福州八中高三毕业班三次质检考试数学（理）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精福州八中2014届高三毕业班第三次质检考试数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分2013.11.4一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。若集合，，则 A. B。 C。 D。2。已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为 A。eq\f（1,2）＋eq\f（\r(3）,2)i B.eq\f(\r(3），2)＋eq\f(1，2）i C。eq\f（1，2）－eq\f（\r(3），2）i D.eq\f（\r（3),2)－eq\f(1，2）i3.设点是线段的中点，点在直线外,，,则 A．1 B．2 C．4 D4.若函数y=f（x）在R上可导，且满足不等式xf′(x)〉－f（x）恒成立,且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是 A.af（b）〉bf(a) B.af(a)〉bf(b） C。af(a）〈bf(b) D.af(b)<bf（a)5.已知函数f（x)＝sinx－cosx且＝2f（x），是f(x)的导函数，则eq\f（1＋sin2x,cos2x－sin2x）＝ A．－eq\f（19,5) B.eq\f（19，5) C。eq\f(11,3) D．－eq\f(11，3)6。等差数列的前项和为,若，那么的值是 A．65 B．70 C．130 7。已知向量，那么“"是“向量互相垂直”的 A.充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充要条件 D。既不充分也不必要条件8.设在函数f(x）=xcosx-sinx的图象上的点的切线斜率为，若，则函数，的图象大致为xxxxyyyyOOOOABCD9.在数列中，则 A． B． C． D．10。已知是R上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若则() A．2013 B．1 C．0 D．－2013二、填空题：5小题，每小题4分,共20分，把答案填在相应的位置上。11。a为正实数，i为虚数单位，｜eq\f(a＋i,i）｜＝2，则a＝____________.12.已知函数f（x)=x2(ax+b）(a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点(1，f（1)）处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为__________________.13．在等比数列中，,且，则的最小值为__________。14.在△OAB中,O为坐标原点,A(1，cosθ）,B（sinθ，1），θ∈(0,eq\f（π，2)],则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于_________________.15.函数，实数互不相同,若,则的范围为．三、解答题：本大题六个小题,共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16。（本小题13分)(Ⅰ)给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立,我们称数列是“族数列”．证明:若数列的前项和为是，证明数列是“族数列"，并指出它对应的实常数.(Ⅱ)若数列满足，，求数列前项的和．17.(本小题13分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1,2）．⑴若|c|＝2eq\r(5)，且c与a方向相反，求c的坐标；⑵若｜b｜＝,且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.18.（本小题13分）已知在同一平面内的两个向量,，其中.函数,且函数的最小正周期为。⑴求函数的解析式;⑵将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调递增区间。19。（本小题13分）已知是定义域为的奇函数，对于任意a,b∈R且当时，都满足.⑴求证:在上是的增函数；⑵若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20。（本小题14分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120˚，BC＝AC＝3，点D在线段AB上。ABCDE⑴若ABCDE⑵若点E在线段DA上,且∠DCE＝30˚，问:当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值.21。（本小题14分）已知f(x）＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1）对一切的x∈（0,＋∞），2f(x)≥g(x）恒成立,求实数a(2)求证:对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞eq\f(1，ex）－eq\f（2，ex)。福州八中2013—2014高三毕业班第三次质量检查数学（理)试卷参考答案及评分标准所以数列是“族数列"，对应的实常数分别为1，2……7分（Ⅱ)则有，，……，,.………………9分∴故数列前项的和………………13分17。(本小题13分）解:(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2eq\r(5)可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20）),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，y＝－4）),……4分又c与a方向相反,∴c＝（－2，－4)．……5分(2）∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴（a＋2b）·（2a－即2a2＋3a·b－2b2＝0.…………∴2|a｜2＋3a·b－2|b｜2∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝.…………11分∴cosθ＝eq\f（a·b,|a｜|b|）＝.∵θ∈[0，π］，∴θ＝.……13分⑵将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的解析式为…………8分由题意,得,即，…………11分∴函数在上的单调递增区间是……13分19．（本小题12分）解析：⑴不妨设,由，得，……2分又是定义域为的奇函数，∴，而∴∴在上是增函数………………5分⑵是奇函数不等式………………7分在上是增函数∴对任意的，不等式恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立…………9分当时，不等式即为恒成立,合题意;……10分当时,有即综上:实数的取值范围为…………13分20。解:（本小题14分）⑴在△CDB中，∠CBD＝30˚，BC＝3，，由余弦定理，得,……2分即，解得，.……5分⑵设∠DCB＝，，在△CDB中，由正弦定理，得,即,同理,……8分所以，…………12分∵，∴。∴当时，的最小值为。…………14分21.(本小题14分）解析:（1）由条件知2f(x)≥g(x）,即2xlnx≥－x2＋ax则a≤2lnx＋x＋eq\f(3，x).……2分设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f（3,x)(x＞0)，h′（x）＝eq\f(x＋3x－1，x2）.………………4分当x∈(0,1）时,h′(x)＜0，h（x）单调递减；当x∈(1,＋∞)时，h′（x）＞0,h（x)单调递增．所以[h（x）］min＝h(1)＝4.因为对一切x∈（0,＋∞),2f(x）≥g(x)恒成立，所以a≤［h（x)］min＝4.故实数a的取值范围是（－∞,4]．…………6分(2）证明：问题等价于证明xlnx＞eq\f（x,ex）－eq\f（2，e)，x∈（0,＋∞）．即f(x）＞eq\f(x,ex）－eq\f(2,e）∵f′（x）＝lnx＋1.…………7分当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（1，e))）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,e）,＋∞)）时，f′(x)＞0，f(x）单调递增．所以，[f(x）]min＝f(eq\f(1,e）