第1章-线性空间与线性变换

同济大学数学系2009-3-22第1章线性空间与线性变换武汉理工大学理学院1.1线性空间的基本概念2定义：设F是复数的一个非空集合，若满足1）F中包含0和1；2）F对数的四则运算封闭则称集合F是一个数域（field）例子：本教程所见数域都是实数域R或者是复数域C1.1线性空间的基本概念3定义：设V是一个非空集合，F为数域，a,b,g

V,对于任意的a,b

V,总有唯一的元素g

V与之对应，称g

为a与b的和，记作g=a+b，且4对于任意的l

F

及任意的a

V

，总有唯一的元素d

V与之对应，称d为l与a的积，记作d=la，且则称V

为数域F

上的线性空间（linearspace,vectorspace），称V

的元素为向量（vector），称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）要点：集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去）八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）线性空间总结6定义加法：例1.实数域上全体

n维向量的集合定义数乘：例2实数域R上的全体m×n

矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间，记作Rm×n∴

Rm×n是一个线性空间。7对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。8例3次数小于n的多项式的全体，记作F[x]n例4

在区间[a,b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性空间，记作C[a,b]。9∴

C[a,b]是一个线性空间。例5正实数的全体R+

，在其中定义加法及乘数运算为验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．10注：公理化的定义保证了加法和数乘的多样性．

例6

表示实数域上的全体无限序列组成的的集合。即在中定义加法与数乘：则为实数域上的一个线性空间。例7

在中以零为极限的无限序列组成的子集合也构成上的线性空间。例8

在中有界的无限序列组成的子集合也构成上的线性空间。

对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间n-1

次多项式的全体}0{][

01¹+++=aaxaxaxFn-1n-1n-1nL例913不是线性空间的例子要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。

线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：Review:向量组的探讨向量的线性相关与线性无关：向量组的极大线性无关组：

1，2，…，s为向量组A的一个部分组（精英组合）满足向量组

1，2，…，s线性无关（彼此工作不可替代）任意A的向量可以由

1，2，…，s线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数

例11

实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一例10

实数域上的连续函数所组成的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。也是线性无关的。例12

实数域上的线性空间中，函数组组互不相同的实数。例13

实数域上的线性空间空间中，函数组是线性相关的函数组。函数组是线性相关19例14设中的向量组讨论向量组的线性相关性；求向量组的秩和最大线性无关组；把其余的向量表示成最大线性无关组的

线性组合抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组----即为基(basis)维数，基与坐标定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…

an∈V

若(1)a1,a2,…an线性无关，

(2)a∈V,a可由a1,a2,…an线性表示

a=

x1a1+

x2a2+…+xnan则称a1,a2,…

an为V的一组基，

称n为V的维数，记作dimV=n。21基，维数Remark:基：线性空间的最大线性无关组；

维数：基中向量的个数例15

实数域上的线性空间中向量组与向量组

都是的基。是3维线性空间。要验证：１．向量组无关．２．任一向量可以由它们表示．23例16设则是实数域R上的线性空间。24自然基

与向量组都是的基底。的维数为例17

实数域上的线性空间中的向量组注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。常见线性空间的基与维数：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dimFn=nRm

n

，自然基{Eij}，dimRm

n

=m

n。F[t]3

，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3

=3C[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1

…}

C[a,b]，dim

C[a，b]=

约定：本书主要研究有限维线性空间。坐标的来历：设{

1，2，…，n}是空间V的一组基，V,可以由基1，2，…，n唯一线性表示=x1

1+x2

2+…+xn

n则x1，x2，…，

xn

是在基{i}下的坐标。坐标（coordinate）28例18设下的坐标。求a=(1,0,-1)T

在基为

R3的一组基，29例20求中的元素，在基下的坐标。30例21设的两组基求在这两组基下的坐标由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的Rn元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。归纳：定理1.1.2设a1,a2…,ar(1≤r≤n)是n维线性空间V中的r个线性无关的向量，则存在V中n-r个向量ar+1,…an

使得a1,…,ar

,ar+1,…an

成为V的基.基的扩张定理基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1）基变换公式设空间中有两组基：则C为由{

i}到{

i}的过渡矩阵过渡矩阵C的性质：C为可逆矩阵C的第i列是

i

在基{

i

}下的坐标2坐标变换公式已知则定理:设V是线性空间，a1,a2,…

an,b1,b2,…

bn

是V的两组基，C

是由基a1,a2,…

an到b1,b2,…

bn

的过渡矩阵，则是由

x到

y的坐标变换公式，其中37例22设是中的两组基，求由基到基的过渡矩阵P；2.求向量在基（II）的坐标Y。例23已知空间R中两组基求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。§1.2

子空间

(subspace)概述：线性空间V中，向量集合V可以有集合的运算和关系：

问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？40定义:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，

若对于V中的加法和数乘二种运算，W是数域F

上的线性空间，则称W是V的子空间。定理:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭，即则称W是V的子空间。判别方法：ImportantTheoremW是子空间

W对V的线性运算封闭。41例1.实数域上

n维向量的集合例2.设A为m×n矩阵，向量的集合例3.

实数域上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间例4.设V是数域F上的线性空间，生成的子空间,记作生成子空间或者ExampleProblems生成子空间会有多大？生成子空间的基是什么？例5.设2.求W的基和维数；3.求W中矩阵的一般形式生成子空间的性质为W1与

W2

的和（sum)

定义:设W1,W2

是线性空间V的子空间，称集合称集合为W1与

W2

的交（intersection）

子空间的运算定理:设W1,W2

是线性空间V的子空间，则

W1+W2与W1∩W2都是V的子空间。称W1+W2为W1与

W2

的和空间，称W1∩W2为W1与

W2

的积空间。例6.线性空间R3的子空间求V1+V2，V1+V3

和V1∩V3。例7设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}

求和空间W1＋W2。

比较：集合W1

W2和集合W1＋W2。如果

W1=Span{

1，…，

m

}，W2=Span{

1，…，

k}，

则

W1＋W2=Span{

1，…，

m，

1，…，

k

}

生成子空间的性质（续）例9设定理:设W是n维线性空间V的子空间，dimW=m，a1,…,am

为W的一组基，则存在n-m个V中向量am-1,…an

使得a1,…am

,am-1,…an成为V的基.基的生成定理定理(维数公式):设V1,V2

是线性空间V的子空间，则维数公式例10设V1,V2

是n维线性空间V的子空间，若则V1,V2

中必有非零的公共向量。子空间的直和（directsum）定义：设V1,V2

是线性空间V的子空间，若对每个向量a

V1+V2都有唯一的分解式则称V1与V2

的和V1+V2是直和，记作V1

V2。Remark.直和仍然是和：V1

V2=V1+V2

的含义有二：和+与交为空集例11.线性空间R3的子空间求V1

V2，V1

V4。定理：设V1,V2

是线性空间V的子空间，则下列命题等价(2)向量0的分解式是唯一的；(1)V1与V2

的和V1+V2是直和;(3)V1∩V2

={0};(4)dim(V1+V2)=dimV1

+dimV2

。直和的判定例12.设定理：设U是线性空间V的子空间，则存在V的子空间W，使得V=

U

W。称W是U在V中的直和补。

线性空间V与Fn的同构（1.3节内容）

坐标关系V

FnV的基{

1，

2，…，

n}由此建立一个一一对应关系

V，

X

Fn，（）=X（1+2）=（1）+（2）

（k）=k（）在关系下，线性空间V和Fn同构。同构的性质定理1.3:V中向量{

1，

2，…n}线性相关

它们的坐标{X1,

X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。1.4线性变换定义设V

为线性空间，V

上的变换T:V

→V

若满足则称T

为

V

上的线性变换。例1.设T为R2上的线性变换，T:

R2→R2T(a)=a′（如图）T把向量a绕原点逆时针旋转q

角度变换为a′。xyOaa′q称T为旋转变换。线性变换的例子例2.设T为R3上的线性变换，T:

R3→R3即例3.设T为

上的线性变换，

其中矩阵A是n阶方阵.设T是V上的线性变换，则线性变换的性质设T是V上的线性变换，则线性变换的象空间和零空间例4.上的线性变换T.线性变换的运算

定理2.2.1

对于上述加法与数量乘法构成数域上的一个线性空间．

对于线性变换，还可以定义下列几种基本运算*线性变换的矩阵定义设T

为

V

上的线性变换，a1,a2,…,an为

V

的基，*线性变换的矩阵A