重难点突破03 数列与函数综合（解析版）

PAGE1重难点突破03数列与函数综合一．选择题（共20小题）1．（2022•齐齐哈尔二模）已知数列的通项公式是数列的最小项，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：根据题意，设，其导数，，当时，有，则函数为增函数，对于数列，其通项公式，若是数列的最小项，则函数的零点在区间上，则有，解可得，同时有，即，解可得，又由，则有，当时，，当时，，即当时，有，若是数列的最小项，必有，，，，解可得，综合可得：的取值范围为，；故选：．2．（2022•宣城模拟）已知数列为等差数列，若，为函数的两个零点，则A． B．9 C．14 D．20【解答】解：等差数列中，，为函数的两个零点，，，所以，，或，，当，时，，，，所以．当，时，，，，．故选：．3．（2021•甘肃模拟）数列的前项和为，若点在函数的图象上，则A．2021 B．4041 C．4042 D．4043【解答】解：将点代入函数得，，又由首项为，公差为的等差数列的前项和公式为：，，解之可得，，所以数列的通项公式即为：，．故选：．4．（2021•贺兰县二模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则的值为A． B．0 C．1 D．2【解答】解：函数是定义在上的奇函数，，且，又，，故周期为2．令，可得（1），（1）．（1）（2）（3）．数列是首项为1、公差为1的等差数列，，则，故选：．5．（2021•秦州区校级三模）已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是A． B． C． D．【解答】解：等比数列的各项均为正数，公比，，．．故选：．6．（2020•咸阳三模）若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，，则A． B． C． D．【解答】解：数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，所以（9），函数满足且，，，（9）（7）（5）（3）（1）．故选：．7．（2023•西城区校级模拟）给定函数f（x），若数列{xn}满足，则称数列{xn}为函数f（x）的牛顿数列．已知{xn}为f（x）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列，，且a1＝1，xn＞2（n∈N+），数列{an}的前n项和为Sn．则S2023＝（）A．22023﹣1 B．22024﹣1 C． D．【解答】解：由f题意得'（x）＝2x﹣1，则，，则两边取对数可得．即an+1＝2an，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以．故选：A．8．（2023•江西模拟）已知函数对任意自变量都有，且函数在，上单调．若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2023项之和是A．8092 B．4046 C．2023 D．0【解答】解：函数对任意自变量都有，函数的图象关于直线对称，函数在，上单调，数列是公差不为0的等差数列，且，，，则的前2023项之和为．故选：．9．（2021•云南模拟）已知定义域为正整数集的函数满足，（1），则数列的前99项和为A． B． C． D．【解答】解：令，，可得（1），则（1），则数列的首项为1，公差为2的等差数列，从而，则，则的前99项和为，，，，，故选：．10．（2021•全国Ⅱ卷模拟）九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解连环需要的步骤为，，研究发现是等比数列，已知（1），（2），（3），则A．127 B．128 C．255 D．256【解答】解：因为，（1），（2），（3），所以（2）（1），（3）（2），则，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则，所以，则．故选：．11．（2023•乌鲁木齐模拟）已知函数的定义域为，且满足（1），对任意实数，都有，若，则中的最大项为A． B． C．和 D．和【解答】解：根据题意可得，可得，令，，而（1），可得，，数列是以首项为，公差的等差数列，，，，当时，；当时，；当时，，中最大项为和，故选：．12．（2023•湖北二模）已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则A． B． C．2 D．3【解答】解：函数是奇函数，且满足，，，即，则，即函数是周期为6的周期函数，由数列满足且，则，即，则，则，．，等式两边同时相乘得．，即，即，即数列的通项公式为，则（1），是奇函数，，，（1），即（1），则（1）．故选：．13．（2023•润州区校级二模）已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则A． B． C．2023 D．4046【解答】解：令，因为，所以为上的增函数，因为，所以是奇函数，因为，，所以，，所以，即，所以．故选：．14．（2023•泸县校级模拟）已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为A． B． C．0 D．50【解答】解：依题意，由函数的图象关于对称，可知函数的图象关于对称，数列是公差不为0的等差数列，，，，数列前100项和为．故选：．15．（2022•沙河口区校级模拟）已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则A． B． C．2022 D．4044【解答】解：因为，是奇函数，因为，，所以，所以，所以，所以．故选：．16．（2021•铁岭一模）已知是上的奇函数，（1），则数列的通项公式为A． B． C． D．【解答】解：在上为奇函数故，代入得：，当时，．令，则，上式即为：．当为偶数时：（1）（1）．当为奇数时：（1）（1）．综上所述，．故选：．17．（2021•贵州模拟）对于函数，部分与的对应关系如表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点，都在函数的图象上，则A．7576 B．7575 C．7569 D．7564【解答】解：由题意可知，（1），（3），（5），（6），所以数列满足，，，，，则．故选：．18．（2022•临澧县校级二模）已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则下列结论不正确的是A．为单调递增的等差数列 B． C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6【解答】解：函数，则，因为，所以，由等比数列的性质可得，所以，所以，由，可得，故正确；因为等比数列首项，公比为，所以，则，故为单调递减的等差数列，故错误；设，则为常数，因为，所以，单调递减，所以为单调递增的等比数列，故正确；因为，且，所以，，所以使得成立的的最大值为6，故正确．故选：．19．（2021•大同模拟）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足，，若，为函数的导函数，则（1）A． B． C． D．【解答】解：设等比数列的公比为，，，，且；或（舍．．，．，（1），．令，①则，②①②得：，．即（1）．故选：．20．（2023•山东模拟）已知函数，数列满足，，，则A．0 B．1 C．675 D．2023【解答】解：函数的定义域为，且，故函数为奇函数，又为上的增函数，因为，所以，，因为数列满足，，所以，故选：．二．多选题（共2小题）21．（2023•安庆二模）牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列．已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是A． B． C．是等比数列 D．【解答】解：对于，由得，，解得，故正确；对于，因为，所以，所以由可得．由得，，一方面，，另一方面，，因此，故错误，对于，于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故．故正确．故选：．22．（2023•济南三模）若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”．已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则A． B．数列是单调递减数列 C． D．关于的不等式的解有无限个【解答】解：．，则，则，故错误，．由，，得，，，，，，，，即，，，即，即，即数列是单调递减数列，故正确，．，，由，得，，，令，则，则是公比为2的等比数列，，，则，即，即，即，下面用数学归纳法证明：，当时，，命题成立，假设当时，成立，即，则当时，，，命题也成立．命题成立．综上成立．故正确．．，，，即，，不等式的解有无限个，故正确．故选：．三．填空题（共7小题）23．（2022•碑林区校级一模）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，当，时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为．【解答】解：根据题意，设，而表示不超过的最大整数，则则函数中在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，，；则有，则．故答案为：．24．（2023•九江模拟）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则．【解答】解：，，，，即，又，数列为等差数列，公差为，首项为1，．故答案为：．25．（2023•南海区校级模拟）函数的图像在点，处的切线与轴交点的横坐标为，且，则21．【解答】解：对函数求导得到，函数的图像在点，处的切线的斜率是，在点，处的切线方程为：，切线与轴交点的横坐标为，当时，解得，，数列是一个首项为32，公比为的等比数列，数列的通项公式为，．故答案为：21．26．（2022•徐汇区校级模拟）已知函数，数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围是．【解答】解：数列是递增数列，又，，且（7）（8），，解得或，故实数的取值范围是．故答案为：．27．（2022•上饶模拟）已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记，且，，则数列的通项公式．【解答】解：由题意得：的两个根为1和2，由韦达定理得：，所以，则，所以，因为，，所以，所以为等比数列，公比为2，首项为3，所以．故答案为：．28．（2023•玉林三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则44．【解答】解：由题意，可得，设等差数列的前项和为，公差为，则，解得，则（4），根据等差中项的性质，可得，则，同理可得，，，，，．故答案为：44．29．（2023•宝山区校级模拟）已知函数有两个零点1，2，数列