2023届甘肃省高考数学模拟试题（二）（解析版）

2023届甘肃省高考数学模拟试题(二)

一、单选题

1.设集合A={x|-l<x<2},集合B={x|lvxv3},则()

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.{x|l<x<2]D.{x|2<x<3}

【答案】A

【分析】根据数轴表示两个集合即可求得集合的并集.

【详解】解析在数轴上表示两个集合，如图：

易知AuB={x|—1＜无＜3}.

故选：A

2.已知z=l-2i,且z+龙+力=0,其中。，人为实数，则()

A.6F=1,Z?=-2B.a=~1,b=2C.a=l力=2D.a=-l,b=-2

【答案】A

【分析】先算出三，再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l+2i

z+应+b=1-2i+a(l+2i)+b=(1+a+b)+(2a—2)i

,fl+a+/?=O[a=1

由z+aZ+Z?=。,得,BP^

[2a-2=0[b=-2

故选:A

3.已知向量玩=(＞+1,1),万=(%+2,2),若(沅+力d_(比—法),则4=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】B

【详解】V(m+n)±(m-n),/.(m+n)-(m-n)=O.

.,.|«|2-|»|2=0，即(4+1)2+17(4+2)2+4]=0,

2=-3,,故选B.

【考点定位】向量的坐标运算

4.正项等比数列｛%｝中，。「%=32,贝I］log?4+log?%+…+log2a8的值

A.10B.20C.36D.128

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得4%=%%=44=。汹=32=2$,然后根据对数的运算性质可得

所求结果.

［详解］•；数列｛«„｝为等比数列，且M>0,a4a5=32,

5

a,as=a2al=a3ab=aAas=32=2,

20

log2at+log,a,+---+log2a8=log,(a,a,…“a8)=log?(4•%)4=log,2=20.

故选B.

【点睛】在等比数列的计算问题中，除了将问题转化为基本量的运算外，还应注意等比数列下标和

性质的运用，即"若"+”=p+q,则4,4=。陷/‘，用此性质进行解题可简化运算，提高运算的效率.

fV24

5.椭圆匕+上-=1的离心率为?，则%的值为()

94+k5

1919

A.-21B.21C.-----或21D.—或21

2525

【答案】C

【详解】试题分析：当焦点在x轴时/=9方=4+皿2=5«•.平=当焦点在y轴

时病=4+k,b2=9:.c2=k-5:.^-=—:.k=2l,故选C

4+k25

【解析】椭圆方程及性质

6.如图是一个算法的流程图.若输入X的值为2,则输出y的值是

A.0B.—1C・—2D.—3

【答案】c

【详解】试题分析：x=2,执行程序，y=0,不满足|y-X<l,x=()；执行程序，y=-l,不满足

|y-^<l,x=-2；执行程序，y=-2,满足输出—2；故选C.

【解析】算法与程序框图.

7.如图，在正方体A8CD-A4GR中，直线AB与平面B8QQ所成的角的大小是

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】D

【分析】试题分析：如图，连接4G,4Gn&5=0,连接03,因为4G,与%监_L44,

siiZJ,5O=-=-

所以4G平面33ao，所以乙0。即为所求角，并且印2,所以

幺"=30°,故选口.

【解析】线面角

8.设｛aj是有正数组成的等比数列，S“为其前n项和.已知重出=1,Sj=7,则Ss=()

【答案】B

【分析】由等比数列的性质易得43=1,进而由求和公式可得〃=；,再代入求和公式计算可得.

【详解】由题意可得。2火=的2=1,•..的=1,

设｛〃〃｝的公比为q,则q>0,

+1=7,解得夕=1或4=-;（舍去），

2

故选B.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题.

9.在三棱锥A-BCD中，△48。与△均为边长为2的等边三角形，且二面角A-8。-。的平

面角为120°,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

rcc-16万c284

A.7汽B.8兀C.D.-------

33

【答案】D

【分析】如图，取8。中点”，连接AH,CH,则NA”C为二面角A-BO-C的平面角，即

=120°,分别过£尸作平面ABD,平面BCC的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，

记为O,连接AO,HO,则由对称性可得NOHE=60。，进而可求得R的值.

【详解】解：如图，取8。中点H,连接AH,CH

因为△ABD与^CBD均为边长为2的等边三角形

所以AH_LB。，CH±BD,则NAHC为二面角A-BO-C的平面角，即NAH£>=120。

设^ABD与ACBD外接圆圆心分别为E,F

则由A//=2x且=6可得AE=2AH=2G,EH=14H=走

23333

分别过E,尸作平面AB。，平面BC。的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点

记为。，连接AO,HO,则由对称性可得NO〃E=60°

所以OE=1,则R=0A=7AErEO?=叵

3

则三棱锥外接球的表面积4万斤=4万x£=个

故选：D

【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形,

数形结合是关键，属于中档题.

10.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综

题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为（）

【答案】D

【分析】可以利用古典概型的概率公式求解或者利用条件概率的计算公式求解

【详解】法一：第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有C；C；=15种抽法，其中第2次

o3

抽取文综题的情况共有C；c；=9种，因此，所求概率：

故选：D.

A1A1

法二：第一次抽到理综题的概率P（A）=-f=3,第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率

2

3

5

故选：D.

22

II.设双曲线，-当一Ka＞。,“。）的右焦点是F,左、右顶点分别是A，4,过F做A4的垂线与双

ab“

曲线交于B,C两点，若则双曲线的渐近线的斜率为

B+拒

AD.±-----C.±1D.±-y2

-42

【答案】C

4万=p+c,—1

【详解】试题分析：4（-4°）,仁）,430),所以Ia),

■^2。=C-CLj-L、---*22

c-a--=0

IaJ根据43J>4C,所以43-40=0,代入后得a2,整理为

Q=ijt=±^=±i

a2,所以该双曲线渐近线的斜率是a，故选C.

【解析】双曲线的性质

12.函数〃x)=x|La|,若依、A2G[3,+8),演工々，则不等式‘一)二"*)>0恒成立,则实数a

X1-X2

的取值范围是()

A.(-00，-3]B.[-3,0)

C.(-8,3]D.(0,3]

【答案】C

【分析】本题由条件可知，函数/(引=天卜-4在[3,+8)上是增函数，对a讨论，当”>3时，求得

单调区间，当〃43时・，求得单调区间，即可得到答案.

【详解】因为对于内、xe[3,+«),玉片左，则不等式>0恒成立,

2办一9

所以/(力=斗L4在[3,+向上是增函数，

对函数〃力=小一4进行化简可得〃x)=(xV*-"，

ax-x,x<a

当a43时，/(x)=f—ar(xN3)在9+8)上递增，则在[3,+切上递增，

当a>3时，/(冷的增区间为(。，+8)18,3减区间为信a),

既在[3,+e)上有减区间.

综上所述，«<3,故实数。的取值范围是(y，3],故选C.

【点睛】本题考查的是函数的单调性，考查函数方程思想、整体思想以及分类讨论思想，考查二次

函数的基本性质.在计算涉及到绝对值的函数时，可以先将绝对值去掉，然后将函数转化成分段函

数，并对其进行讨论.

二、填空题

13.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本,

则抽取的女生人数为.

【答案】3

【分析】按分层抽样的定义直接求解即可

1Q

【详解】解：由题意得，抽取的女生人数为

36+18

故答案为：3

【点睛】此题考查分层抽样的计算，属于基础题

14.圆心在曲线y=-3(x>0)上，且与直线3x-4y+3=0相切的面积最小的圆的方程是.

X

【答案】(x-2)2+(y+-)2=9

【详解】试题分析：设圆心坐标为(x,二)，则p7+当且仅当工=2时取等号，此时圆

Y1\=---------±J

5

心坐标为(2,^),

故答案为*—2)2+(y+|)2=9.

【解析】求圆的方程.

15.将函数/(x)=sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足

I/a)-g(&)1=2的小毛有w-々L=9，则展-------

【答案】g

6

【分析】写出g(x)的解析式，由|/(芭)-g®)|=2可知/a),g(与)一个取最大值一个取最小值，根

据归-々L=?,分别取不=?和占=与进行判断,即可求出「

【详解】因为函数/")=sin2x的周期为万，

函数/(x)=sin2x的图象向右平移«0<0<口个单位后，

得到函数g(x)=sin(2x-2s)的图象，

满足忱(办)-£优)|=2的可知，f*J,g(X2)一个取最大值一个取最小值，

因为,一々Ln=(，

万7乃

右占=了j=区，

/(X)在斗=?取最大值，g(x)在刍=£取得最小值，sin(2xt_2夕)=_1,

7T

此时*=-9,不合题意，

6

什3〃5万

右内=彳供=耘

今取最小值，g(x)在々=工5乃取得最大值，sin(2x^|-2s

f(x)在％=34

412

此时s=£,满足题意.

6

故答案为：g.

0

【点睛】本题考查三角函数相关性质的应用，属于中档题.

16.EMl/(X)=X3-6X2+9x-abc,a<b<c,且/(。1/⑶二/年卜。.现给出如下结论:

①“0)/⑴>0;②/⑼/⑴<0；③〃0)〃3)>0；@/(0)/(3)<0；

其中正确结论的序号是.

【答案】②®

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，再根据

零点存在性定理判断即可；

【详解】解：f(x)=x3-6x2+9x-ahc,所以/'(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3)

・・・当l<x<3时，/，(x)<0：当x<l或x>3时，f'(x)>0

所以f(x)的单调递增区间为(7,1)和(3,—),单调递减区间为(1,3)

所以/(x)极大的=/⑴=4-"c,/(x)极小值=/(3)=-欣

要使/(x)=()有三个解。、b、C,那么结合函数/(x)的大致图象可知：

所以a<l<Z?<3vc

又函数有个零点x=b在1~3之间，所以/(1)=4一而c>0,且/⑶=一协?<0,

所以0<abc<4,

/(0)=-abc,

/(0)<0,

.-./(0)/(1)<0,/(0)/(3)>0

故答案为：②③.

三、解答题

TT

17.已知“，b,。分别是AABC的角A,B,C所对的边，且c=2,C=-.

（1）若融6的面积等于石，求"

（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A,求A的值.

【答案】（1）。=。=2

⑵A=［或7

20

【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得到方程组，解得即可；

（2）利用二倍角公式及两角和差的正弦公式得到sin8cosA=2sinAcosA,再分cosA=0与cosA/0

两种情况讨论，当COSAHO,即可得到sinB=2sinA,利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求

出a,b,即可得到6=/+c2,从而得解；

【详解】（1）解：Vc=2,C=二由余弦定理得4=/+b2-2"cos工=/+〃—"，

33

：的面积和等于右，.♦.；46sinC=G,.•」出=4,

a2+b2-ab=4

联立=>a=b=2

ab=4

(2)解：VsinC+sin(fi-A)=2sin2A,

sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,

sinBcosA=2sinAcosA,

jr

当cosA=0时，A=—；

当cosAwO时，sinB=2sinA,由正弦定理得h=2〃，联立一十"""上解得"叵，8=勺叵，

h=2a33

7T

Ab2=a2+c2,即B=],

又=,A=g,

36

综上所述，A=g或g；

26

18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AD〃BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线

段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.

(I)证明MN〃平面PAB;

(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】(I)详见解析；(II)座.

25

AM--AD—2

【详解】(I)由已知得3

取3尸的中点T，连接4T,?N,由N为PC中点知ZN〃分C，TN=-BC=2.

2

又4DHBC，故力V4M,四边形AMNT为平行四边形，于是MN〃AT.

因为ZTu平面上西，平面上45,所以MN//平面B4B.

(U)取酬的中点石，连结HE.由融=幺°得4E_L3C,从而且

AE==石

以A为坐标原点，理的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系幺一％.由题意知,

君

R0。4)“(020),。(620),^(TA2),

PA/=(0,2,-4),丽=(当丽=(半,1,2).

设”=(x,y,z)为平面PMV的一个法向量，则

---->2y-4z=0,

n-PM=0,J

｛一即(行

n-PN=0,——x+y—2z=0,

2

可取"=(0,2,1).

于是"，丽卜儡^吟

【解析】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用

三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建

立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理.

19.为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、

丙、丁4套住房供4B,C,3人申请，且他们的申请是相互独立的.

⑴求AB两人不申请同一套住房的概率；

（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴：3

4

（2）分布列见解析，数学期望为］

4

【分析】（1）设出事件，求出两人申请同一套住房的概率，再利用对立事件求概率公式求出A8

两人不申请同一套住房的概率；

（2）方法一：求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列和数学期望；

方法二：得至再根据二项分布的性质求出分布列和数学期望.

【详解】（1）设AB两人申请同一套住房为事件

P（M）=C>lxl=l,

3

所以两人不申请同一套住房的概率为P=1-P（M）=:；

（2）方法一：随机变量X可能取的值为0,1,2,3.

P（X=0）=C；x

尸（X=l）=C；x；x27

—,

64

P（X=2）=C；x心，,

4）464

P（X=3）=C；X（力Y

所以X的分布列为

X0123

272791

p

64646464

77?7Q13

WWra£（X）.0x-+1x-+2x-+3x-.-

方法二：依题意得

所以P（X=%）=C；x（：［x［）|=C$x^-,jt=0,l,2,3,

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

13

所以数学期望E（X）=3x；=".

20.已知椭圆。V=13＞6＞0）的左焦点为尸（一。,0）,离心率为半，点M在椭圆上且位于第一象

限，直线后“被圆一+/=9截得的线段的长为6|FM|=半.

（I）求直线FM的斜率；

（II）求椭圆的方程；

（III）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于血，求直线。尸（。为原点）的斜率的取值范围.

【答案】（I）乌（II）—+^=1;（III）,挛

332I3八33J

21

【详解】（I）由已知有r二=上，又由/=从+，，可得/=302,从=2°2,

w3

设直线FN的斜率为以%＞。），则直线EM的方程为y=左。+。），由已知有

（H）由（I）得椭圆方程为三+二=1,直线尸M的方程为y=Mx+c）,两个方程联立，消去儿

3c2c2

整理得

3/+2CX—5c2=0,解得》=-1。或x=。，因为点M在第一象限，可得M的坐标为k

¥4由

+”一0I=生8,解得。=1,所以椭圆方程为《+反=1

|FM|=(c+c)2*

I3332

（HI）设点P的坐标为（Q,直线"的斜率为，，得y言，即…皿）（…O,与椭圆方程联

y=r(x+l)

立｛/丫？，消去y,整理得2/+3/*+1)2=6,又由已知，得/=V2,解得

—+—=1

32

3

——<x<T或一1vx<0,

2

设直线”的斜率为明得…?即"加用），与椭圆方程联立，整理可得病4-|

一*-11寸，有y=«x+l）＜0,因此〃A0,于是V22百

,得tnw

①当xwm=丁，亍

22小2⑸

②当xe（—l,O）时，有y=«x+l）＞0,因此也＜0,于是机=「-r-一，得，—00,-----

%233J

26)(422g

综上，直线0尸的斜率的取值范围是TO,

3「133J

【解析】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.

21.设函数f（x）=e2*-alnx.

（I）讨论“X）的导函数/'（x）的零点的个数；

2

（II）证明：当a>0时/（x）22a+oln—.

a

【答案】（I）当aWO时，f（x）没有零点；当”>0时-，/（X）存在唯一零点.（II）见解析

【详解】试题分析：（I）先求出导函数，分440与。>0考虑了'（X）的单调性及性质，即可判断出

零点个数；（H）由（I）可设八幻在（0，+8）的唯一零点为看,根据尸（x）的正负，即可判定函数

2

的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于%+aln一，即证明了所证不等式.

a

试题解析：（I）/（X）的定义域为（0,+8）,r（x>2e2,-^（x>0）.

当“40时,/'（x）>0,/（X）没有零点；

当。>0时，因为才单调递增，单调递增，所以/'（X）在（0，+向单调递增.又当b满足

0<匕<二且人<：时・，尸（。）<0,故当a>0时，/'（X）存在唯一零点.

（II）由（I）,可设f（x）在（0,+00）的唯一零点为七,当xw（O,/）时，f'M<0;

当xe（玉,+oo）时，f'（x）>0.

故/（x）在（0,%）单调递减，在（后，"）单调递增，所以当x=/时，/（x）取得最小值，最小值为了（%）.

由于2e~、"=0,所以---1■2ax（）+aIn—>2a+aIn-.

x02x0aa

2

故当a>0时，f（x）>2a+a\n~.

a

【解析】常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证

明不等式；运算求解能力.

x=V3cos«4-sincr

22.在直角坐标系xOy中，曲线〃的参数方程为厂，（。为参数），若以直

y=2V3sinacosa-2sin'a+2

角坐标系中的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为

psin（8+为参数）.

(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；

⑵若曲线N与曲线M有公共点，求r的取值范围.

【答案】⑴y=x-i,x+y=f；⑵一;蒯5.

【分析】(1)利用三角恒等变换的公式，消去参数，即可求得曲线M的普通方程，根据