第一课时等比数列前项公式

第4章数列INNOVATIVEDESIGN4.3.3等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和公式成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期课标要求1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.素养要求在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、等比数列的前n项和公式1.思考设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，试推导Sn.提示

法一

(错位相减法)Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①.在①式两边同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn②.由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，2.填空

温馨提醒

(1)等比数列前n项和公式的推导方法一采用的是错位相减法，就是在前n项和式子的两边同乘公比，通过相减，可以抵消相同的项，从而得到等比数列前n项和Sn.这种方法一般适用于数列{anbn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.(2)当q＝1时，等比数列前n项和公式不能用错位相减法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.B由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为________.(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是关于n的________函数(常数项为0的一次函数)，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点.相反数正比例温馨提醒

我们可以得到利用等比数列前n项和判断数列{an}是否为等比数列的变形：Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0)，且A＋B＝0.3.做一做如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列.(填“是”或“不是”).是HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2题型一等比数列前n项和公式的应用迁移1

设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.迁移2

在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.思维升华(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.例2

已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.题型二等比数列前n项和公式的函数特征应用解

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.法一由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，故{an}不是等比数列.法二由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.思维升华训练2

若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.题型三利用错位相减法求数列的前n项和例3

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；思维升华训练3

求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).课堂小结1.牢记2个公式课堂小结2.掌握2种方法 (1)等比数列的通项公式和前n项和公式的基本量法. (2)错位相减法.3.注意1个易错点

前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(

)D2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(

) A.33 B.72 C.84 D.189C解析

由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.3.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝(

)BCBD323n－12n－19.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去.故公比q＝3，首项a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.解

bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和11.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(

) A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{log2an}是公差为2的等差数列ABC解析∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，又公比q为整数，故a1＝q＝2，故A正确；∴数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确；由B知S8＝29－2＝510，故C正确；由B知log2an＝n，数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误.－213.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？解

因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，所以an＋1－an＝3an，所以an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1，得a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时