国数学家泰勒发现了公式sinxx5!7!x2n1(2n(n1，(其中x,nN*,n!123,0!1).1111(n1的值,下列选项中与该值最接现用上述公式求12!4!6!(2n2)!近的是(A)(B)(C)(D)II卷二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．f(x)x2a的定义域为R，请写出满足题意的一个实数a的值．．函数1．二项式(2x)6展开式的常数项为．x13．已知定义在)上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，且当xy时，f(x)f(y)，请写出符合上述条件的一个函数f(x)．π．已知函数y2sin(x)0,|).2f(0)1，则_______；xR，使f(xf(x)4成立，则的最小值是__________.第2页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中学2023-2024学年度第一学期高三数学期中测试1．已知函数f(x)sin，给出下列4个结论：x①函数f(x)的值域为[②存在正数m，函数f(x)在区间(,)上无零点1③函数f(x)的周期为④对任意正数m，函数f(x)在区间m)上有无穷多个零点其中正确的结论序号有．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．．（本小题13分）3π3已知函数f(x)2sinxsin(x)(0πf()．222Ⅰ)求的值；Ⅱ)求f(x)在π]内的所有零点之和．．（本小题14分）,,C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．题目ABC,,C才有资格做下一题．341214做对的概率[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总.]获得的奖金元3264128Ⅰ)求甲没有获得奖金的概率；Ⅱ)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；Ⅲ)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？需给出判断）．（本小题13分）3在ABC中，AD为BC边上的中线，AC5，．5ABC存在且唯一确定，并完成下面问题．53条件①：C；条件②：cosC条件③：的面积为2．52Ⅰ)求的长；Ⅱ)求AB的长．0按第一个解答计分．第3页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中学2023-2024学年度第一学期高三数学期中测试．（本小题15分）1已知函数f(x)exx2，曲线yf(x)f(0))处的切线为l．在点2Ⅰ)求l的方程；Ⅱ)判断曲线yf(x)与直线l的公共点个数，并证明；Ⅲ)若a0p(x)f(x)，求证：对任意的x,x,x[，123都有p(1)p(2)p(3)成立．．（本小题15分）xa已知函数f(x)ln(x(aR)．x1Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；m,n是正整数，且1mnnmⅡ)已知，证明)).．（本小题15分）在数字,n(2)的任意一个排列(a,a)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个jAa,a,,a：中，如果对于12naaiN,ij，有，那么就称i,jji数为S().如n=4时，在排列：3,2,4,1中，逆序对有2)，，(2,1)，(4,1)，S(B)4.则（Ⅰ）设排列：a,a,a,a，写出两组具体的排列C，分别满足：1234①SC)5，②SC)4；（Ⅱ）对于数字1，2，，n的一切排列，求所有S()的算术平均值；A：a,a,,a中两个数字a,aij)12nij置保持不变，那么就得到一个新的排列：b,b,,b，求证：S()S()为奇数.12n第4页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}北京市第三十五中学2023-2024年度第一学期期中试卷高三数学参考答案：一、选择题共10小题，每小题分，共40分．1．D2．D3．C．C．B6．A．A8．D9．B10．B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．(,x或x(答案不唯一)．．6013．14．①②．①②④62三、解答题共6小题，共85分．16．（本小题13分）πππ333解：(Ⅰ)因为f()2sinsin()，所以cos，222222π6因为0π，所以．π3313(Ⅱ)f(x)2sinxsin(x)2sinx(sinxx)62222312x133sin2xsinxx3()sin2x222213πsin2xcos2xsin(2x)223π令f(x)0，即sin(2x)0，3ππ6kπ得2xπ，kZ，即x，kZ，32π2π因为xπ]，所以1,2，63π62π5π所以f(x)在[0,π]内的所有零点之和为．3617．（本小题14分）341解：(Ⅰ)甲没有获得奖金为事件M，则P(M)1；4(Ⅱ)分别用,,C表示做对题目,,C的事件，则,,C相互独立．由题意，X的可能取值为0，，96224．143413；；PX0PAPX32PAB2834123493113；PX224P．PX96P3242432所以甲最终获得的奖金X的分布列为X03296224143893P3232143893EX60．032962243232(Ⅲ)不同，按照,,C的顺序获得奖金的期望最大．第1页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}18．（本小题13分）解：选条件①：C55(Ⅰ)记，．35在ADC中，cos，C，554255所以sin1cos2，sinC1cos2C，5sinsin(πC)C)45352525sincosCcossinC5555sinCsin因为，所以5．(Ⅱ)在ADC中，DC2AD2AC224，所以2．sinsinC【或：，所以2】所以4．在ABC中，AB2222cosC，所以．选条件③：ADC的面积为2(Ⅰ)记，．345在ADC中，cos，所以sin1cos2，512Ssin2，又因为5，所以5．(Ⅱ)在ADC中，DC2AD2AC224，所以2．所以4．π法一：因为5，所以C)，23355coscos(πC)2C，即12cosC2，解得C．55在ABC中，AB2AC2BC22cosC13，所以．法二：取CD中点E，因为5，所以．2．可求得2，AB2294，所以第2页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}19．（本小题15分）(Ⅰ)f(x)exa，xf(0)1af(0)1，，所以切线方程为y1a)x，即ya)x1；11(Ⅱ)令g(x)exx2a)x1ex2xx1，22xx，令(x)g(x)ex1，h(x)ex1，xg(x)eh(x)0x0，得，令x(,0))0h(x)h(x)(g(x))g(x)0g(x)所以h(x)h(0)0，即恒成立，为R上的增函数．yf(x)又g(0)0，所以g(x)只有唯一零点0，即曲线与直线l的公共点个数为1个．(Ⅲ)当a0时，函数p(x)ex，由(Ⅱ)知，p(x)在(上减，在上增，x1又p(1,pep(0)1，e所以p(x)的值域为e，对任意的x,x,x[，都有p(x)p(x)11e1p(x)，312312所以p(1)p(x2)p(3)．20．（本小题15分）ax解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为()，f(x)，(x2①当a1时，f(x)0在()上恒成立，f(x)的减区间为()，无增区间；②当a1时，令f(x)0，解得1xa，令f(x)0，解得xa，所以f(x)的增区间为(a)，减区间为(a,)．综上，当a1时，f(x)的减区间为()，无增区间；当a1时，f(x)的增区间为(a)，减区间为(a,)．(Ⅱ)两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明nm)mln(n，m)n)即证明，mnxx)x)x1构造函数f(x),f(x)，xx2x令g(x)x)，由()知，当a0时，g(x)在)上为减函数，故g(x)g(0)0，x1所以f(x)0，所以f(x)为)上的减函数，m)n)因为1mn，知f(m)f(n)，即)n)m，即．mn第3页共4页{#{QQABTYSQgggoAABAAQgCUwWQCkOQkBECAAoGwBAMoAABwANABAA=}#}21．（本小题15分）（Ⅰ）解：①C:②C:2,4,3,1；………………4分（Ⅱ）解：考察排列：d,d,,d,d与排列Dd,d,,d,d，12n1n1nn121(d,d)(d,d)中必有一个为逆序对（其中≤ij≤n因为数对与ijjin(n且排列D中数对(d,d)共有C2n个，………………5分………………6分………………7分ij2n(n所以S(D)S(D).12n(n所以排列D与1的逆序对的个数的算术平均值为.4a,a,,aa,a,,a,a1：，1而对于数字12，n的任意一个排列A：12nnn12n(n且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为.4n(n所以所有()的算术平均值为ji1，即a,aij.………………分，n94○（Ⅲ）证明：1当相邻时，，则排列为a,a,,a,a,a,a,,a1aa不妨设ii12i1i1ii2此时排列与排列：a,a,,a相比，仅多了一个逆序对(a,a)，i12ni1S(A)S()1，所以所以S()S(A)S()1为奇数.分………………○ji1，即a,aij2当不相邻时，之间有m个数字，记排列：a,aa,a,,a,k,k,,k,a,,a，12i12mjn假设ijaa,a,,a,k,a,k,,,k,a,,a，12i11i2mjn先将向右移动一个位置，得到排列：i○S(A)S()与1由1，知的奇偶性不同，再将向右移动一个位置，得到排列：aia,a,,a,k,k,a,k,,k,a,,a，12i112i3mjn○由1，知S(A2)与S(A)1的奇偶性不同，aa,a,,k,k,,k,a,a,,a，1212mijn以此类推，共向右移动m次，得到排列A：iaa,a,,a,k,,k,a,a,,a，12i1