4.1 数列的概念（第1课时 数列的有关概念及表示法） 课件

第四章数列

对数列的研究源于现实生产、生活的需要.

例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同-时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数.人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程.像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列.如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集(或正整数集的有限子集)上的一类离散函数.

本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些问题.我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列.

我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法.在本章的学习中，我们可以体验通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和方法;通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力.

传说古希腊毕达哥拉斯(约公元前570-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过：由于这些数可以用如图1所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数.正方形数类似地,被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形.4.1数列的概念

第一课时(数列的有关概念及表示法)一、探究新知

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1.本学期半期考试数学成绩前10名同学的依次排成一列数:

135，131，129，123，121，117，116，113，111，106.

记第i名的数学成绩为hi，那么h1=135，h2=131，…，h10=106.我们发现，hi中的i反映了数学成绩从1到10名的顺序排列时的确定位置,即h1=135是排在第1位的数,h2=131是排在第2位的数…h10=106是排在第10位的数，它们之间不能交换位置.

所以，上面那一系列的数是具有确定顺序的一列数.一、探究新知2.在两河流域发掘的一块泥版(编号K90，约产生于公元前7世纪)

上,有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部

分的数”:

记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5，s2=10，…，s15=240.

这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数，…，s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.所以,上面那一系列的数也是具有确定顺序的一列数.

把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.3.

的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数:

你能仿照例如1、2的叙述，说明例如3也是具有确定顺序的一列数吗?

上述例子的共同特征是什么?一、探究新知二、数列的有关概念及表示1.数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.(1)“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？

与“1,3,2,4,5”呢？(2)数列中的数可以重复吗？(3)数列与集合有什么区别？集合：无序性、互异性、确定性，数列：有序性、可重复性、确定性.二、数列的有关概念及表示2.数列的项：

数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上

的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示，第二个位置上的数

叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个

数列的第n项,用an表示．其中第1项也叫做首项.3.数列的一般形式:可简记为{an}.a1,

a2,a3,a4,…,an,….三、数列与函数的关系

由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号123…n…项a1a2a3…an…

所以数列{an}是从正整数集N﹡(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n)．也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N﹡）有意义,那么f(1),f(2),…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}.

以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的子集解析式y＝f(x)an＝f(n)图象点的集合一些离散点的集合三、数列与函数的关系n12345678910an135131129123121117116113111106

从上表和上图，你能发现此数列中的项随序号的变化呈现出的特点吗?

与函数类似，我们可以定义数列的单调性.

与其他函数-样，数列也可以用表格和图象来表示，例如中的数列1用表格和图象表示如下：四、数列的分类1.按项之间的大小关系分：

递增数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.

常

数

列：各项都相等的数列.

摆动数列：2.按项数分：

有穷数列：项数有限的数列.

无穷数列：项数无限的数列.下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)全体负整数构成数列：-1，-2，-3，-4，-5，….(2)1996-2002年某市曾通高中生人数(单位:万人)构成数列：

82，93，105，119，129，130，132.(3)无穷多个3构成数列：3，3，3，3….(4)-1的1次幂，2次幂，3次幂，…构成数列：-1，1，-1，….五、数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

例如，

的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数:

显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.

此数列的通项公式为：六、典型例题例1根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它

们的图象.六、典型例题例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式:

(-1)n或(-1)n+1常常用来表示正负相间的变化规律.七、课堂小结1.数列的含义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数

叫做这个数列的项.数列的第一个位置上

的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示，第二个位置上的数

叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个

数列的第n项,用an

表示．其中第1项也叫做首项.

数列的一般形式:a1,

a2,a3,…,an,….可简记为{an}.函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的子集解析式y＝f(x)an＝f(n)图象点的集合一些离散点的集合2.数列与函数的关系(2)按项数分：

有穷数列：项数有限的数列.

无穷数列：项数无限的数列.七、课堂小结3.数列的分类4.数列的通项公式(1)按项之间的大小关系分：

递增数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一