分块矩阵的运算

第二章矩阵§2.1矩阵的概念例2.1

平面直角坐标系中,坐标轴绕原点沿逆时针方向旋转θ角,点M的新坐标(x΄,y΄)与旧坐标(x,y)之间的关系为X’XxyMyx’Y’y’Oθ2.1矩阵的概念例2.2某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：季节产值产品1产品2产品3产品4180587578298708584390759090488708280这个数表具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化的规律的季增长率及年产量等情况。2.1矩阵的概念定义2.1矩阵(matrix)

简记为,或

—A的(i,j)元素,i—行标,j—列标实矩阵与复矩阵,R,C方阵,零矩阵如2.1矩阵概念单位矩阵行矩阵或行向量列矩阵或列向量如如21矩阵的概念上三角矩阵当i>j时,如下三角矩阵如对角矩阵记为di

称为对角元.可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：系数及常数项组成的矩阵称为方程组的增广矩阵.2.1矩阵及其运算同型矩阵：定义2.2

矩阵相等则称A与B相等,记为A=B例3

设解2.2矩阵的运算定义2.3

矩阵加法对于,规定如§2.2矩阵的运算注意：2.2矩阵的计算定义2.4

数乘矩阵对于,k为常数,规定kA(或记为Ak)数乘矩阵的运算满足:2.2矩阵的计算定义2.5

矩阵乘法规定,其中说明(1)AB有意义,必须是A的列数等于B的行数(2)当AB有意义时,AB的行数等于A的行数,AB的列数等于B的列数如,例1.1中的旋转变换可写成或2.2矩阵的计算例:设但是BA无意义2.2矩阵的计算小结:(1)矩阵乘法无交换律,有“左乘”和“右乘”之分(2)AB=0,未必有A=0或B=0(3)AB=AC,且A≠0时未必有B=C2.2矩阵的计算矩阵乘法满足下列运算规律2.2矩阵的计算上式右端第1项为AC的(i,j)元,上式右端第2项为BC的(i,j)元,故上式右端为AC+BC的(i,j)元(6)式两端的(i,j)元相等证毕2.2矩阵的计算方阵的幂m个但对于同阶方阵A、B来说,下列等式不一定成立：这些等式在AB＝BA时才成立(k,l为非负整数)方阵的幂满足：2.2矩阵的计算例解：证之2.2矩阵的计算定义2.6

矩阵的转置22矩阵的计算可将(4)推广为：解：2.2矩阵的计算对称矩阵:同阶对称矩阵之和、差及数乘对称矩阵，所得矩阵仍为对称矩阵，但对称矩阵之积却不一定是对称矩阵。1.2矩阵的计算反对称矩阵：例：

试证：任一n阶方阵A可表示为一个对称矩阵与一反对称矩阵之和证：即B为对称矩阵即C为反对称矩阵2.2矩阵的计算2.2矩阵的计算为由n维向量到m维向量的一个线性变换.利用矩阵乘法可将(1-8)式写成2.2矩阵的计算1.2矩阵的计算则复合线性变换ST为故ST的矩阵为BA2.2矩阵的计算例2.11

线性方程组与矩阵或2.2矩阵的计算为方程组(1-12)的增广矩阵2.3方阵的逆矩阵2.3方阵的逆阵定义2.7(逆矩阵)单位阵I

:对角阵:

I-1

=I2.3方阵的逆阵若方阵A为可逆矩阵,那么A的逆阵是否只有一个呢?定理1若方阵A可逆,则A的逆阵唯一证:设B,C都为A的逆矩阵,则由逆矩阵的定义可得:B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C可逆矩阵也称为非退化矩阵(或非奇异矩阵),若方阵A不存在逆矩阵,则称它为退化矩阵(或奇异矩阵)1.3方阵的逆阵1.3方阵的逆阵定理2(1)若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A;(2)若k(≠0)∈R,A可逆,则kA也可逆,且(kA)-1=k-1A-1;(3)若A,B为同阶可逆阵,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1;(4)若A可逆,则AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T;2.3方阵的逆阵例证:例证:2.3方阵的逆阵例设A为n阶方阵且满足证明A可逆,并求例证(1)(2)

所以，A+I

和A-2I不同时可逆.

为什么？(1)A和I-A都可逆，并求其逆矩阵；例

设方阵A满足A2-A-2I=O,证明：(2)A+I

和A-2I不同时可逆.

例

证2.3方阵的逆阵例若A,B,C是同阶矩阵,且A可逆,证明下列结论中(1),(3)成立,举例说明(2),(4)不成立。（1）若AB=AC,则B=C（2）若AB=CB,则A=C（3）若AB=0,则B=0（4）若BC=0,则B=0解：2.3方阵的逆阵2.4分块矩阵及其运算子矩阵,前主子矩阵分块矩阵—用一些横线和纵线(穿过矩阵)将矩阵分成为若干个矩形的子块(子矩阵),以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.2.4分块矩阵及其运算分块矩阵的运算2.4分块矩阵及其运算分块矩阵运算时,把子块作为元素处理。如果将矩阵分块为设k为常数，则kA=k()=(k)。如果将矩阵，分块为2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算矩阵的转置2.4分块矩阵及其运算例:分块对角矩阵的乘法乘法2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算其中Aii(I=1,2,…,m)均为方阵2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算例

设矩阵用分块矩阵计算kA,A+B及AB。解：将矩阵A,B分块如下：2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得2.4分块矩阵及其运算的分块矩阵，其中App,(p=1,2,…，s)都是方阵，称为分块对角矩阵。的分块矩阵，其中App,(p=1,2,…，s)都是方阵，分别称为分块上三角矩阵或分块下三角矩阵。2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算例设A,C分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：解：2.4分块矩阵及其运算2.4分块矩阵及其运算例设A,B分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：解：返回2.5初等变换与初等方阵定义(初等变换)

矩阵的3种初等行(列)变换：定义(矩阵等价)等价矩阵的简单性质：自反性：对称性：传递性阶梯形矩阵：非阶梯型矩阵：行阶梯形矩阵的特点(1)若有零行,则零行全部在矩阵的下方.(2)从第一行起,每行第一个非0元素前面的零的个数逐行增加.简化行阶梯型矩阵(行最简形)：行最简形的特点(1)具有行阶梯形的特点.(2)非0行的第一个元素为1,且该“1”所在的列的其余元素全为0.矩阵的标准形矩阵的标准形的特点左上角是一个r阶单位阵,其余元素都为零.定理3

任一非零矩阵A,都可以通过有限次初等行变换把它化为阶梯型矩阵例

用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵解定义对单位矩阵施以一次初等行(列)变换后所得到的矩阵称为相应的行(列)初等矩阵。初等行矩阵分别记为：初等列矩阵分别记为：第i行第j行第i列第j列第i行第i列第i行第j行第i列第j列定理4(初等变换与初等方阵的关系)

例如例如定理5初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为同型的初等矩阵，且有：定理6非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。定理7对任一非零矩阵A,必可经过有限次初等变换之后都可化为标准形定理8