浙江省温州市2022-2023学年高一（下）数学期末试卷（A卷）

浙江省温州市2022-2023学年高一（下）数学期末试卷（A卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知z∈C，i为虚数单位，若z⋅i=1−i，则z=（）A．1−i B．−1−i C．−1+i D．i2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=2，A=45°，B=60°，则a=（）A．263 B．2 C．23．直线a，b互相平行的一个充分条件是（）A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面4．在四边形ABCD中，已知OA+OC=A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形5．某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB//平面MNPA． B．C． D．7．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A=“第二次摸出的球是红球”，事件B=“两次摸出的球颜色相同”，事件C=“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=2A．P(B)=25 C．P(AB)=458．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=6，AD=8，E为棱AD上一点，且AE=6，平面AA．34+26 B．34+22 C．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9．已知复数z，其共轭复数为z，下列结论正确的是（）A．z⋅z=|C．z+z=0 10．国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如下表所示，并绘制如图所示的折线图，则（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D．郑州月平均气温的第一四分位数为1011．平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a与b夹角为A．|c|B．|a−C．|a−D．c⋅(b12．如图，在长方形ABCD中，AB=1，AD=4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿直线BF进行翻折，将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（）A．直线AB与直线CD可能垂直 B．直线AF与CE所成角可能为60°C．直线AF与平面CDE可能垂直 D．平面ABF与平面CDE可能垂直三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M=“电路是通路”包含的样本点个数为．14．已知平面向量a=(2，0)，b=(1，1)，则15．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为．16．如图，四边形ABCD为筝形(有一条对角线所在直线为对称轴的四边形)，满足AO=3OC，AD的中点为E，BE=3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+4=0(a∈R)有两个根x1，x（1）求a的值；（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段18．在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=（1）用a，b表示EF；（2）若BD⋅EF=19．如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO（1）求圆柱OO（2）若∠ABF=30°，求点F到平面BDE的距离．20．现行国家标准GB2762−2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知bcosC−ccosB=2a．（1）若c=a，求B的大小；（2）若c≤2a，过B作AB的垂线交AC于D，求BC⋅BDS22．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是边AD上的动点，沿BE将△ABE翻折至△A'BE（1）当AE=3时，求证：A'（2）当线段A'C的长度最小时，求二面角

答案解析部分1．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：z=1−ii=2．【答案】A【知识点】正弦定理的应用【解析】【解答】解：因为b=2，A=45°，B=60°，，

由正弦定理asinA=bsinB可得a=3．【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】解：对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，错误；

对于B：若a，b与同一个平面所成角相等，则a，b可平行，可相交，可异面，错误；

对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，正确；

对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，错误；

故选：C.

【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，再结合充分条件的概念，可得出正确的答案.4．【答案】D【知识点】向量加减混合运算【解析】【解答】解：∵OA+OC=OB+OD，

∴OA→−OB→=OD→−OC→，5．【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：设五个数位x1，x2，x3，x4，x5，

则x1−32+x2−36．【答案】C【知识点】直线与平面平行的判定【解析】【解答】解：对于A：连接MB，NC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足AB//平面MNP，故A错误；

对于B：如图所示，G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM，

则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB//EM，

因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB//平面MNP，故B错误；

对于C：连接AD，交MN与点O，连接PO，因为O，P分别为AD，BD中点，

所以PO//AB，由线面平行的判定定理可知，AB//平面MNP，故C正确；

对于D：D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，

平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，

取AC的中点为O，连接OM，由中位线定理可知，AB//OM，

因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB//平面MNP，故D错误；

故选：C.

【分析】由AB与平面MNP相交，判断A；由AB//EM，结合E不在平面NGFMPH判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.7．【答案】C【知识点】互斥事件与对立事件【解析】【解答】解：由题意可得，事件A，C对立，P(A)+P(C)=1，故B正确；

设盒子中有m个红球，5-m个黄球，

P(A)=m5×m−14+5−m5×m4=4m8．【答案】B【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设Q(x，y，z)，长方体外接球球心记为O.

则O3，4，3，A6，8，0，B0，8，0，E6，2，0，A16，8，6，

EQ→=x−6，y−2，z，AQ→=x−6，y−8，z，EB→=−6，6，0，EA1→=0，6，6，OQ→=x−3，y−4，z−3，

因为EQ→·AQ→=0，所以x−62+y−2y−8+z2=0①.

又动点Q在面A1BE上，所以可设EQ→=λEB→+μEA1→，

则x−6=−6λy−2=6λ+6μz=6μ⇒x=6−6λy=6λ+6μ+2z=6μ②.

将②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ=λ+μ③.

在三棱锥A-A1BE中，AE=AB=AA1=6且AE，AB，AA1两两互相垂直，

所以三棱锥A-A1BE为正三棱锥且底边BE=62.

当AQ⊥面A-A1BE时，|AQ|最小，在正三棱锥A-A1BE中由等体积法有13×12×6×6×6=13×9．【答案】A,D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模【解析】【解答】解：设z=a+bia，b∈R，则z=a−bi，

对于A，z·z=a+bia−bi=a2+b2，z2=a2+b22=a2+b2，则z⋅10．【答案】A,C,D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，昆明月平均气温的极差为21.6-9.3=12.3，

郑州月平均气温的极差为28.9-2.9=26>12.3，故A正确；

对于B，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，

所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；

对于C，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，

则昆明月平均气温的中位数为16.8+192=17.9，

郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，

则郑州的月平均气温的中位数为15.2+16.52=15.85<17.9，

郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；

对于D，因为12×14=3，所以郑州月平均气温的第一四分位数为8.7+11.32=10，故D正确.

11．【答案】A,D【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用；平面向量的综合题【解析】【解答】解：由题知，设a→=1，0，b→=m，n，c→=x，y，

因为|b|=2，a与b夹角为π3，

所以b→=2cosπ3=a→·b→a→·b→⇒m2+n2=212=mm2+n2⇒m=1n=3或m=1n=−3，

即b→=1，3或b→=1，−3，

因为|a−c|=|b−c|，

所以1−x，−y=1−x，3−y或1−x，−y=1−x，−3−y，

即1−x2+−y2=1−x2+3−y2或1−x2+−y2=1−x2+−3−y2，

则y=32或y=−32，即c→=x，32或c→=x，−32，

所以c→=x2+322≥32，A正确；

以a的起点为原点O，a的方向为x轴正向建立平面直角坐标系，

当c→=x，32时，

则a的终点落在A上，c的终点落在y=32上，

作O点关于y=3212．【答案】A,D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：如图，将△ABF沿直线BF进行翻折，得到以BF为轴，线段AF绕BF旋转形成的一个圆锥，点A在圆锥的底面圆周上，

同理将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，点C也在相应的圆锥的底面圆周上.

对于A，如图，在长方形ABCD中，AB//CD.CD旋转形成的圆锥的轴截面张角∠CDC'最大，

由AB=1，AD=4，则CE=2，tan∠EDC=ECCD=2>1，

所以∠EDC>π4，则∠CDC'>π2，

假设△ABF不做旋转，CD在旋转过程中可以与旋转前的初始位置CD垂直，即CD在旋转过程中可以与AB垂直，故A正确.

对于B，由选项A同理可得tan∠DEC=CDEC=12<33，∠DEC<π6，轴截面张角∠CEC'<π313．【答案】3【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】【解答】解：设元件正常为1，失效为0，

由A，B两个元件组成并联电路，

则至少有一个元件正常，

故事件M=“电路是通路”包含的样本点为（1，1），（1，0），（0，1）共3个.

故答案为：3.

【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解.14．【答案】1【知识点】空间向量的投影向量【解析】【解答】解：因为a=(2，0)，b=(1，1)，

所以b=(1，1)15．【答案】6【知识点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接MC，设MC的中点为E，连接EF，CF

因为M，C分别为中点，

所以MC//NF，且ME=NF=12MC，

则四边形MEFN为平行四边形，

所以MN//EF，

所以直线MN与平面ABCD所成角即为直线EF与平面ABCD所成角，

又MC⊥平面ABCD，

所以直线EF与平面ABCD所成角即为∠EFC，

设正方体的棱长为，

则EC=1，CF=22+12=5，EF=EC2+CF2=6，

所以sin∠EFC=16．【答案】2【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【解析】【解答】解：以点O为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系.

设BD=2a，AC=4ta>0，t>0，

则A0，−3t，Ba，0，C0，t，D−a，0，E−a2，−32t.

因为BE→=−3a2，−32t，所以94a2+t17．【答案】（1）解：因为关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+4=0有两个复数根x1所以复数x1，x则x2所以x1+x（2）解：因为x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，所以A(1，所以线段AB的长度为23【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示【解析】【分析】（1）根据题意可得复数x1，x2互为共轭复数，再利用韦达定理即可求出a；

（2）根据复数的几何意义求出A，B两点的坐标，进而可得答案.18．【答案】（1）解：如图，∵在菱形ABCD中，AE=13AD，BF=∴EF（2）解：∵BD∴(AD∴(b∴23a∴5∴a∴cosA=cos<a，b【知识点】平面向量的线性运算；数量积表示两个向量的夹角【解析】【分析】（1）由向量的加法和数乘运算求解即可；

（2）根据向量的运算对BD⋅EF=AB⋅DA，化简可得19．【答案】（1）解：设圆柱OO1的底面半径为r，则πr则圆柱OO1的表面积为（2）解：连接AF，因为AF⊥BF，AF//DE，所以设点F到平面BDE的距离为ℎ，易知DE⊥EF，DE⊥EF，EF，BF⊂平面BEF，EFBF=F所以DE⊥平面BEF，因为EB⊂平面BEF，所以DE⊥EB，所以BF=AB⋅cos30°=3EF=2r，BE=4因为VD−BEF=V即23r3【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）由圆柱的体积公式计算底面半径，再根据表面积公式求解；

（2）证明DE⊥平面BEF，再根据等体积法由VD−BEF20．【答案】（1）解：由0.4×(0.则这200条鱼汞含量的样本平均数为0.（2）解：样本中汞含量在[1.0，则估计进口的这批鱼中共有0.（3）解：由题意可知，样本中汞含量在[1.0，则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为1−1顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为12则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为34【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出a，进而由平均数的公式求解即可；

（2）求出样本中汞含量在[1.0，21．【答案】（1）解：∵bcosC−ccosB=2a，由余弦定理得b⋅a化简得b2又c=a，则b2−a则cosB=a又B∈(0，π)，则（2）解：在Rt△ABD中，BD=ctanA，则BC⋅BDS又由(1)得b2则BC⋅BDS∵c≤2a，∴c又b<a+c，b2则c2+2a∴c∴1令t=∴f(t)在(12，∴f(又f(12)=3∴22≤f(t)≤9故BC⋅BDS的取值范围为[【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角为边，求出b=3a，再利用余弦定理即可得解；

（2）先求得BD=ctanA，再根据三角形的面积公式结合22．【答案】（1）证明：当AE=3时，ED=AD−AE=4−3=1，又AB=3在Rt△BAE中，BE在Rt△CDE中，CE所以BE所以CE⊥BE，因为二面角A'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知CE⊥BE，CE⊂面CBE，所以CE⊥面A'又因为A'B⊂面所以CE⊥A'（2）解：在图二中过点A'作A'M⊥BE，垂足为M因为二面角A'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知A'所以A'M⊥面又因为MC⊂面BCE，所以A'设A'E=x，则BE=BA所以A'CG=BC×CD所以A'因为0<x≤4，所以当x=4时，A'在矩形ABCD中，过点C作CG⊥BD，垂足为G，再过点G作GH⊥AB，因为二面角A'所以面A'BE⊥面又面A'BE面由上知CG⊥BD，所以CG⊥面BCE，由三垂线定理可得CH⊥A'所以二面角C−A'B−E的平面角为BD=ACG=BC⋅CDGD=C所以BG=BD−GD=19由△BHG∽△BAD得，BGBD=HG所以HG=64所以tan∠GHC=CG所以sin∠GHC=777【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得CE⊥面A'BE，再由线面垂直判定定理证明即可；

（2）根据题意先证得二面角C−A'B−E的平面角为∠CHG，再利用相似三角形的性质求得HG=64

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）65.0(43.3%)主观题（占比）85.0(56.7%)题量分布客观题（占比）13(59.1%)主观题（占比）9(40.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）6(27.3%)70.0(46.7%)填空题（本大题共4小题，共20.0分）4(18.2%)20.0(13.3%)单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）8(36.4%)40.0(26.7%)多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）4(18.2%)20.0(13.3%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(50.0