浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷一、单选题1．角α终边上有一点P(−1，2)，则A．−12 B．-2 C．252．曲线y=xln(x−1)在点(2，A．y=2x−4 B．y=2x+4 C．y=x+2 D．y=x−23．在三角形ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，A．23 B．22 C．264．(a+b)2n(n∈N∗)展开式中第6A．-10 B．10 C．5 D．-55．已知α为第三象限角，cosα=−35，则A．209 B．−49 C．−6．已知5个医生（其中有一对夫妻）分配到3个地区，要求每个地区至少一个医生，则这对夫妻分配到同一个地区的概率为（）A．325 B．625 C．9257．函数f(x)=eA．当a=1时，f(x)无极值点B．当a=−1时，f(x)存在唯一极小值点C．对任意a>0，f(x)在x∈(−π，D．存在a<0，f(x)在x∈(−π，8．已知随机变量ξ∼B(9，13)，若对任意的正实数x1，xA．[e2，+∞) B．[e3二、多选题9．2023春节档期有《流浪地球2》，《满江红》，《深海》，《无名》，《交换人生》5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场”，事件B：“《深海》是第一场”，则下列结论中正确的是（）A．事件B包含144个样本点 B．P(A)=C．P(AB)=320 10．下列等式正确的是（）A．sinB．2C．sinD．tan11．(1+xA．各项系数之和为64 B．常数项为15C．x的系数为6 D．x−112．已知x∈[−π，π]，函数A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)有1个极值点C．f(x)在(0，π2)上单调递增三、填空题13．(1+ax)5=a0+14．f(x)=f′(2)lnx+x15．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则E(X)=．16．镜湖春游甲吴越，茑花如海城南陌．四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古镇，千年水利工程它山堰就在此处．时间有限，小明打算游览6个景点，上午4场，下午2场．其中它山堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻．其中上午第4场和下午第1场不算相邻，则不同的游览方式有种．四、解答题17．已知在(x（1）求n和a；（2）求展开式中系数最大的项；（3）求(1+x)318．已知函数f(x)=2sinxcosx+2（1）求函数f(x)的最小正周期､单调递增区间及最值；（2）若A为锐角△ABC的内角且f(A)=3，a=219．已知函数f(x)=（1）求f(x)的单调区间；（2）当x∈(0，+∞)，f(x)≥0恒成立，求20．新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．（1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．（2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．21．为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在附参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则（1）求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；（2）若我市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N∼(μ，σ2①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列､均值．22．已知a>0，函数f(x)=xa(lnx−a（1）若a=1，求f(x)的极小值；（2）求f(m)的最小值；（3）互不相等的正数x1，x2，x

答案解析部分1．【答案】D【知识点】任意角三角函数的定义【解析】【解答】因为角α终边上有一点P(−1，2)，所以所以cosα=x故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合余弦函数的定义，进而得出角α的余弦值。2．【答案】A【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为y=xln(x−1)，所以y′所以y′所以曲线y=xln(x−1)在点(2，0)处的切线斜率为所以曲线y=xln(x−1)在点(2，0)处的切线方程为即y=2x−4，故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线在切点处的切线的方程。3．【答案】C【知识点】正弦定理【解析】【解答】由正弦定理可得asin因为∠A=6所以2sin所以b=2故答案为：C．

【分析】利用已知条件结合正弦定理得出b的值。4．【答案】A【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】因为(a+b)2n(n∈N∗)展开式中第6则(a+b)2n(n∈N∗)的展开式共11所以，(x−2令5−3k2=1，可得k=1，因此，(x−2故答案为：A.

【分析】利用(a+b)2n(n∈N∗)展开式中第6项的二项式系数最大，且(a+b)2n(n∈N∗)共有5．【答案】D【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值【解析】【解答】因为α为第三象限角，cosα=−3所以sinα=−所以tanα=sin2α+co=2sinα故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合角所在的象限和同角三角函数基本关系式，进而得出角α的正切值，再利用同角三角函数基本关系式得出sin2α+cos6．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】将5个医生分配到3个地区，每个地区至少一个医生的不同分配方法共有C5其中互为夫妻的一对医生分配到同一地区的满足要求的不同分配方法共有C3所以这对夫妻分配到同一个地区的概率P=36故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合古典概型求概率公式得出这对夫妻分配到同一个地区的概率。7．【答案】C【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理【解析】【解答】因为f(x)=e所以f′当a=1时，f′当−π<x≤0时，−1≤sinx≤0，当x>0时，−1≤sinx≤1，所以函数f(x)在(−π，+∞)上单调递增，无极值点，A符合题意；当a=−1时，f(x)=ex−cosx所以f当x≥0时，因为−1≤sin所以f′所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，当−π<x<0时，设φ(x)=1+sin则φ′令φ′(x)=cos当−π<x<−34π时，φ′(x)<0当−34π<x<0时，φ′(x)>0又φ(−π)=1>0，φ(0)=1>0，φ(−3π所以存在x0∈(−π，所以当x∈(−π，x0)时，φ(x)>0，f′当x∈(x0，x1)时，φ(x)<0，当x∈(x1，0)时，φ(x)>0，f′所以函数f(x)在(−π，x0)单调递增，在所以当x=x0时函数f(x)取极大值，当x=x所以函数f(x)存在唯一极小值点；B符合题意；因为f(x)=ex+acosx所以f′令g(x)=1可得g′令g′(x)>0，可得令g′(x)<0，可得所以函数g(x)(2kπ−3π4，在区间(−π，−3π4)且g(2kπ+π4)=1a所以函数g(x)在(−3πg(π4)=当a>2eπ4时，故存在x2∈(−3π当x∈(−3π4，x2)时，所以当a>2eπ4时，存在当x∈(−3π4，x2)时，所以x2为函数f(x)当−1<a<−e当x>0时，f′函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，又所以函数f(x)在(0，当x∈(−π，−π函数f(x)在(−π，当x∈(−π2，0)时，所以函数f′(x)在又f′(−π存在x3∈(−π2，当x∈(−π2，x3)时，当x∈(x3，0)时，f′所以当x∈(−π2，0)，所以f(x当x3=−π4所以存在a<0，f(x)在故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点，再结合零点存在性定理得出函数在给定区间零点的个数，从而找出说法不正确的选项。8．【答案】B【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】因为ξ∼B(9，13所以不等式x1lnx又x1所以x1所以lnx由已知对任意的x1，x2∈(m设f(x)=lnx−2x，则f(x)在因为f′所以3−lnxx2≤0所以lnx≥3在(m，所以x≥e所以m的取值范围为[e故答案为：B.

【分析】利用ξ∼B(9，13)，从而结合二项分布求方差的公式得出随机变量ξ的方差，所以不等式x1lnx2−x2lnx1x1−x2>D(ξ)可化为9．【答案】B,C【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】随机试验采用抽签法决定5部电影放映顺序有A5《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场的排法可分为两类第一类，《满江红》排最后一场，其余4部电影在前4个位次全排列，共有A4第二类，《满江红》不排在最后一场，先排《满江红》有3种排法，再排《无名》有3种排法，再排其它影片有A33种排法，故第二类共有所以事件A包含的样本点的个数为A4事件B包含的样本点的个数为A4由古典概型概率公式可得P(A)=78《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场，且《深海》是第一场的排法可分为三步完成，第一步先排《深海》排在第一场，只有一种方法；再在第二场到第四场中排《无名》有3种方法，最后在剩余三个位次排列其它影片有A3所以事件AB包含的样本点的个数为3A由古典概型概率公式可得P(AB)=18由条件概率公式可得P(B|A)=P(AB)故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合排列数公式求计数问题的方法得出事件B包含的样本点的个数，再利用古典概型求概率公式得出事件A的概率，再结合独立事件乘法求概率公式得出P(AB)的值，再利用条件概型求概率公式得出P(B|A)的值，进而找出结论正确的选项。10．【答案】A,C,D【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式【解析】【解答】sin15°2sisin26°tan71°−故答案为：ACD

【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正切公式，进而找出等式正确的选项。11．【答案】A,B,C【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】令x=1，则(1+1所以各项系数之和为64，A符合题意；因为(1+x(1+1x)所以T1所以原式的展开式中的常数项为1×T原式的展开式中含有x的项为2x×T原式的展开式中含有x−1的项为1×故答案为：ABC.

【分析】利用已知条件结合赋值法得出各项系数的和，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出展开式中的常数项、展开式中含有x的项和展开式中含有x−112．【答案】B,D【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；图形的对称性【解析】【解答】因为x∈[−π，π]，所以函数又f(−x)=cos(−x)所以函数f(x)为偶函数，A不符合题意；又f′设g(x)=−sin则g′当0<x<π2时，g′(x)<0，函数当π2<x<π时，g′(x)>0，函数又g(0)=0，g(π)=−π所以当x∈[0，π]时，g(x)≤0，当且仅当所以f′所以函数f(x)在[0，π]上单调递减，又函数所以函数f(x)在[−π，0)上单调递增，又故函数f(x)在[−π，函数f(x)在(0，所以函数f(x)的最大值1，D符合题意；故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性、求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点，再结合极值比较法得出函数的最值的方法，进而找出说法正确的选项。13．【答案】1；16【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】由(1+ax令x=1，得a0又a0+由已知(1+a)5=32，所以所以(1+x令x=−1，得a0−①—②，得2(a1故答案为：1；16.

【分析】利用已知条件结合赋值法得出各项系数的和，从而得出a的值，再利用赋值法和作差法得出a114．【答案】8ln2+4【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则【解析】【解答】因为f(x)=f所以f(2)=f′(2)ln2+4所以f′(2)=f所以f(2)=8ln2+4，故答案为：8ln2+4.

【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合赋值法得出导函数的值，再由代入法得出函数的值。15．【答案】1【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，5对应概率依次为：P(X=5)=1P(X=3)=CP(X=2)=2P(X=1)=9P(X=0)=1−1则E(X)=5×1故答案为：1.

【分析】利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望。16．【答案】444【知识点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】若不考虑题中的要求则不同的游览方式的个数为A6其中它山堰排在第一场的不同的游览方式的个数为A5趣湾农庄和茶园相邻游览方式的个数A2它山堰排在第一场且趣湾农庄和茶园相邻的游览方式的个数为A2由间接法可得满足条件的不同的游览方式有720−120−192+36=444种，故答案为：444.

【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式求计数问题的方法，进而得出不同的游览方式的种数。17．【答案】（1）解：因为(x所以2n=256，解得所以(x二项式(xTk+1=C所以(x+a⋅3第三项的二项式系数为C8由已知a3所以a=2；（2）解：设第k+1项系数最大则C∴2⋅解得5≤k≤6，又k∈{0，所以k=5或k=6，所以展开式中系数最大的项为第6项和第7项，所以系数最大项为T6=1792x（3）解：由二项式定理可得(1+x)n，n∈N∗，n≥3所以(1+x)3C3又C3所以(1+x)3+(【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【分析】（1）在(x+a⋅3x)n展开式中，所有项的二项式系数之和为256，再利用所有项的二项式系数之和求解公式得出n的值，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式得出(x+a⋅3x)8的展开式的第4项的系数和第三项的二项式系数，再结合已知条件得出a的值。

（2）设第k+1项系数最大，则C8k2k≥C8k−12k−118．【答案】（1）解：f(x)=2sinxcosx+2=2sin(2x−故函数f(x)的最小正周期T=2π由−得−π∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π当2x−π3=2kπ+即当x=kπ+5π12，k∈Z时，f(x)取最大值，最大值为当2x−π3=2kπ−即当x=kπ−π12，k∈Z时，f(x)取最小值，最小值为∴f（2）解：由f(A)=3得2sin(2A−所以sin(2A−π又0<A<π2，所以解得A=π由余弦定理cosA=b2+可得b2而b2+c2≥2bc所以S=12bcsinA≤33，当且仅当b=c=23【知识点】函数的单调性及单调区间；复合三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的最值；函数最值的应用；余弦定理；三角形中的几何计算【解析】【分析】(1)利用已知条件结合二倍角的正弦和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出函数f(x)的单调递增区间，再利用函数的单调性求出函数f(x)的最值。

（2）由f(A)=3结合函数的解析式和代入法得出sin(2A−π3)=319．【答案】（1）解：由已知，f(x)的定义域是(−∞，+∞)，①当a≤0时，f′(x)>0成立，f(x)②当a>0时令f′(x)>0，得x>lna，则f(x)令f′(x)<0，得x<lna，则f(x)综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(−∞，+∞)，函数当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(lna，+∞)，函数f(x)的单调减区间为（2）解：当x∈(0，+∞)时，即x>0时，a≤e所以a≤(ex设g(x)=e设g′当x∈(0，1)时，g′(x)<0，函数当x∈(1，+∞)时，g′(x)>0，函数则g(x)在x=1处取得最小值，g(1)=e，则a≤e综上所述，x∈(0，+∞)时，f(x)≥0成立的a的取值范围是【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。

（2）利用x的取值范围结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。20．【答案】（1）解：考生甲选择了地理作为再选科目的概率是p=C考生乙选择了地理作为再选科目的概率是p=C所以考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率是p=1（2）解：X为的可能取值为：0，1，2，3，所以p(X=0)=Cp(X=2)=C则X的分布列为：X0123p2127271E(X)=0×21【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合及简单计数问题【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，进而得出考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率。

（2）利用已知条件得出随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。21．【答案】（1）解：由频率分布直方图性质可得：(0所以，a=0.由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有10×0.获二等奖的有10×0.008×100=8人，获三等奖的有共有30人获奖，70人没有获奖，从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为C100设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为C701C即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为14（2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，μ=35×0+75×0则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，①因为μ+δ=79，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.所以P(故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为0.②由μ=64，得P(即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12所以随机变量ξ服从二项分布B(3，所以P(ξ=0)=C30P(ξ=2)=C32所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P1331E(ξ)=np=3【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频率之和等于1，进而得出实数a的值，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而结合古典概型求概率公式得出抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率。

(2)由样本频率分布直方图得出样本平均数的估计值，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)。②由μ=64得P(X>64)=12，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12，所以随机变量ξ22．【答案】（1）解：因为a=1，所以f(x)=x(函数f(x)=x(lnx−1)所以f′令f′(x)=0，可得x=e或当0<x<1e时，f′(x)>0，函数当1e<x<e时，f′(x)<0，函数当x>e时，f′(x)>0，函数f(x)在所以当x=e时，函数f(x)取极小值，极小值为f(e)=0；（2）解：f(x)=xa(又f′令f′(x)=0，可得x=e当0<x<ea−2a时，f′当ea−2a<x<ea时，当x>ea时，f′(x)>0，函数所以当x=ea−2a时，函数令t=a2>0，则g(t)=令g′(t)=0，可得当0<t<1时，g′(t)<0，函数g(t)在当t>1时，g′(t)>0，在所以当t=1时，函数g(t)=4et所以f(（3）证明：由（2）可得0<x1<ea−所以eax2当ea−2af(x)−f(e所以f(x)−f(e因为x<e2ax，所以x又(ln所以f(x)−f(e所以f(x)<f(e所以f(x2)<f(即f(又因为f(x)在(e所以x所以x2【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值。

（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数f(m)的最小值。

（3）由（2）可得0<x1<ea−2a，ea−2a<x2<ea，x3>ea，所以e2ax2>e

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：41分分值分布客观题（占比）28.0(68.3%)主观题（占比）13.0(31.7%)题量分布客观题（占比）15(68.2%)主观题（占比）7(31.8%)