专题2.6 二次根式的加减【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题2.6二次根式的加减【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断同类二次根式】 1【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 2【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 2【题型4比较二次根式的大小】 3【题型5已知字母的取值化简求值】 3【题型6已知条件式化简求值】 4【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 4【题型8二次根式混合运算的实际应用】 4【题型9二次根式的新定义类问题】 5【题型10二次根式的阅读理解类问题】 6【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，112(2)x4y，3x【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（

A．216 B．125 C．48 D．32【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（

）A．xy与xy2 B．2x与2x C．3aa与1a D【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与--27x3不是同类二次根式的A．27x3 B．-x327 C【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a-b=【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果m、n是正整数，且162m+n和m-n-1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、解：∵162m+n和m-n-1∴m-n-1=2162m+n=m+7，即m-n=3∵m、n是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)4(2)2【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48(2)(7+4【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)32(2)212(3)2+(4)2-3【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（

）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．-7-232＞﹣6 D．|1－3|＞3【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,6【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：121314…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：(1)12(2)设a=13-2，b=1【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1<m<83-【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x-yx【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知x=2+1，求代数式3-2【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知a=2+1，求a【变式5-3】（2023春·上海·八年级期末）先化简：xy+yxx【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若x，y为实数，且y=1-4x+4x-1【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4a-b+1+b-12a-9=0【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知x-69-x=x-69-x，且x【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122+【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，(1)a(2)a【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3-7，y=3+7，求【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1(1)a2(2)a2【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm

已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3m是关于2【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m①18⊗2=22②11⊗2③a⊗b⋅以上说法中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y'={y(x>0)-y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,-3)的“横负纵变点”为______，点(-33,-2)的(2)化简：7+210(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（-2，m）且m=12(a+2a-1+a-2a-1)，点M【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22设a+b2=m+n22（其中a、b、m∴a=m2+2n2请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：+(3)若a-65=m-n52且a、m【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3解答下面的问题：(1)计算：12+1=___________，14+3(2)计算：12(3)计算：23【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7-分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7-6和7-6=1因为7+6>再例如：求y=x+2解：由x+2≥0,x-2≥0可知x≥2，而y=x+2当x=2时，分母x+2+x-2有最小值2，所以y