2023年高考数学第01章分析与综合的思想方法

第01章分析与综合的思想方法

数学被尊崇为严谨科学的典范，在数学证明题中体现得更为充分，一个命题或一个有待证明的数

学问题，通常都是由条件和结论两方面构成的，解题过程一般总是有正、逆两种不同的思维方向.

一是从条件出发推导出结论的思维过程（由因导果），称之为综合;二是从结论出发逆向追溯到结

论的条件（从果溯因），称之为分析.从论证的思维方向和表述形式，前者称为综合法,后者称为分析

法.这是证明高中代数推理题的两种基本方法，而代数推理论证是近几年高考命题的热点和亮点，

应当引起足够的重视.

两种证法相比较各有特色,综合法的优点是叙述过程简短明了，缺点是由条件推结论的过程不明

朗、不易找到解决问题的起点，也就是通常讲的“不知从何着手''.分析法的优点是思考问题比较

自然，容易找到解题思路，缺点是由于分析法的表达上应有特定的用语和推理的规范，叙述过程比

较烦琐.任何一个数学问题，只要将条件与结论沟通，建立联系,不论是正向还是逆向，也即不论是

综合法还是分析法,一定可以获解.一般地,若条件与结论之间距离较远，沟通条件与结论的过程漫

长而曲折,面对这类难度较大的数学题，我们应把两者结合起来,也就是用分析法对问题进行分析,

寻找解决的起点、走向，再用综合法叙述解题的过程;或者在探求解题思路时，交替使用分析与综

合法，也就是说,当条件不易直接用上时往往需要把条件向结论加以引申，使之更接近结论，同时

必须将结论进行适当推演，变换或转化，促使其向条件靠拢，直到两者能相互沟通，建立联系，问题

也就迎刃而解了,这就是采取因果夹击一一两头向中间夹击的方法.分析和综合这两种思维形式

是对立统一，相辅相成的，若两种交替使用，可获得事半功倍的解题效果.

第一讲以分析法为主导解、证数学问题

分析法，又称逆推法，是由未知（或结论）追溯到已知条件或真命题的证明方法，即从要证明的结论

出发,依次追溯出一系列使结论成立的等价命题，当追溯出的等价命题是已知条件或真命题时，说

明结论的真实性，从而证明了原命题的正确性.

分析法的优点是思考问题的解题思路比较自然，问题容易得到解决，缺点是叙述过程比较烦琐.

【例1】

nhc

设4ceR卡,求证:--------+---------+---------,,1.

\+a+ab\+b+bcl+c+ca

【解题策略】

本例是武汉大学自招试题，需证的不等式由多个分式组成且字母又多,若运用综合法.即从左边证

到右边，则根本无法入手，因此需要结合分析法，化繁为简.为减少运算量，可先移项通分后再

展开对消，容易得到一个显然成立的结果.故本例采用分析法证明是上策.

【证明】

欲证明原不等式成立，只需证---+---,,-i+ab

l+b+bc1+c+ca1+。+。力

口…十/?+<?+2hc4-abc4-be\-\-ab

即证7----------77------------7，，------------，

(1+。+bc)\\+c+ca)l-\-a+ab

即证仅+。+2/70+必0+历2)(1+4+"),,+ah^l+b+c+2bc+abc+be2+CQ+Q〃C)

即证2abc„1+片〃2c2,即证(赤-1)2..O，而此式显然成立，故原不等式得证.

【例2】

54

在/ABC中,cos3=-----,cosC=—.

135

(1)求sinA的值；

33

⑵设.A5C的面积SABC=y^BC的长.

【解题策略】

分析法并非局限于证明题,在计算题中同样适用.第(1)问，欲求sinA的值.由

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC且cosB,cosC的值已知,再求出sin&sinC的值即

可.第⑵问，欲求BC的长.由正弦定理得BC=AC'sinA=ABSM，可推得

sinfisinC

A2A

4r.p.s;n

BC2=------——.而siM,sinfi,sinC的值在第(1)问中已求得，只需求ACAB或

sinBsinC

33

AC•A8・sin/1的值，而由S械=Q■，则AC•AB-sinA的值可整体求得，这是一道运用分析法解

题的典型题目.

【解:】

(1)(先分析)欲求sinA的值，一sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,故需求sinB,sinC的

值.

54123

(再综合)cosB=-----,cosC=—sinB=—,sinC=-.

135135

1245333

sinA=—x--------x—=—.

13513565

(2)(先分析)欲求BC的长，由正弦定理BC=AC'SinA=AB'sinA可得

sinBsinC

nrAC-ABsin2A,„..33._123

BC~=-----------------.由（1）得zsinA='~,sinB=—,sinC=—.

sinBsinC65135

故只需求AC-AB-sinA的值.

133

（再综合）由已知S.=—AB-AC-sinA=—，得A&AC-sinA=33.

BC22

二33

JJX-TT1i2ii

•.K=正号与，则BC4

X——

135

【例3】

若a,b,c是不全相等的正数，求证：1g幺9++lg>Iga+Igb+lgc.

【解题策略】

在证明不等式的过程中.分析法和综合法是不可分离的，前者是逆推或倒溯,后者是顺推，如果

使用综合法证明不等式难以入手时.常用分析法探索证题途径.

然后用综合法的形式写出它的证明过程.有些问题证明难度较大,常常是分析与综合交替使用，比

如上例的解法就是如此,也有题目分析法、综合法两法并进，实现两头往中间靠以达到证题目的,

称之为“中途岛法”本例的证明先要利用对数运算变形，把真数从对数中剥离出来，将原不等式转

化为"士>。历,再用基本不等式证明.下面介绍分析法与综合法两种证法.事实

222

上，若没有对所证不等式的“剥离”变形，综合法很难想到.

【证法一】

…c…1b+cia+c

（分析法）要证ig—万一+ig—万一+ig一厂>lg〃+lgb+lgc,

即证1g（科•警・专）>他（He）成立•

只需证"

222

又也哂>o,小£痴〉（）,竺£?疝〉o,

222

a+bb+ca+c,小

，--------------..abc>0

222

又•.a,。,c是不全相等的正数,.•.（1）式等号不成立.

•.原不等式成立.

【证法二】

（综合法）a>0,b>0,c>0,:.>0,C-4bc>0,a—C?>fac>0.

222

r,、，-1-人皿3一丁皿a+bb+ca+c,

又ia,b,c为不全相等的正数,，------------------>abc.

222

口…。+人1b+c1a+c

即lg《一+lg—^-+lg;一>Iga+Tgb+Ige.

【例4】

将数列｛a,,｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

«!

46Aaw

记表中的第一列数4，。2，4，。7，构成数列为也｝4=«,=l,S,为数列也｝的前〃项和，且满

足一弛七=1（几.2）.

⑴证明数列—成等差数列，并求数列也,｝的通项公式；

.S”，

（2）上表中，若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正

4

数，当%=时，求上表中第%（左..3）行所有项的和.

【解题策略】

本例以三角形数表和恒等式综合呈现，首先要分析恒等式的结构特征，用换元法2=转

化题设中的恒等式为含S“,S,i的形式，再整理可得」——匚=d（常数），这是第（1）问的证明思

S"S"-i

路.而第（2）问的解题关键是先分析三角形数表中an下标序码〃的规律,即探索小|在三角形数表

中的位置,可用尝试法探知三角形数表中第上行最后一个数的下标序码为

（l+k]k

'；=1+2++h当％=12,13时,分别得78,91.由78<81<91知均是第13行第3个

数.也可运用解不等式的方法进行分析探索，即

,、k（k-\]（左+1）左

1+2++（左-1）=、2，<81<\2=1+2++左，解得

二<k<1±2殛.又％eN*,可得k=13,可见分析法在本题的解答中起到重要作用.

22

【解:】

OIt

（1）证明（先分析，再转化）由己知，当儿.2时,———=1，又s,=々+仇+

b„S-S„

+bn，b,,=S„-Sn_l.

•••市可亲）西=1•即2（S.—Si）=（S"一九）Sn-S^,即

2（Ef）:]

~Sn-lSn

得^--4=；（〃♦•2）,又5=々=4=

1.

数列I—[是首项—=-=1,公差为-的等差数列.

[s,Js,bt2

22

1+

X且5

=+---一=

通项为s_22-

〃+

”1+1

222

当近2时他——而一厂-而可耐"

因此。〃=,2

，几.2.

（2）（先分析，后尝试探究，列方程求公比，再综合）首先确定沏是三角形数表中的第几行第几个数.

三角形数表中第々行最后一个数的下标序码为七把=1+2++k.

2

当k=12,13时，分别计算得78,91两个数.

由78<81<91知%是第13行第3个数，即纵,，&，%，，而三角形数表中第13行第1个数为

伪3==-5=%9•设从第3行起，每行的公比都为q,

441,

由〃8i二—gj，得—gj=——xq~,解得夕=2（取4>0）.

三角形数表中第人行第1个数为仇，那么该行所有项（实为4项）的和为

"Qf=---^―•Q1）=212Al

2-iM&+I）1>M&+I）

第二讲以综合法为主导解、证数学问题

综合法又称顺推法,是由已知条件（或真命题）推导到未知（或结论）的证明方法，即从已知条件或真

命题出发，依次推导出一系列真实命题,最后达到所要证明的命题的结论.

综合法的优点是叙述过程简短明了，缺点是不易找到解决问题的起点（即从哪里开始.）

【例1】

已知a,4c均为正数，证明：/+/,2+?+|-+-+-）..6V3,并确定a,4c为何值时,等号成

Iabc）

立.

【解题策略】

用综合法证明不等式是“由因导果”，这个“因“可以是题中的条件，也可以是已知的公式，本例

的证明就是从基本不等式出发推出需证的不等式.那么从三元的基本不等式出发还是从二元的

基本不等式出发呢？都是可以的，于是就有了下面两种综合法的证明.

【证法一】

均为正数,由三元基本不等式得/+/+。2..3(。%)3(])

111-(\11Y--

-+-+-1®(ahc)-+-+-%abc)3(2)

abcyahc)

(\\iA22_2

故/+/+c2+±+二+上..3("c)3+9("c)3.

\abc)

2_2

又3(abc)’+9(abc)3..26亍=6\/3(3)

・•・原不等式成立，

当且仅当a=b=c时,(1)式和(2)式等号成立.

2_2

当且仅当3(出()3=9(a〃c)W时，3式等号成立.

即当且仅当a=b=c=3^时，原式等号成立.

【证法二】

凡反。均为正数，由基本不等式得〃+〃德。+C?+。2?2ac,

a2+b'+c2..ab+be+ac

同理4+41

+—(1)

abac

故〃+/+/+LLJ/+/+,2+±+」+二+2+2+2…

bc)erb~cahheac

333

ah+hc+ac+--F—H----

abbeac

：.原不等式成立.

当且仅当a=。=。时,(1)式和(2)式等号成立，当且仅当a=b=c,(a))2=(be)2=(ac)2=3

时,(3)式等号成立.

即当且仅当。=b=c=y时，原式等号成立.

【例2】

已知二次函数f^=ax2+hx+c.

(1)若且/(1)=0,证明:/(x)的图像与x轴有两个相异交点；

⑵若与々eR且玉<9,/(玉)w/(*2)，证明:方程/(x)="')：，⑷必有实根在区间

(司,动内;

(3)在(1)的条件下，设两交点为A8,求线段A3长的取值范围.

【解题策略】

本例以二次函数为载体证明函数图像与x轴的交点问题以及相关方程根的位置,由于二次函数

的图像特征很明确，从条件出发运用综合法证明是十分自然的.

【解:】

(1)证明由/(1)=0,可得a+0+c=0,由a>Z?>c,可得a>0,c<0.

△=b2-4QC=(Q+C)2-4ac=(a-c)2>0,

/./(x)的图像与x轴有两个相异交点.

⑵证明令g(x)=.“x)-/(、)；"七),

则g(XJ=〃XJ-/叫㈤,

g(X2)=/⑸-心?但L-丝。9

又g(x)的图像是连续的,方程/(%)=小)；"±)，即g(x)=0必有一实根在区间

(%,工2)内.

(3)设/(x)=0的两根为x1,x2,\a>b>c,b=-a-c,:.a>-a-c>c.

cccI

又〃>0,二一〈一1———<——.

aaa2

又IAB|=W_々I=1（内+々）2-4中2=龄一-=T一：，

|<\AB\<3,:.AB长的取值范围为（l，3）.

【例3】

（清华大学等五校联考试题）已知〃x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时,〃力单调递增，

=0,设9（x）=sin2x+/ncofiY-27〃,集合

M={/M|Vxe0,^,^>（x）<0>,N--m\xe0,；<0>,求McN.

【解题策略】

本题的求解运用综合法，即从/（x）的性质入手探求集合M,N,再求"cN,如果在审题时作出

函数/（x）的示意图，则对于我们探明McN所含元素的特征有很大帮助.为了切实求出

〃cN,可运用换元法使之转化为含参数不等式在区间上恒成立问题.为求参数机的取值范围

采取参变分离法结合导数求解，也可以变形后由基本不等式求.

/(%)是定义在R上的奇函数，且当x<0时,单调递增,1)=0,所以当x>0时,“X)

也单调递增，且/(1)=0,于是/(%)<0等价于x<—l或0<x<l.

N=<m|Vxe0,^-,/(姒力)<0>="加|Vxe0,^,0(》)<一1或0<0(%)<1>,

而己知M={W|VXG0弓，夕(x)<0>,

McN={w|Vxe0,y>,

由<—1Wcos2x-mcosx+2m-2>0.

令Uco&r厕喷I1,于是问题等价转化为:

2

当不等式t-mt+2机—2＞0在te［0,1］上恒成立时,求实数m的取值范围.

由『一皿+2加一2＞0（噫11）得加〉7万.

t2-2

设力（»0（°别1）•

-41+2；-

【解法一】对函数/?⑺求导，则/⑴=-（二2）2一,令"⑺=°，解得f=2-夜或

r=2+&（舍去）.

当0,,「＜2—应时，〃'«）＞0,力（，）为增函数；

当2—1时,〃'«）＜0,/?（7）为减函数；

当f=2—夜时,力（。取得［0』］上的最大值4一2a，故McN=（4—20,+e）.

.即、+、,（\/一2t2-2t+2t-4+2.222.

【解法二】h（t）=-------=-----------------------=t+2+——=-2-t+——+4„

''t-2t-2t-2I2-tJ

-2V2+4（当且仅当，=2-夜时，取等号）.

故McN=（4-2淄,+e）.

【例4】

设圆/+/+2x75=0的圆心为A,直线/过点8（1,0）且与x轴不重合,/交圆A于C,。两

点，过B作AC的平行线交于点E.

⑴证明：|酬+|仍|为定值，并写出点E的轨迹方程；

⑵设点E的轨迹为曲线a，直线/交G于M，N两点，过8且与/垂直的直线与圆A交于P,Q

两点，求四边形〃PNQ面积的取值范围.

【解题策略】

第(1)问,由平面几何知识易得|E4|+|£B|等于圆A的半径，隐含地告知点E的轨迹为梢圆(不包

括x轴上的两点);第(2)问,当/与x轴不垂直时，设出直线/的方程，与(1)中求出的椭圆方程联立，利

用方程根与系数的关系，求出关于斜率k的表达式,再求出|PQ|关于k的表达式，进而可得

四边形MPNQ的面积S关于％的表达式，最后将问题转化为求函数的值域，整个解题过程从条

件出发步步推进，由因探果，第一步:求弦长.第二步:求面积表达式.第三步:求范围.还要考虑当/与

x轴垂直的情况，此时易得S的值，从而问题圆满解决.本题两问用的都是综合法的解题方法，如果

解题中避开对直线斜率的讨论，可设/的方程为x=ky+\的形式，但此时的忆不再表示斜率，解题

者应当有清晰的认识.

【解:】

⑴证明如图1-1所示|Aq=|AT)|,E8//AC版ZEBr>=NACD=ZAOC,

：.\EB\^\ED\,

i^\E^+\EB\=\EA\+\ED\=|AT)|,又圆A的标准方程为(》+1y+/=16,

从而|AD|=4,|E4|+1EB|=4.

由题设得A(-1,O),3(1,0),|/间=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为

3+3=1(k。).

⑵第一步:求弦长.当/与x轴不垂直时，设/的方程为y=Z(x—1)信丰0),

Aia，X),N(”2)

y=k(xT)，op

2222

由(尤2y2^[4k+3)x-Skx+4k-n=QM'\xt+x2=——,x,x2

143

4k2-12

4P+3

,t——,12仔+i)

必

|MN|=V1+F|X,-X2|=2+3-

过点8(1,0)且与/垂直的直线机方程为y=-」(x-l).

k

点A到直线机的距离为

第二步:求面积表达式.

待求四边形MPNQ的对角线满足MN±PQ.

s四边形"=|PQ|=g•L3).=1

第三步:求范围.

当/与x轴垂直时淇方程为x=l,|W|=3,|PQ|=8，此时四边形MPNQ的面积为12.

综上所述,四边形MPNQ面积的取值范围为［12,8后）.

第三讲以分析、综合两法兼用解、证数学问题

运用分析法与综合法的解题过程如图1-2所示,其中内环是分析过程（执果索因），外环是综合过

程（由因索果）.

分析与综合思想方法的主耍特点如下：

（1）方法上的相互依存、相互补充;

图1-2运用分析法与综合法的解题过程

（2）过程中的互相交替、相互转化；

（3）结论在相反的推导过程中得到验证.

分析与综合是两个方向相反的思维过程的统一，其中每一个过程之所以能够进行，就是因为:分析

在自身中包含着综合，综合在自身中包含着分析，对于较为复杂的数学问题的解（证）常常是分析，

综合两法兼用或者是先用分析法探求解题的起点，找到起点后再用综合法叙述解题（或证明）过

程.

【例1】

已知a>0,Z?>0,且a+8=1,求证+：25

T

【解题策略】

本例有多种证法,可采用综合法（由因导果），也可采用分析法（执果索因）.当然由条件的特点，采用

三角换元结合函数的单调性也是一种好方法.若在证明过程中构造"耐而克''函数，利用“耐克”函

数的单调性，则使证明“别开生面”且相对简捷，这是本例的妙思巧证.

【证法一】

3人、*(1V,1),1ba.1ba15

(综r合法)|a+—b+—\=ab-\--------1-----\--=ab+----------1------1------1----------

IaAb)abab16abab\6ah

25

=—（在用综合法证题过程中采用拆项不易想到）

4

【证法二】

25

（分析法）欲证原不等式成立，即证（。2+1）仅2+11.彳".

也即证4(ah)2+4(6?+/)-25。〃+4..0

。+人=1,故c/+6?=（a+b）2-2ab=1-2ab

将Q）式代人⑴式，得4（而）2+4（1-2"）-25ab+4..0,即证4（ab）2-33ah+8..0,

也即证。瓦工或"..8,而必..8不可能成立，故即证她，

44

由。＞0力＞0且。+〃=1..2而，得。仇，因此原不等式成立.

4

【证法三】

（三角换元结合函数单调性）令a=sin?。/=cos2^（0＜6＜乃）.

sin'e+lcos4^+1

sin?。cos2。

sin4^cos4^+卜in?。+cos?。)一2sin2。•cos?。+1

sin2^cos2^

IOI(32

一sin22e+——；----2=—sin22^+—2,

4sin22^4(sin"。

令％=sin22a・.•0<6<肛0<f,,1,设y=，+—.

3232]4f2—32

当<L,，1时,M—必=-----，2T------=(4z一，2)>0,

\411G)*2

x＞必•即y='+7在°＜4i上为减函数，二，.33.

+…至一2=生，当且仅当”=力时等号成立.

（〃八h）44

【证法四】

将（a-\—］［人+:］展开得--HF—,,a4—,b+；,abT—这3个式完全类似，，可类

\ab）abababab

比构造函数/(x)=x+—,xe(O,l).

y(x)=1-]■，当Xe(0,1)时,/'(x)<0,.-./(x)在(0,1)上是减函数,

a+b

又10<

baba17c25

—+---=—+2=——

aahab44

即原不等式成立.

【例2】

已知函数〃x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数，且a,A,c成等比数列,试判断

〃a)+/(c)与2/伍)的大小关系，并证明该结论.

【解题策略】

综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考,综合法宜于表达，因此,在实际解题时，常常把

分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主余求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.

两种方法只是解题思维的切入口不同而已,有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成

功.

本例的求解过程,便是先举特例猜测结论,再用分析法给出思路,最后用综合法给出证明.

取a=lg=2,c=4,则/(a)+/(c)=/(l)+/(4)=log23+log26=bg218,2/e)=

2/(2)=210g24=log,16,于是由log2l8>log2l6猜测f(a)+f(c)>2f(b).

要证明+〃c)>2/(/7),则只需证log2(tz+2)+log2(c+2)>210g2e+2),

即证log21(a+2)(c+2)］〉log2(0+2)2,亦即证(a+2)(c+2)>(0+2)2,

展开整理得ac+ZS+cA"+zi/,,因为"=ac,所以只要证a+c>2疝，显然是成立的.

上面从取a=l,b=2,c=4开始到推得a+c>2疝的过程就是分析法，下面给出的是运用综

合法证明.

【解:】

即ac+2(a+c)+4>b2+4Z?+4,从而(a+2)(c+2)>3+2)?,

因为〃x)=log?(x+2)是增函数，所以log2[(a+2)(c+2)]>log2S+2次

即log?(a+2)+log2(c+2)>Zlog?(〃+2)

故，(a)+〃c)>2/®.

【例3】

设函数〃x)=ae'lnx+至一，曲线y=/(x)在点处的切线为y=e(x-l)+2

X

⑴求a,。

⑵证明〃x)>L

【解题策略】

第(1)问运用综合法解很简单，第(2打诃相对而言条件复杂而所证结论简单，运用综合法困难较

多，运用分析法较易找到证题思路.由于函数/(x)=ae'lnx+gei的结构较为复杂，在进行分析

法证明/(%)>1的过程中技巧性强，这是一道用分析法寻找解题思路的典型案例.

【解:】

xA-1

⑴函数/(x)的定义域为(0,+8),/(x)=ae\nx+