2023北京石景山高二上学期期末数学试题及答案

石景山区2022—2023学年第一学期高二期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分．题号答案12345678910BADCABCDCB二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分．题号答案1213141522-1x2+(y-2=4①③④10545骤．16．(本小题满分8分)ì2x-y+3=ìx=解：由í得íîx+y-3=0îy=所以点A的坐标为(3．……3分……5分设直线BC的方程为x+2y+c=0即直线BC的方程为x+2y-8=0ìx+2y-8=ìx=，把．B4,2代入方程，得c=-8．()由íîx+y-3=0得íîy=所以点C的坐标为(5)．……8分高二数学参考答案第1817．(本小题满分分)（Ⅰ）因为AA1^平面AA^AB,AA^AC，所以.11解：又因为AB^AC,以A为坐标原点，,AC,AA1方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.……2分则，B(2,，C，A(0,2),CMN(2,.11所以1M=，=.因为CM×=0+1-1=0，所以CM^即CMCN.^……3分111（Ⅱ）(，(，=-=-设平面BCM的法向量n=(,y,z).n^Þn×=2x+y=0，n^BMÞn×BM=-2x+z=0，令x1，得=y=z=2.所以平面BCM的法向量n=.……5分因为=，CN2-2+26cos<n,CB1>===.9×69nCN6直线CN与平面BCM所成角的正弦值为.……7分9（Ⅲ）因为ACAA1,ACAB,ABAAA，^^Ç=1AC^平面ABBAABBA1的法向量.所以1,AC是平面……8分11=.BCM的法向量n=.平面n×AC0+2+023cos<n,AC>===.3nAC高二数学参考答案第282所以平面BCM与平面ABBA所成角的余弦值为.……10分11318．(本小题满分9分)解：（Ⅰ）|=(22)2+1=3，|PF=1-0=1．21所以椭圆C的长轴长2a|PF||PF|4，即a2．=+=2=……2分1因为椭圆C的两个焦点分别为F(-2,0)和F(2,0)，12所以椭圆C的焦距2c=22，即c=2．所以b=a2-c=2．2x2y2所以椭圆C的方程为+=1．……4分42（Ⅱ）设(x,yB(x,y)．1122依题意，直线l的方程为y=(x-，……5分……7分ì22xyï+=1可得3x2-4x-2=0．联立方程组í42ïîy=-(x-ì4x+x=,ïï123-2所以í．ïxx=ï12î343所以||(x2)=-2+(1y2)-2=2(1x)+2-41x2=5．……9分1219．(本小题满分9分)因为M,NPB,的中点，所以MN//BC,证明：分别是因为Ë平面,Ì平面,高二数学参考答案第38所以（）选择条件①因为P是AB的中点,CACB，//.……3分Ⅱ=所以AP,,^^因为BPAC，^CP=C,所以平面^ACP．因为Ì平面ACP,所以.以P为坐标原点，,,方向分别为xyz轴正方向，建立如图所^示空间直角坐标系．……5分则P，，M，CN.易知PA是平面CMN的法向量=，设=lAC,lÎ,因为=,2l,2-l).所以=2l,l),=(,=2l--l)设平面的法向量n=(,y,z)．n^Þn×=-x+y=0，n^Þn×=l-y+(2-l)z=0，1-2l令x1，得=y=z=.2-2l1-2l2-2l所以平面的法向量n=).……7分3因为Q--C的余弦值为．31-2l0+0+n×31-lcos<n,>===所以．1-2l22-2l3n2×2+()高二数学参考答案第4834AQAC34l==……9分解得，所以此时.选择条件②因为PBPC，=AB=AC，所以△APB△@APC.所以APBÐ=ÐAPC=90°,即^．因为AP,,^^所以以P为坐标原点，,,方向分别为xyz轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．……5分则P(0,0,0)，，M，CN.易知PA是平面CMN的法向量=，设=lAC,lÎ,因为=,2l,2-l).所以=2l,l),=(,=2l--l)．设平面的法向量n(,y,z)．=n^Þn×=-x+y=0，n^Þn×=l-y+(2-l)z=0，1-2l令x1，得=y=z=.2-2l1-2l2-2l所以平面的法向量n=).……7分3因为Q--C的余弦值为，31-2l0+0+n×31-lcos<n,>===所以解得．1-2l22-2l3n2×2+()34AQ3l==……9分，所以此时.AC4高二数学参考答案第5820．(本小题满分9分)解：（Ⅰ）由题意，得c1，b所以椭圆C的方程为==3，则a=b2+c=2．2x2y2+=1．……3分……4分43（Ⅱ）设点P的坐标为(x,yx¹0)，则x+400)(=．22000y0-3直线PM的方程为y=x+3．0æö20-2320-23令x2，得=y=+3，则点A的坐标为çç+3÷．÷00èø2y0-23因为Q3)，所以AQ=．0-2y0231所以△AMQ=AQQM×=AQ=．……6分20y0+330y0+3直线PN的方程为：y=x-3，令y=0，得x=．0æö30y0+3300+3所以点B的坐标为ç,0÷，则=．ç÷èø123302y0+23所以△OBN=×=OB=．……8分22y0-23△AMQ04y02-1230302====1．所以△OBN3022302y0+23所以△和△OBN面积相等．……9分高二数学参考答案第68(¹)3k0，方法二：设直线PM的方程为y=+()则点A的坐标为2k+3．=k因为Q3)，所以．1所以S=AQQM×=AQ=2k．……5分AMQ2ì22xy+=ï()由í43得3+k2x2+8=0．ïîy=kx+38k3+k233-4k2设点P的坐标为()，则0x,y00，0=．……7分=3+k23直线PN的方程为y=-x-3．4kæö4k4k令y=0，得x=-，所以点B的坐标为çç-,0÷．÷3è3ø4k则=．3123所以=×==k．……9分2所以△和△OBN面积相等．(2k+3)．1(¹)方法三：设直线PM的方程为y1x=+310，则点的坐标为A=k因为Q3)，所以．11所以△AMQ=AQQM×==AQ21．……5分2ì22xy+=ï()由í43得3+k2x2+8kx=0．11ïy=1x+3î81()，则0,yx=0设点P的坐标为．0+34k21高二数学参考答案第783直线PN的方程为y=k2x-3k20，则(¹)=．k2133所以△OBN=OBON×=OB=．……7分222k2ì22xy+=ï8k23+4k22()由í43得3+k2x2-8kx=0，则x=0．22ïy=k2x