国家公务员考试数量关系真题及解析汇总

数量关系试题及参考答案分析年龄问题

解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：

（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；

（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；

（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。

【例1】妈妈今年43岁，女儿今年11岁，几年后妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的3倍？几年前妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的5倍？

【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差

43-11=32（岁）

当妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为

（43-11）÷（3-1）=16（岁）

16-11=5（岁）

说明那时是在5年后。

同样道理，由

11-（43-11）÷（5-1）=3（年）

可知，妈妈年龄是女儿的5倍是在3年前。

【例2】今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、女儿今年各是多少岁？

【分析】从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁，他们今年的年龄之和为

49+3×2=55（岁）

由“55÷（4+1）”可算出女儿今年11岁，从而，父亲今年44岁。

排列组合问题I

一、知识点：

分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法

分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法

二、解题思路：

解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：

特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）

插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)

捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）

排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）

三、讲解范例：

例1由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数

(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数

解(1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：

第一步将１、３、５、７四个数字排好有种不同的排法；

第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有种不同的“捆绑”方法;

第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法

根据乘法原理共有＝720种不同的排法所以共有720个符合条件的七位数

解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：

第一步将１、３、５、７四个数字排好，有种不同的排法；

第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有种“插入”方法

根据乘法原理共有＝1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数

例２将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？

解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：

（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法

下面分别计算每一类的方法数：（因为是分组，故在每一组内不是乘法，但是由于这件事情是分步完成，所以组与组之间也就是步与步之间是乘法，虽然如此，但是又因为仅仅是分组，故1，2，3和3，2，1和3，1，2都是一组，故需要把这三步看作是一个大组，除以步内排列数才是最终分组数）

第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法

解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有种不同的分法

解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以

所以共有＝15种不同的分组方法

第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有＝60种不同的分组方法

第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以，因此共有＝15种不同的分组方法

根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法

例３一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？

解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有＝7200种不同的坐法

排列组合问题II

一、相临问题--整体捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地:个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.

解

因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有A66种排法,其中女生内部也有A33种排法,根据乘法原理,共有A33*A66种不同的排法.

二、不相临问题--选空插入法

例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：

种.

插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为

种.

三、复杂问题--总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.

解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.

练习：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解43人中任抽5人的方法有

种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有

种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有

种.

四、特殊元素--优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有

＝72种不同的排法.

例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有

＝252种.

五、多元问题--分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）

A．42

B．30

C．20

D．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62+A22A61=42，故选A。

例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

种.（以数字作答）

解：区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法？？？？,从而共有24+48=72种方法,应填72.

六、混合问题--先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（

）

A．种

B．种

C．种

D．种

解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）

A．24种

B．18种

C．12种

D．6种

解:先选后排,分步实施.由题意，不同的选法有:C32种,不同的排法有:A31•A22,故不同的种植方法共有A31•C32•A22=12，故应选C.

七．相同元素分配--档板分隔法

例10．？把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。

解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。

八．转化法:

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.

例11高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?

分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有

种不同的放法,所以名额分配方案有

种.

九．剩余法:

在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.

例12袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

解

把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有

种取法.

十．对等法:

在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.

例13

期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.

解不加任何限制条件,整个排法有

种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有

种.

十．平均分组问题:

例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

解：（1）根据分步计数原理得到：种；

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以．

因此，分为三份，每份两本一共有15种方法。

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．

（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．

（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；

②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法，

所以，一共有90+360+90＝540种方法．

总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。

具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。

鸡兔同笼

一、基本问题

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，•也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子.当然鸡就有54只.

答：有兔子34只，鸡54只.

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.

现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

8×（11+19）=240.

比280少40.

40÷（19-11）=5.

就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只.

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“鸡”数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道、3道、4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5，

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

答：做对4道题的有31人.

二、“两数之差”的问题

鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

（680-8×40）÷（8+4）=30（张），

这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有

40+30=70（张）.

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是

4×20+8×60=560.

比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是

（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天

工程要多少天才能完成？

解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

雨天是7+3=10天，总共

7+10=17（天）.

答：这项工程17天完成.

请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

鸡是

100-38=62（只）.

答：鸡62只，兔38只.

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4×50-2×50=100，

比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是

（100-28）÷（4+2）=12（只）.

兔只数是

50-12=38（只）.

另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.

例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字数相差

7×4-5×4=8（字）.

因此，七言绝句有

28÷（28-20）=35（首）.

五言绝句有

35+13=48（首）.

答：五言绝句48首，七言绝句35首.

解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了

460-280=180（字）.

与题目中“少20字”相差

180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

200÷8=25（首）.

五言绝句有

23+25=48（首）.

七言绝句有

10+25=35（首）.

在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是

（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是

（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？

当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是

（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是

8×6-2×（15-6）=30（分）.

两次相差

120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

6+10=16（分）.

（90-10）÷（6+10）=5（题）.

因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.

第一次得分

5×19-1×（24-9）=90.

第二次得分

8×11-2×（15-11）=80.

答：第一次得90分，第二次得80分.

解二：答对30题，也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.

如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是

（6×9+10）÷（6+10）=4（题）•

第一次答错9-4=5（题）.

第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.

三、从“三”到“二”

“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.

例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是

（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232－12＝220（支）.

其中圆珠笔

220÷（4+1）=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.

例14商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

从公式可算出，大球个数是

（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

买中、小球钱数各是

（120-30×3）÷2=15（元）.

可买10个中球，15个小球.

答：买大球30个、中球10个、小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？

解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间

去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米.

例16从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？

解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

45-5×3=30（千米）.

又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是

（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

行走路程是3×4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.

做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.

例17某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？

解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.

每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

就有

9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答：其中考25题有2次.

例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？

解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车，

110-1.2×30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2×40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：

总头数50-35=15，

总脚数110-1.2×35=68.

因此，乘小巴前往的人数是

（6×15-68）÷（6-4）=11.

答：乘小巴前往的同学有11位.

在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.容斥问题

一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）

总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；

第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；

第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析：

例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？

解：设A={数学成绩90分以上的学生}

B={语文成绩90分以上的学生}

那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？

解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}

则A∩B={既打篮球又跑步的同学}

A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）

例4求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？

分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

解：设A={100以内的5的倍数}

B={100以内的7的倍数}

A∩B={100以内的35的倍数}

A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}

则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2

由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32

因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）

点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-（4+5+7）+2

=54（人）

解2：利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为；

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例6学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100

解得χ=14

只喜欢看电影的人数为

36-14=22

解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12

解得：х=14

∴36-14=22

所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。

点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为х）各个部分（本题是7部分）的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。

例7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68

例8，某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分？

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。

例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？

解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）

行程问题

两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足

速度差×时间=追及（或领先的）路程

对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的

【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？

【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。

【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）

这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。

【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？

【分析】为便于分析，画出线段图36-1：

图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。

根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。因此，DC的长为

这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为

1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）

这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。

【解】（留给读者完成，答案是195分钟。）

【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分？

【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。

由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

8÷（3-1）×3=12（分）

【解】8÷（3-1）×3×X2=24（分）

【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？

【分析】我们同样还是画出示意图37-2（图37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：

设AB两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时

通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。

下面，我们只要找出与“40千米”相对应的分率（也就是MN占全程的几分之几）。

【解】

注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。

我们来讨论封闭线路的行程问题。

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。

【例5】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400

知道甲还需行100（=300-200）米。

1400÷300=4（圈）……200（米）

300-200=100（米）

【例6】如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C点离A点80米，D点离B点60米。求这个圆的周长。

【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。也就是，前者所花的时间是后者的2倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了240米。这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。

【解】（80+80×2-60）×2=360（米）

【例3】2点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？

【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷4）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。而分针每小时走12格，时针每小时走1格。

后，时针才能与分针第一次垂直。

每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17格。所以要经

推理原理

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。

【例1】有一座四层楼（图25-1），每层楼有3个窗户，每个窗户有4块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是791，275，362，612。那么，第二层楼代表哪个三位数？

【分析】仔细观察图25-1和组成四个三位数的12个数字，“2”出现3次，两次在个位，一次在百位。容易看出图2（a）代表“2”，再从“6”、“7”都出现两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知：图25-2中（b）、（c）分别代表“6”和“7”。

【解】第二层楼代表612。

【例2】有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次。结果如下：

第一次①+②比③+④重

第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻

第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么，两个轻球的编号是__和__。

【分析】从第一次称的结果看，③、④两球中有一个轻；从第二次称的结果看，⑤、⑥两球中有一个轻；从第三次称的结果看，①、③、⑤三球中有一个轻，②、④、⑧三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果，可找出两个轻球。

【解】两个轻球的编号是④和⑤。

说明：在上面的推理中，我们省去了一步，也就是：排除了①、③、⑤与②、④、⑧中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“⑥、⑦”都是轻球”这一结论与第二次称的结果相矛盾。

【例3】如图25-3，每个正方体的六个面上分别写着1～6这六个数字，并且任意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于7。把这样的五个正方体一个挨着一个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于8。图3中打“？”的这个面上所写的数字是__。

【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是“2”，也可能是“5”。但用反证法可把第1种情况排除。怎样排除？（留给读者完成）

【解】打“？”的这面上写着“3”。

【例4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知：（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。问德国队得了__分。

【分析】由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1，说明这场比赛它以1∶0取胜。又因为它总失球数2，所以另一场比赛以0∶2输了。再由条件（1）知：以2∶0赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为1∶0。德、意两队以0∶0踢平（各记1分）。

【解】德国队得了3分。

【例5】某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩多少岁？

【分析】最大的孩子（10岁的）不是男孩，就是女孩。如果10岁的孩子是男孩，那么，根据题意，最小的女孩是6岁（6=10-4），从而，最小的男孩是4岁，再根据题意，最大的女孩是8岁（8=4＋4）。这就是说，4个女孩最小的6岁，最大的8岁，其中必有两个女孩同岁，但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。所以10岁的孩子不是男孩，而是女孩。最小（4岁）的孩子也是女孩。

【解】最大的男孩是4＋4=8（岁）。

在上面的分析中，我们用了这样的性质：如果4个自然数只能取三种不同的值，那么其中必定有两个数相等。

【例6】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

【分析】这次比赛共需比9＋8＋7＋……＋2＋1=45（盘）。因为每盘比赛双方得分的和都是1分（1＋0=1或0.5×2=1），所以10名选手的总得分为1×45=45（分）。每个队的得分不是整数，就是“a.5”这样的小数。由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。所以，乙队的总得分是18或36。但36÷3.6=10，而三个队一共才10名选手（矛盾）。所以，乙队的总分是18分，有选手18÷3.6=5（名）。甲、丙两队共有5名选手。

由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分、18分（不可能是27分。因为27＋18=45，甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名、3名，经试验，甲队4名选手，丙队1名选手。

【例7】将1～8这8个自然数分成两组，每组四个数，并使两组数之和相等。从A组拿一个数到B组后，B组的数之和将是A组剩下三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和是A组五个数之

【分析】1～8这8个数之和为36，分成的两组每组4个数之和为36÷2=18。第一次拿数后，A组剩下三数的和为36÷（1＋2）=12，拿出

接下去推就容易了，只要把剩下的1、2、4、5、7、8分成两组，其中A组另三个数之和为18-6=12。

【解】A组：1，4，6，7；B组：2，3，5，8。

教练员提示语

在运用试验法（排除法）时，应想办法使试验的次数尽可能少些，这就需要用足题目所给的已知条件，并有意识地寻找别的限制条件。如例2中“0.5的整数倍不是整数，就是小数部分为0.5的带小数”，“3.6的整数倍不可能是a.5这种形式”等。另外，像例2、例3中“总分45分”、“共10名选手”、“A组剩下三数之和为12”等，都是推理的重要根据。

逻辑推理问题。解这类题通常要借助于表格。

【例8】五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片。现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色。

A猜：第2封内是紫色，第3封是黄色；

B猜：第2封内是蓝色，第4封是红色；

C猜：第1封内是红色，第5封是白色；

D猜：第3封内是蓝色，第4封是白色；

E猜：第2封内是黄色，第5封是紫色。

然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中。请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？

【分析】把已知条件简明地记录在表格中（如图27-1）。选择其中一只信封作为“突破口”。比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色。由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色。假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜对，见图27-1，“白”这栏下面5（×）、4（×）。这说明假设不正确，第3封内应是黄色。由此推出其它各封内的颜色（见图27-2中的“√”）。

【例9】赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是机关干部。试根据以下条件，判断这四人的职业。

（1）赵和钱是邻居，每天一起骑车上班；

（2）钱比孙年龄大；

（3）赵在教李打太极拳；

（4）教师每天步行去上班；

（5）售货员的邻居不是机关干部；

（6）机关干部和工人互不相识；

（7）机关干部比售货员和工人年龄都大。

【分析】由条件（4）和条件（1）可知赵、钱都不是教师。由条件（2）和条件（7），可推知孙不是干部。如果是的话，钱不是工人或售货员，钱又不是教师。于是，钱也是干部，矛盾。这样我们得到下表。下面几步推理也用表格说明。

教练员提示语

解逻辑推理问题，需要借助表格，使已知条件及推出的有用结论一目了然。在表格中，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），以免影响推理的速度，或被错误信息干扰思路。

除了常用的反证法、排除法外，还需要掌握一些简单的逻辑知识。比如“两件互相矛盾对立（不能都存在）的事，如果一件不正确，另一件必定正确”。数字推理题型及讲解I

数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.

按照数字排列的规律,数字推理题一般可分为以下几种类型:

一、奇、偶：题目中各个数都是奇数或偶数，或间隔全是奇数或偶数：

1、全是奇数：

例题：1537（）

A.2B.8C.9D.12

解析：答案是C，整个数列中全都是奇数，而答案中只有答案C是奇数

2、全是偶数：

例题：2648（）

A.1B.3C.5D.10

解析：答案是D，整个数列中全都是偶数，只有答案D是偶数。

3、奇、偶相间

例题：2134176（）

A.8B.10C.19D.12

解析：整个数列奇偶相间，偶数后面应该是奇数，答案是C

练习：2，1，4，3，（），5