浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试卷

浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试卷一、单选题1．已知集合A={x∣x2<9}A．{x∣−3<x<3} C．{x∣−1<x<3} 2．若|z|=4A．32 B．16 C．4 D．23．在△ABC中，“A=30°”是“sinA=A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，BF=13A．34AB+C．14AB+5．已知sin(π3A．23 B．−23 C．56．已知向量a=(2，1A．22b B．−22b 7．如图扇形ABC，圆心角A=90°，D为半径AB中点，CB，CD把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积A．1：2：2 B．1：28．已知平面向量a⊥b，且|c−λa|的最小值与A．1 B．2 C．2 D．2二、多选题9．已知函数f(A．f(B．f(x)C．f(xD．f(x)10．已知函数f(x)A．φ=−B．函数f(xC．直线x=7π6是函数D．函数f(x)11．如图在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，A．36 B．62 C．10 12．无字证明来源于《几何原本》第二卷的几何代数法（用几何方法研究代数问题），很多代数的公式或定理都能仅通过图形得以证明、如图，在△ABC中，D，E为BC边上异于端点的两点，BD=a，A．a2+ac+cC．a2+ab+b三、填空题13．函数f(x14．已知复数z=ii−1（i为虚数单位），则z的虚部为15．平面直角坐标系xOy中线段OA的长为5，与x轴所成的夹角为α，且tanα=2，在斜二测画法下(∠x′oy′=45°)16．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若四、解答题17．（1）已知tanα=2，求3sinα−4cosαcosα+2sinα（2）计算：12−18．已知复数z1=1−2i（i为虚数单位）和z2（1）求p和z2（2）若z2对应复平面内的点A，且△OAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数z19．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得（1）求BN和AM的长度；（2）求M，20．如图，在三棱推P−ABC中，高PC=4（PC⊥底面ABC），AB=BC=3，（1）求三棱锥P−ABC的体积；（2）求三棱锥P−ABC外接球的表面积．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为（1）判断△ABC的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；（2）求4a22．如图，△ABC中AB=1，AC=3，（1）已知AF=2，请用AB，AC表示（2）求AG⋅

答案解析部分1．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为A=x−3<x<3，B={x∣−1<x≤5}，所以A∩B=2．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】设z=a+bia，b∈R，所以z−=a−bi，z=a2+b23．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】先证充分性，在△ABC中，因为A=30°，所以sinA=12，所以充分性成立；

因为sinA=12，所以A=300或A=1500，所以必要性不成立，

所以，在△ABC中，“A=30°4．【答案】A【知识点】向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】如图所示，根据平行四边形ABCD，所以AD→=BC→，

利用平行四边形法则得出BD→=BA→+BC→，

由BF=13FD，则5．【答案】B【知识点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】利用sin(π3+α)=23，则cos6．【答案】D【知识点】向量的投影【解析】【解答】因为向量a=(2，1)，b=(−1，1)，得出a→7．【答案】D【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】三角形△ACD为图I，绕AC旋转一周，所得立体图形是圆锥1，此圆锥体积V1=13πAD2×AC，三角形△CDB绕AC旋转一周，所得立体图形是圆锥2，圆锥2的体积V减去圆锥1的体积V1就是图II的体积，即V2=V−8．【答案】C【知识点】函数的最值及其几何意义；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】由平面向量a⊥b建立平面直角坐标系AOB，过C分别作CA''⊥OA，CB''⊥OB，垂足分别为A''，B''，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，OA'→=λa→，OB'→=μb→，

由向量的三角形法则，所以A'C→+λa→=c→9．【答案】A,B,D【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【解析】【解答】利用分段函数解析式f(x)=x2，x≥02x，x<0作出如下函数的图象，如图

由图可知函数f(x)的图象不关于原点对称，由奇函数的图象的对称性，所以此函数不为奇函数，选项A错误，符合题意；

由图可知，f(x)的图像与直线y=1只有一个交点A1，1，选项B错误，符合题意；

当x≥0时，y=x2≥0，当x<0时，y=210．【答案】A,B,C【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性；图形的对称性；函数的零点【解析】【解答】根据函数f(x)的部分图象最值可知，若A>0，则A=2，

设函数f(x)的最小正周期为T，则T4=2π3−π6=π2，所以T=2π，ω=2πT=1，

因为f(π6)=2cosπ6+φ=2，且φ<π2，所以φ=−π6，选项A正确；

令f(x)=2cosx−π6=0，得x−π6=π2+kπ，k∈Z，即11．【答案】A,B【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】利用正方体的结构特征和中点的性质以及勾股定理得出EF=AE2+AF2=32+32=32，设P到EF的距离为ℎ，利用三棱锥的体积公式得出

VP−BEF=VB−PEF=13×S△PEF×ℎ=13×12×EF×ℎ×AB=32ℎ=9，所以ℎ=322，

如图，

连接A1D，AD1，设A1D与AD1交于点M，12．【答案】B,C【知识点】不等式的实际应用【解析】【解答】由题中的图形可知，AB+AC>BC，BC=a+b+c，

在△ABD和△ACE中，分别由余弦定理结合等边三角形中各角为60∘以及两角互补的性质，

可得∠ADB=180∘−∠ADE=12013．【答案】1【知识点】函数的零点【解析】【解答】由函数零点求解方法，令f(x)=|x−1|−x=0，所以x−1=x，

所以x−12=x2，则x−12=x14．【答案】−【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】因为复数z=ii−1=ii+1i−1i+1=15．【答案】2+【知识点】斜二测画法直观图【解析】【解答】过点A作AB⊥Ox于点B，

因为OA=5，sinα=ABOA，再由tanα=sinαcosα=2sin2α+cos2α=1和图中可知角α为锐角，解得sinα=255cosα=55，所以AB=2，再由勾股定理得出OB=OA16．【答案】21【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】设∠BAD=α0<α<π3，则∠CAD=π3−α，因为AD=2，BD：DC=4c：b，

所以S△ABDS△ACD=12AD×BD×sin∠ADB12AD×CD×sin∠ADC=BDCD=4cb17．【答案】（1）解：∵tanα=2∴3sinα−4cosα（2）解：1【知识点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质；同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式弦化切，进而得出3sinα−4cosαcosα+2sinα的值。

18．【答案】（1）解：由题意可得z（2）解：由上知A(1，2)，设B(a，b)，结合图形可得即(a−1)+2(b−2)=0(a−1)2+(b−2)2故z3=3+i或【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；数量积判断两个平面向量的垂直关系；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数z1=1−2i（i为虚数单位）和z2是关于x的方程x2−2x+p=0(p∈R)两根，从而判断出z1=1−2i和z2是共轭复数，进而得出复数z2，再结合韦达定理得出p的值。

（2）由（1）结合复数的几何意义得出点A的坐标，设19．【答案】（1）解：在△ABM中，由题知AB=106，∠MAB=75°，∠ABM=45°由正弦定理得AMsin∠ABM=在△ABN中，又因为∠BAN=30°，∠ABN=180°−60°=120°，所以BN=AB=106（2）解：在△ABN，由（1）∠ABN=120°，∠BAN=∠BNA=30°，AB=BN=106所以AN=2AB⋅cos30°=2×106在△AMN中，AM=20，AN=302，∠MAN=75°−30°=45°，由余弦定理得MN2【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）在△ABM中，由已知条件结合三角形内角和定理得出∠AMB的值，再根据正弦定理得出AM的长，在利用已知条件可得BN，AB的关系；

（2）在△ABN中，由（1）可知∠ABN=120°，∠BAN=∠BNA=30°，AB=BN=106，再结合余弦函数的定义得出AN的长，在△AMN20．【答案】（1）解：由题意知AB=BC=3，∠ABC=120°，PC⊥底面故S△ABC故VP−ABC（2）解：由AB=BC=3，∠ABC=120°，可得设△ABC的外接圆半径为r，则2r=AB设△ABC的外接圆圆心为O′，过点O′作平面ABC的垂线则O′O∥PC，设PC的中点为D，过点D作PC的垂线交则四边形OOO即为三棱锥P−ABC外接球的球心，设外接球半径为R，则R2故三棱锥P−ABC外接球的表面积为4πR【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体【解析】【分析】（1）由题意知AB=BC=3，∠ABC=120°，PC⊥底面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再由三角形的面积公式得出S△ABC的值，再根据三棱锥的体积公式得出三棱锥P−ABC的体积。

（2）由AB=BC=3，∠ABC=120°，再利用等腰三角形内角和定理可得∠ACB的值，设△ABC的外接圆半径为r，再结合正弦定理的性质，进而得出r的值，设△ABC的外接圆圆心为O′，过点O′作平面ABC的垂线O′O，则O′O∥PC，设PC的中点为D，过点D作21．【答案】（1）解：△ABC是钝角三角形.由题意可知，1−sinAcos所以cosB=sin(A+B)，于是有sin(π2−B)=sin(A+B)又cosA≠0，A≠所以△ABC是钝角三角形.（2）解：由（1）知，C=π2+B，A=所以4==≥2当且仅当cos2B=34所以4a2【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合诱导公式得出角A和角B的关系式，再根据三角形中角的取值范围和三角形内角和定理判断出三角形的形状。

（2）由（1）知，C=π2+B，A=再结合正弦定理和诱导公式、二倍角的余弦公式以及均值不等式求最值的方法，进而得出4a22．【答案】（1）解：因为AE⋅AF=1且AF=2，所以AE=1设AG=λ又因为E，G，F共线，所以所以AG=（2）解：令|AE|=x，|AF设AG=λAD=设AG=μAE+所以μx=λ2(AG=又因为EF=所以AG·又因为y=1x，所以因为y≤3，所以13≤x≤1，令所以x∈[13当x=13时，函数f(当x=1时，函数f(x)所以AG·【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；平面向量的基本定理及其意义；三点共线【解析】【分析】（1）利用已知条件结合AE⋅AF=1且AF=2，进而得出AE的长，再结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而用AB，AC表示AG。

（2）令|AE|=x，|AF|=y结合已知条件得出xy的值，设AG=13x+yAB+13x+yAC，再根据EF=y3

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：40分分值分布客观题（占比）24.0(60.0%)主观题（占比）16.0(40.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(10.0%)解答题6(27.3%)12.0(30.0%)多选题4(18.2%)8.0(20.0%)单选题8(36.4%)16.0(40.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(59.1%)2容易(27.3%)3困难(13.6%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1组合几何体的面积、体积问题2.0(5.0%)72一元二次方程的解集及其根与系数的关系2.0(5.0%)183函数奇偶性的判断2.0(5.0%)94复合三角函数的单调性2.0(5.0%)105图形的对称性2.0(5.0%)106正弦定理的应用2.0(5.0%)197有理数指数幂的化简求值2.0(5.0%)178复数的基本概念1.0(2.5%)149正弦定理2.0(5.0%)2110复数代数形式的乘除运算5.0(12.5%)2,14,1811数量积判断两个平面向量的垂直关系4.0(10.0%)8,1812向量的模2.0(5.0%)813函数的最值及其几何意义4.0(10.0%)8,2214三点共线2.0(5.0%)2215向量的投影2.0(5.0%)616旋转体（圆柱、圆锥、