量子物理波粒二象性

量子力学的建立经典物理（-1900年）德布洛意物质波海森伯矩阵力学薛定格波动力学狄拉克量子力学

量子力学（1923-1927年）普朗克能量量子化爱因斯坦光量子论玻尔量子论旧量子论（1900-1913年）量子力学的问题和应用birthdayofquantummechanicsMaxPlanck(1858-1947)

NobelPrize191814December1900Planck(age42)suggeststhatradiationisquantizedE=hn

h=6.626x10-34J•s1897Thompson(age41)

NobelPrize1906

measurestheelectron"plumpudding"model1905Einstein(age26)proposesthephoton1911Rutherford(age40)infersthenucleusStatusofphysicsAlbertEinstein(1879-1955)

NobelPrize19211913,Bohr

(age28)constructsatheoryofatom1921BohrInstituteopenedinCopenhagen(Denmark)Itbecamealeadingcenterforquantumphysics(Pauli,Heisenberg,Dirac,…)

Niels

Bohr(1885-1962)

NobelPrize1922oldquantumtheory旧量子论wavefunctionformulationofquantummechanicsErwinSchrödinger(1887-1961)NobelPrize1933

1923DeBroglie(age31)matterhaswavepropertiesLouisdeBroglie(1892-1987)

NobelPrize1929

1926Schrödinger(age39)SchrödingerequationmatrixformulationofquantummechanicsWernerHeisenberg(1901-1976)NobelPrize1932

1925atGöttingen(Germany)M.Born(age43)W.Heisenberg(age23)P.Jordan(age22)

MaxBorn(1882-1970)NobelPrize1954

德布罗意波是概率波1926ErwinSchrödingerinAustriaCarlEckert(age24)inAmericaProved:wavemechanics=matrixmechanics

(SchrödingerandHeisenbergtheoriesequivalentmathematically)

Schrödinger'swavemechanicseventuallybecamethemethodofchoice,becauseitislessabstractandeasiertounderstandthanHeisenberg'smatrixmechanicsNeumann(mathematician)inventedoperatortheoryLargelybecauseofhiswork(publishhisbookin1932),quantumphysicsandoperatortheorycanbeviewedastwoaspectsofthesamesubject.

wavemechanics=matrixmechanicsPaulDirac(1902-1984)NobelPrize19331925Pauli(age25)

PauliexclusionprincipleWolfgangPauli(1900-1958)NobelPrize1945

1928Dirac(age26)Diracequation(quantum+relativity)1927SolvayConference

HeldinBelgium,theconferencewasattendedbytheworld'smostnotablephysiciststodiscussthenewlyformulatedquantumtheory.量子力学Anumberofscientists,includingSchrödinger,deBroglie,andmostprominentlyEinstein,remainedunhappywiththestandardprobabilisticinterpretationofquantummechanics.任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学

"Anyonewhohasnotbeenshockedbyquantumphysicshasnotunderstoodit."-NielsBohrItwasappliedtoatoms,molecules,andsolids.ItsolvedwitheasetheproblemofheliumItwasusedtoexplainchemicalbondingItresolvedvariousquestions:structureofstars,natureofsuperconductors,:Eventodayitisbeingappliedtonewproblems.applicationsofquantummechanicsQuantummechanicshasbeentremendouslysuccessful!12.1普朗克能量子假设12.2光的粒子性12.3氢原子光谱12.4粒子的波动性与波函数12.5不确定关系12.6薛定谔方程12.7一维势场中的粒子12.8原子中的电子12.9激光第12章量子物理基础总结§12.1普朗克能量子假设一、黑体辐射1.几个基本概念热辐射：物体能向外发射电磁辐射，且其能量按频率的分布随温度的不同而不同。物体在温度不变时发射和吸收电磁波能量相等，为平衡热辐射。光谱辐射出射度M

：单位时间内从物体单位表面积发出的频率 在

附近单位频率区间的电磁波能量（W/(m2

Hz)）。光谱吸收比

()：物体表面吸收的频率在

到+d

区间的辐射 能量占全部入射在该区间的辐射能量的份额。各种材料的的M

和

()

有很大区别，但其在同一温度下的比值（M

/()

）却与材料的种类无关，是一个确定值。这说明辐射能力越强的物体，其吸收能力也越强。黑体：能吸收照到它上面的各种频率的光的物体。 对于黑体，

()=1。它的光谱辐射出射 度也最大的，且只与频率和温度有关。012354321M

(10-9W/m2·Hz)实验曲线辐射出射度曲线

(1014Hz)由经典理论导出的维恩公式和瑞利-金斯公式均不能完全解释黑体辐射的实验结果。维恩公式瑞利-金斯公式2.黑体辐射的规律维恩公式：由经典热力学和麦克斯韦分布律推出，低频范围内偏差较大。瑞利-金斯公式：由经典电磁学和能量均分定理推出，“紫外灾难”实验结果的理论解释：普朗克黑体辐射公式：普朗克公式二、普朗克量子化假设，能量子普朗克常数：普朗克黑体辐射公式：对频率为

的谐振子，最小能量叫能量子。普朗克能量量子化假设：

辐射物体中具有带电的谐振子（原子、分子的振动）它们和经典物理中所说的不同，这些谐振子和周围的电磁场交换能量，只能处于某些特殊的状态，相应的能量是某一最小能量的整数倍，即振子的能量是不连续的，即量子论的诞生斯特藩-玻尔兹曼定律：维恩位移律：量子物理基础

一、光电效应：光照到金属表面时，电子从金属表面逸出的现象。1.光电效应的实验规律

光电流与入射光强度的关系饱和光电流im

和入射光强度

I成正比。-UcUI1I20I2>I1

光电子初动能和入射光频率之间的关系截止电压:VGGDKA光电管阴极石英窗阳极U0：与材料有关的常量：与材料无关的普通恒量光电子逸出最大初动能随入射光的频率增大而线性增大，与入射光强度无关。0.01.02.04.06.08.010.0CsNaCa§12.2光的粒子性

光电效应的红限频率当光照射某金属时，无论光强度如何，如果入射光频率小于该金属的红限频率，就不会产生光电效应。

光电效应和时间的关系只要入射光的频率大于被照金属的红限频率，不管光的强度如何，都会立即产生光电子，时间不超过10-9s。2.经典的困惑

光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！

光波的能量分布在波面上，阴极电子积累能量克服逸出功需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！爱因斯坦光子理论

光子理论对光电效应的解释：光照射金属表面，一个光子能量可立即被金属中的自由电子吸收。当入射光的频率足够高，每个光量子的能量h

足够大时，电子才可能克服逸出功A逸出金属表面。二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程

爱因斯坦假定：光不仅在发射和吸收时具有粒子性，在空间传播时也具有粒子性，即一束光是一粒一粒以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。每一光子的能量是：红限频率:普朗克常数：爱因斯坦光电效应方程：A：逸出功例1：求

(1)l=700nm的红光；(2)l=0.071nm的X射 线；(3)l=1.24

10－3nm的g射线等的光子的能 量、动量和质量波长(nm)光子能量(eV)光子动量(kg.m.s－1)光子质量(Kg)红光1.789.47

10－283.16

10－36X射线1.75

1049.34

10－243.11

10－32

射线1.00

1065.35

10－221.78

10－30解:例2：当波长为3000Ao

的光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从0到4.0×10-19J。在作上述光电效应实验时遏止电压为|Uc|=

V；此金属的红限频率vo

=

Hz。（普朗克常量h=6.63×10-34J·s;

基本电荷e=1.60×10-19C）2.54.0×1014光电效应方程红限频率:解：例3：钾的红限波长，求钾的逸出功。在波长的紫外光照射下，钾的截止电势差为多少?解：1)

2)康普顿（1923）研究X射线在石墨上的散射，在散射的X射线中，除有波长与入射射线相同的成分（瑞利散射）外，还有波长较长的成分（康普顿散射）。波长的偏移只与散射角

有关。

电子Compton波长三、康普顿散射按经典理论X射线散射向周围辐射同频率的电磁波，而康普顿散射中波长较长的成分经典物理无法解释。X射线

0探测器石墨>

01.实验规律2.经典的困惑

模型：“X射线光子与静止的自由电子的弹性碰撞”，与能量很大的入射X光子相比，石墨原子中结合较弱的电子近似为“静止”的“自由”电子。3.康普顿散射验证光的量子性

由光的波粒二象性，光子的能量和动量为：弹性碰撞过程中能量与动量守恒：

e

首次实验证实爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。

支持了“光量子”概念，证实了普朗克假设

=h

。

微观单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然成立。

入射光子与电子碰撞，将一部分能量传给电子，自身能量减少，频率降低，波长增大。

只与

相关，与散射物质及

0

无关。

l

=l

0成份是光子和束缚很强的电子即整个原子相互作用的结果

当入射光的波长与康普顿波长相比拟时，康普顿效应才显著若l0=4000Å,j=p,Dl=0.048Å,Dl/l0=10-5若l0=0.5Å,j=p,Dl=0.048Å,Dl/l

0=10%根据光子理论，一个光子的能量为：根据相对论的质能关系：光子的质量：光子的静止质量：光子的动量：四光的波粒二象性光既具有波动性，也具有粒子性。二者通过普朗克常数相联系。光的波动性：用光波的波长和频率描述。光的粒子性：用光子质量、能量和动量描述；例1:一束射线光子的波长为6×10-3nm,与一个电子发生正碰,其散射角为1800。试求：（1）射线光子波长的变化？（2）被碰电子的反冲动能是多少？（2）入射光子的能量为解（1）由康普顿散射公式，得：散射光子的能量为根据能量守恒，电子获得的动能例2：波长l0=0.1Å的x

射线与静止自由电子碰撞。在与入射方向成90°角方向观察，散射波长多大？反冲电子动能与动量多大？解：=lc=0.1+0.024=0.124(Å)散射波长为0.124Å和0.1Å=2.4×104eVe反冲电子动能碰撞过程中能量守恒：碰撞过程动量守恒：=8.5×10-23kg·m/s

=38°44′反冲电子动量eθ解:频率为的光子具有质量光子受到地球引力的作用，因此具有重力势能。取塔底的重力势能为零，则光子在重力场中的能量守恒关系为例3:1959年，庞德（R.V.Pound）和瑞布卡（Q.A.Rebka）在哈佛塔做了一个著名的“引力紫移”实验。他们把发射14.4keV的光子的放射源放在塔顶，在塔底测量它射来的光子的频率，发现比在塔顶的频率高了。已知塔高22.6m，利用光子在重力场中的能量守恒关系计算。其中g为重力加速度，H为塔高，并用光子在塔顶时的质量近似代表光子的平均质量。由上式可以得到与他们实验测量的结果是符合的。如果把光子源放在塔底而在塔顶测量，那么观测到的就应是“引力红移”了。量子物理基础氢原子可以发生能级间跃迁，同时发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔频率条件：氢原子发出不同频率的光形成不同谱线，组成谱线系。一、氢原子光谱的规律性里德伯常数：巴尔末公式：波数：单位长度包含的完整波的数目§12.3氢原子光谱n123∞En/eV-13.6-3.39-1.51-0.850莱曼系（紫外）巴耳末系（可见）帕邢系（红外）基态第一激发态

第二激发态连续能级氢原子光谱氢原子光谱：位置稳定的分立的线状光谱经典物理困难：根据经典电动力学，电子环绕核的运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射能量，电子轨道半径越来越小，直到掉到原子核上,必然产生连续光谱。

定态假设：原子系统只能取一系列不连续的稳定态，相应的能量取不连续的值，二、玻尔量子假设解释氢原子线状光谱

频率规则:

原子从一个稳定态跃迁到另一个稳定态,同时发射(或吸收)单色光。n123∞En/eV-13.6-3.39-1.51-0.850莱曼系巴耳末系帕邢系

角动量量子化：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于的整数倍的那些轨道才是稳定的，即式中n只能取一系列正整数。此式表示氢原子的能量只能取离散的值，这就是能量的量子化。上式也可写成式中叫玻尔半径，即玻尔原子理论中第一圆轨道的半径。其值为从这些基本假设出发,玻尔推导出氢原子的能量公式为n=1时,氢原子的能量最低，称为基态能量，其数值为把电子从基态移到离核无穷远处所需能量称为电离能，氢原子的电离能为13.6eV。氢原子的能级公式稍加修改，也适用于类氢离子，例如氦离子He+。He原子核外有两个电子，当它电离失去一个电子后，其结构类似于氢原子，但核电荷数为+2e。以Z表示类氢离子的核电荷数，则类氢离子的能级公式为

玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有很玻尔正在讲解他的互补原理

玻尔（左）和海森伯（中）及泡利（右）在一起大的贡献——1922年玻尔获诺贝尔物理奖。

玻尔理论（1913）是在经典理论基础上加一些新的量子假设，它成功地解释了氢原子线状光谱，作为早期的量子理论，它对量子力学的发展具有重大的先导作用。但是，玻尔理论是有缺陷的，它还远未能反映微观世界的本质。例如，它不能解释多电子原子的光谱，对谱线的强度、宽度也无能为力。讨论

正确的原子结构理论要建立在全新的量子力学基础之上。虽然玻尔理论的一些基本概念,如“定态”、“能级”、“能级跃迁决定辐射频率”等在量子力学中仍是重要的基本概念，但是从量子力学出发，经典意义上的轨道对微观原子世界已不再适用。

综上所述，黑体辐射、光电效应、康普顿散射、原子的光谱线系等物理现象揭露了经典物理学的局限性，突现了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。20世纪30年代，建立了量子力学。经典物理量子力学革命性变革！现代物理学相对论量子物理基础一、德布罗意波实物粒子具有波动性，与粒子相联系的波称为德布罗意波。1924年，法国青年物理学家德布罗意(deBroglie)提出，既然光具有粒子性，是否实物粒子如电子也应当具有波动性？§12.4粒子的波动性与波函数实物粒子德布罗意波1.戴维孙－革末实验(1927年）UKDGB电流计热阴极I集电器晶体二、德布罗意波的实验验证IU电子束在晶体表面上散射的实验，观察到和X射线衍射相似的电子衍射现象。散射电子束具有波动性，像X射线一样，电子束极大的方向满足布喇格方程根据德布罗意公式 代入布喇格公式证明电子像射线一样具有波动性，及德布罗意公式的正确性。2.同年，英国的汤姆逊用多晶体做电子衍射实验,

也得到了电子衍射照片。十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共获1937年度诺贝尔物理奖。3.1961年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍射实验，得出了衍射条纹的照片。4.随后，用衍射实验证实了中子、质子、原子和分子等微观都具有波动性，德布罗意公式对这些粒子同样正确性。单缝 双缝 三缝 四缝例1：m=0.01kg，v=300m/s

的子弹，求

。讨论：h极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量,“宏观物体只表现出粒子性”例2:计算被电场加速运动电子的德布罗意波长。设：加速电压为电子静止质量

me=9.1×10-31

kg当V<<c时，当例3：从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件电子波动反映到原子中，为驻波。解：当电子轨道周长恰为物质波波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波（因只有驻波是一稳定的振动状态，不辐射能量），这就对应于原子的定态。光子流S光通过单缝形成明暗相间的衍射条纹波动说：光通过狭缝后衍射和干涉的总效果，条纹明暗不同，表示光强不同。光子说：每个光子具有一定的能量，光强的大小表示光子数目的多少。光强分布的曲线可以看成光子堆积曲线。三、波函数的统计解释粒子发射波？波载着粒子？德布罗意：波包粒子：质量、能量和动量，局域性（确定时空坐标）波：频率、波长，弥散性（波振面）波粒二象性1.对波粒二象性的理解

电子双缝干射实验电子束12入射强电子流:

底片上很快出现干涉图样。打开1缝：单缝衍射花样；打开1、2缝：双缝干涉花样双缝干涉花样明显不同于两个单缝衍射花样的简单叠加（干涉因子）打开2缝：单缝衍射花样；单电子通过双缝：开始是无规律分布的亮点（电子到达的位置），随着入射电子数的增加，亮点的分布逐渐呈现出规律性，最后形成双缝干涉的明暗条纹。电子通过缝时显示了其波性；在屏幕上成像显示粒子性。干涉不是电子间相互干涉，而是一种自身干涉，一个电子通过其中一缝时似乎知道另外一缝的开关状态，并据此调节它在屏上的落点。微观粒子的物质波既不是经典的波，也不是经典的粒子。2.玻恩的概率波解释明纹就是到达那里的电子多，暗纹就是到达那里的电子少，或者说，电子到达明纹处的概率大，到达暗纹处的概率小。玻恩(Born)的假设：物质波描述了粒子在各处被发现的概率， 既德布罗意波是概率波。波函数：描述粒子在空间概率分布，叫“概率幅”。它无 直接的物理意义，有意义的是波函数模的平方：

代表t时刻、点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。1

开:概率1、2开:2开:概率概率双缝干涉的干涉项单缝衍射的迭加经典粒子微观粒子玻恩统计解释的关键不在于用概率描述粒子到达屏上的不同位置,也不在于用波动来描述干涉条纹的强弱,它的前所未有的崭新概念在于用概率幅把微观粒子的粒子性和波动性联系起来。

经典粒子和微观粒子运动规律描述的区别位置，速度轨迹波函数(概率幅)概率状态不可叠加，概率可叠加状态可叠加，概率不可叠加逻辑：不…就…

要不…要不…逻辑：既…又…

既不…又不...决定论概率论

微观粒子运动按概率定律行事本质上是自然界的最终实质。薛定谔的猫量子物理基础

一、不确定关系§12.5不确定关系(Uncertaintyprinciple)

经典力学：任意时刻质点在轨道上有确定的位置和 速度，表示为:量子力学：粒子的空间位置用概率波描述，任一时刻粒子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方向，粒子位置的不确定量和该方向上动量的不确定量有一个简单的关系，被称为不确定关系。

单缝处电子位置不确定程度二、不确定关系的实验研究IU（忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内）

单缝处电子动量不确定程度x方向上动量不确定量为：考虑衍射条纹的次级极大：海森伯（W.Heisenberg）1927年由量子力学给出更严格的结论，位置和动量的不确定关系：三、能量与时间的不确定性关系粒子可能发生的位移能级自然宽度和寿命超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。

不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体，不超过10-6m（这是可以做到的），

不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小，另一个不确定量越大，若为零，则无穷大。不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果例1：原子（线度10-10

m）中电子运动不存在“轨道”。得速度的不确定度

V与

V同数量级

经典轨道概念不再适用!取而代之是“电子云”分布。四、用不确定性关系作数量级估算≈106(m/s)设电子动能E=10eV，平均速度解：+MrnmV由测不准关系例2：设子弹的质量m=0.01kg,枪口的直径为0.5cm,试用不确定关系计算子弹射出枪口时的横向速度不确定量。Δx=0.5cm解：=1.1×10-30m/s经典粒子子弹飞行速度102

m/s例3：电视显像管中电子的加速电压为9kV，电子枪枪口的直径为0.1mm，求电子射出枪口后的横向速度。解：Δx=0.1mm=1×10-4mm=9.11×10-31kg

=1.2m/s图象清晰！=6

107m/s例4：一光子沿x方向传播，波长为5000Å。已知此

波长的不确定度为

=5×10-7Å，求该光子x方向坐标的不确定度。x

方向是波列的传播方向，代表沿传播方向波列的延伸范围，可粗略地看作这一波列的长度（相干长度）。单色性越好，位置的准确性越差，动量的准确性越好x2x2,x1x1,解：=5×102m例5：原子处于某激发态的时间为该激发态能级宽度为多少?解:

量子物理基础一、自由粒子波函数12.6薛定谔方程

(WaveequationofSchrödinger)由于波函数ψ

的概率解释，ψ可以相差一个任意常数因子A，即ψ和Aψ代表相同的状态。这一点与经典力学有本质区别。

微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数

描述。t

时刻在空间(x,y,z)点附近的体积元dV

内发现粒子的概率正比于|ψ(x,y,z,t)|2dV，|ψ(x,y,z,t)|2为概率密度。由于波函数的概率解释,粒子在整个空间出现的概率为1，所以ψ应满足波函数归一化条件：－t

时刻粒子出现在V

体积内的概率。

ψ

2dV

ψ

2－t

时刻粒子在(x,y,z)点处单位体积内出现的概率。－t

时刻粒子在(x,y,z)点附近dV

体积元内出现的概率。

波函数

波函数的标准条件由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、有限的，所以要求波函数ψ单值、连续、有限的，这称为波函数的标准条件。不满足这些条件的函数没有物理意义，不代表物理实在。设归一化因子为A，则归一化的波函数为例：将波函数归一化。归一化的波函数为:

一维自由粒子波函数经典波的波函数：波粒二象性概率波的波函数：A为归一化因子二、一维自由粒子薛定谔方程对x求二阶偏导对t求一阶偏导薛定谔方程：物理量的算符化：能量算符、动量算符和坐标算符在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。三、薛定谔方程和哈密顿量在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。

一维自由粒子的薛定谔方程

势场中一维粒子的薛定谔方程总能量(哈密顿量)哈密顿算符定态薛定谔方程

定态薛定谔方程一维，恒定势场，分离变量与哈密顿算符相应的本征函数

n和本征值En

总波函数：为定态波函数，其概率分布不随时间变化。含时薛定谔方程概率分布定态薛定谔方程

叠加原理：薛定谔方程是线性微分方程，如果

1,

2,

3,…,

n

是体系的可能状态(解)，那其线性叠加态也是体系的一个可能状态。也就是说任意状态可以分解成本征态的线性叠加。

量子力学中，力学量用算符表示，比如能量算符(哈密顿算符)本征方程当粒子处在

n

态时，则实验测量该粒子有确定的能量En。

n称为能量算符的本征态，En

为与其对应的本征值。

利用定态薛定谔方程，加上波函数标准条件，可解出：本征波函数

n：表示微观粒子的一组定态。本征值En

：粒子处于相应定态具有的能量。量子化结果解：本征方程例1：求动量的x分量的本征函数。Px

是动量本征值C为积分常数若粒子位置不受限制，则Px

可以取任何实数值

,是连续变化的。本征方程为例2：求一维自由粒子的能量本征态。可以取不为负的一切实数值。解：对于一维自由粒子相应的能量量子物理基础一、一维无限深方势阱中的粒子粒子处于束缚态：在阱内势能为零，粒子不受力的作用；在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受到无限大的斥力。粒子被限制在0<x<a的范围内，不可能到此范围外。0ax粒子在力场中的势能函数为：§12.7一维势场中的粒子

(Particleininfinitesquare-wellotential)1.无限深一维方势阱2.求解定态薛定谔方程由于势函数不随时间变化，所以属定态解。(0<x<a)令：此方程通解为:其中A、B、k均为常数，A、B由边界条件确定。阱内：U=0，薛定谔方程：

阱外：势能为无穷就是粒子不能到达，单值条件连续条件有界条件边界条件：（若B=0，则势阱内无粒子）n

叫量子数归一化条件：由和解得：定态本征解：（当0

x

a）定态能量本征值：总波函数：

能量是量子化的：在势阱中，粒子的势能为零，总能量就是动能。在经典力学中，粒子动能可连续取值；而量子力学的能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。

零点能：最低的能级是n=1能级，这与经典粒子不同，这是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有意义的。若E=0，则但势阱中，所以E不能为零。根据不确定关系，当时，量子化-->连续可见a越大越小，当a大到宏观尺度时，，能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。

相邻两个能级之差：

粒子在各处出现的概率密度：在势阱内概率密度随x改变，且与n有关。但是按经典理论，粒子在各点出现的概率应该是相同的。0an=1n=2n=3E1E2E3x

每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波

把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的x改为x-a/2，就得到新坐标系下的波函数：

n=1,3,5,…

时的波函数是偶函数,这些状态叫做偶宇称态，n=2,4,6,…

时的波函数是奇函数，这些态叫做奇宇称态。例：一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离内它出现的概率多大？解：基态波函数为:n=1,粒子从阱宽的一端到离此端点¼阱宽的距离内它出现的概率为1.半无限深方势阱定态薛定谔方程：二、势垒穿透(Barrierpenetration)E-a/2a/2xU00E势能函数：单值有限连续求解E1E3E2Enψn|ψn|2

薛定谔方程给出的解

(x)，在其势能U0

大于总能量E的区域内虽然指数衰减，但仍有一定的值，微观粒子能进入此区域，

是因为其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。隧道效应：能量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部，还有一定概率穿过势垒。

a

越小,U0越小,穿透率越高。

对有限厚度的势垒UOaxU0ψ(x)E势能函数定态薛定谔方程：2.隧道效应隧道效应已被实验完全证实：

粒子从放射性核中放出；黑洞的量子蒸发；热核反应。隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜。硅表面（77重构）隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系1994年中国科学家“写”出的原子字。原子操纵移动48个Fe原子组成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。势函数m：振子质量，

：固有频率，x：位移定态薛定谔方程三、谐振子(Harmonicoscillator)哈密顿量：定态薛定谔方程：这是一个变系数常微分方程，求解复杂。为使波函数满足单值、有界、连续的条件，谐振子能量必须是量子化的。求得能级为（n

为量子数）Oxn=0n=3n=2n=1|ψ0|2|ψ3|2|ψ2|2|ψ1|2

普朗克假设的谐振子能量量子化是解薛定谔方程的自然结果。

能级是等间隔的，基态能量为

称为零点能。谐振子最低能量不等于零，即永远不能静止不动。与经典力学截然不同，是波粒二向性的表现，可用不确定关系说明。

与经典谐振子不同，量子的基态位置概率分布在x=0处概率最大，而经典的，其在x=0处概率最小。

当能量量子化将对应经典的能量取连续值。例、弹簧振子质量m=1g,弹性系数k=0.1N/m,振幅

A=1mm,求能级间隔，估算这能量所对应的量子数n。解：弹簧振子的角频率能级间隔振子总能量可见,宏观谐振子是处于非常高的能级。相邻能级间隔小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。得量子数由量子力学的基本假设：

态叠加原理：

1

,

2为粒子的两个可能状态，那么

＝A

1

＋B

2也是粒子的一个可能状态，这种态叠加必然导致在观测结果的不确定性。

一切微观粒子的状态可用波函数来完全描述。

微观粒子状态满足薛定谔方程：解释几乎是所有的原子现象。

各种力学量由相应的算符来表示。任意波函数下粒子某一力学量的测量值是否确定？是什么？不同力学量的本征波函数间是什么的关系？力学量为什么表示成算符？任意波函数与本征波函数间是什么的关系？量子物理基础经典力学量量子力学量本征方程本征值本征函数组

任意力学量都表示成算符，其本征值为此力学量的一个可能观测值，与其对应的本征函数为粒子的一个特殊状态（本征态）。

不同力学量的本征态可以不相同，具有不同本征函数的力学量不能同时测量，具有相同本征函数的力学量可以同时测量。

一个力学量完全集对应的完备本征函数组就构成体系态空间（希耳伯空间）的一组完备基矢，任意状态可以在这些基矢上投影的线性叠加。

可以有多个力学量完全集，与其对应不同的完备本征函数组，每组都是体系态空间（希耳伯空间）的完备基矢，可以在不同基矢组中分解任意状态，基矢组间的变化相当于坐标系间的变化。任意状态可以看成是某一完备的本征函数组中各本征函数的权重叠加态的叠加原理动量取pn

的概率能量取En

的概率

(r)完全描述微观状态经典力学量量子力学量本征方程本征值本征函数组

微观粒子在状态

(r)

下，力学量的观测结果具有不确定性。

量子力学中力学量之所以表示成算符，是因为微观粒子的状态用波函数来描述，状态本身不是力学量，在确定状态下，力学量一般并不具有唯一确定的值，只具有确定的统计平均值。量子力学问题：求解Hilbert空间（态空间）中与一组完备力学量相应的本征函数组（态空间的基矢，正交归一），而用含时薛定谔方程解出的任意波函数可以展开成这些本征函数的线性叠加。态的叠加原理：力学量平均值：对微观粒子某一力学量的实验观测所得的取值及其平均值，可与理论计算相比较，以验证理论的正确性。任意状态

(r)（坐标表象）给出了粒子在r

处的几率密度r

的平均值：

(r)做傅立叶展开

任意波函数

(r)可以看成一个波包，由无数单色平面波组成，

(p)为单色平面波（波长为h/p）的波幅。

任意波函数

(r)也可以看成是对应于无数动量本征值p

的动量本征态的线性叠加，

(p)为波函数

(r)在动量为

p的本征态上的分量。

(p)为动量表象下的波函数，其平方给出动量为p的单位动量区间内的概率。

p

的平均值：

在坐标表象下，动量表示成算符，就可直接根据坐标表象下的波函数来计算平均值，其它力学量可作相应变化。§12.8原子中的电子一、轨道角动量在经典力学中，角动量定义为在量子力学中，相应的量子力学算符借助置换得到按照矢量积的运算法则，角动量各分量的算符写为定义角动量的平方算符

在球坐标系中，轨道角动量算符yrxz0算符和有共同本征波函数：的本征方程本征值：本征函数：的本征方程本征值：其中

l称为角量子数，称为轨道磁量子数。

和的共同本征函数是球谐函数，即下表中给出l=0,1,2的球谐函数：1.氢原子的薛定谔方程在氢原子中，电子在原子核的库仑场中运动，势能函数为：U(r)不随时间变化，属定态问题，定态薛定谔方程为：U是r的函数，用球坐标代替(x,y,z)。取核所在点为原点：则球坐标中的定态薛定谔方程为分离变量法求解，二、氢原子2.重要结论

能量量子化：氢原子能量取离散值为玻尔半径n

为主量子数。n=1的量子态叫基态：

n=2,3,4,…

的状态称为激发态：

n→∞时，En→0，此时电子已脱离原子核的束缚。因此13.6eV

就是氢原子的电离能，外界提供这能量就能使氢原子电离。氢原子可以发生能级间跃迁，同时发射或吸收光子，光子的频率符合玻尔频率条件：氢原子发出不同频率的光形成不同谱线，组成谱线系。

氢原子光谱里德伯常数：巴尔末公式：波数：单位长度包含的完整波的数目n123∞En/eV-13.6-3.39-1.51-0.850莱曼系（紫外）巴耳末系（可见）帕邢系（红外）基态第一激发态

第二激发态连续能级氢原子光谱例1：处于第一激发态(n=2)的氢原子，如用可见光照射，能否使之电离？解：使第一激发态氢原子电离可见光最大能量：故不能使之电离。例2：用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发氢原子向低能级跃迁时，会出现哪些波长的谱线？-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eV解:可把基态氢原子激发到E3能级。由第二激发态(n=3)向低能级跃迁有三种可能:共三条谱线，一条属于巴耳末系，两条属于莱曼系。E解:(1)(2)巴尔末系，m=2例3.氢原子光谱的巴尔末系中，有一谱线的波长为。求：(1)与该谱线相应的光子的能量；(2)此谱线是氢原子由能级En跃迁到Em

产生，n和m各为多少；(3)处于最高能级E5的大量氢原子，最多可以发射几个谱线系，共几条谱线，在能级图上表示出来，说明波长最短的是哪一条谱线。可发射四个谱线系，共十条谱线。波长最短的是莱曼系中n=5跃迁到n=1的谱线。莱曼系巴尔末系帕邢系布喇开系该初始状态的主量子数为即例4.当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为△E=10.19eV的状态时，发射出光子的波长是λ=4860Ao，试求该初始状态的能量和主量子数。（普朗克常量h=6.63×10-34J·s,leV=1.60×10-19J）EnEkE1解：所发射的光子能量为,ε=hc/λ=2.56eV氢原子在激发能为10.19eV

的能级时，其能量Ek

为,Ek

=E1+△E=-3.41eV氢原子在初始状态的能量En为,En=ε+Ek

=-0.85eV

哈密顿量，与角动量和具有共同的本征函数

，且构成力学量完全集，这是中心场中粒子运动的主要特点。

对应能量量子数

n

有

n

个状态，其中的状态nl

是2l+1

重简并的，因为中心球对称性只有在外磁场中才被破坏，角动量沿磁场方向投影lz

可有2l+1种可能取值。OLLzLxLyxyzθ

角动量量子化电子在原子核周围运动的角动量是量子化的，用L表示角动量的大小，则对于给定的主量子数n，

l：轨道角动量量子数（角量子数）

角动量空间取向量子化ml：磁量子数如有外磁场存在，设其方向为z轴方向，则轨道角动量在此方向的分量Lz

也不能连续取值，而只能取一系列离散值，叫空间取向量子化。xyz，0θl=2

量子数组(nlm)

的每一种合理的组合就代表一种可能的电子状态，组合不同，代表电子状态也不同。

对应于主量子数

n的每一状态构成一个壳层，n=1,2,3,4,…

等的壳层分别依次命名为K,L,M,N,…等壳层；对应于角量子数

l的每一状态构成一个次壳层，l=0,1,2,3,4,…等的次壳层分别依次命名为s,p,d,f,g,…等次壳层。

对于确定的n

，l

有n

个值，对于确定的

l

，m

有2l+1个取值，因此属于能量En

的波函数

nlm(r,

,

)可随

l

和

m

的取值而异，即能级En

是简并的，简并度为

氢原子及一般原子的能级如下图：n123456l1234501s2s3s4s5s6s2p3p5p6p4p3d5d6d4d5f6f4f5g6g6h氢原子能级1s2s3s4s5s6s2p3p5p4p3d4d一般原子能级在氢原子中，由于库仑场的中心球对称性，电子能级与l

和m

无关，即对l

和m

简并；对一般原子，由于内层电子的屏蔽作用，库仑场对称性被破坏，原子能级依赖于n

和

l，与m

无关，即能级nl

对m

简并。

电子径向概率分布由径向波函数决定

电子云图由径向波函数和角向波函数共同决定氢原子电子云三、电子自旋(Spinofelectron)和泡利不相容原理1.电子的自旋（斯特恩－盖拉赫实验（1921））基态银原子l＝0，通过非均匀磁场，应无偏转，但在屏上得到两条分立的黑线。射线的偏转表明：电子还应具有自旋角动量，自旋角动量在外磁场方向的投影只能取两个值。不均匀磁场银蒸气SNSNd自旋角量子数

s，只能取1/2电子自旋角动量是量子化的2.电子自旋在空间某方向的投影自旋磁量子数。自旋角动量无经典对应，是一种相对论效应。和电子的电量和质量一样，是一种“内禀的”，即本身固有性质。l=0,j=s=1/2l=0,j=l

s=l

1/23.电子的总的角动量这一角动量的合成叫自旋轨道耦合j的取值取决于l和s：总角动量也是量子化的，量子数用j表示：例l=1，j=1/2或3/2109.4º35.3º例：j=1/2角动量合成的玻尔经典矢量模型图自旋轨道耦合使电子在时，其能量的单一的值分裂为两个值，产生光谱的精细结构。

电子自旋角动量是量子化的：

电子轨道角动量是量子化的：4.泡利不相容原理不能有两个或两个以上的电子具有相同的四个量子数n,l,ml,ms.

泡利不相容原理是由于全同微观粒子（相同的质量、电荷、自旋等固有性质）的不可分辨性，而对多粒子的波函数的对称性

的要求下得到的。

电子是一种费米子（波函数反对称，自旋为的半奇数倍的粒子，又如质子、中子等），这就要求不能有两个电子处于同样一个状态。与之想对应的是波色子（波函数对称，自旋零或为的整数数倍的粒子，如氢原子、氘核、光子等），其不受泡利不相容原理的限制（玻色凝聚）。

原子壳层n所能最多填充的电子数:5.能量最小原理原子处于正常状态时，其中电子都要占据最低能级。

判断能级高低的经验公式：其值越小，能级越低。4s能级：3d能级：电子先填入4s，后填入3d。

原子能量主要与主量子数n

有关，但也会受角量子数

l

的影响，因此属于小n

的次壳层的能量不一定低，这将导致电子排布有一些特殊情况。1s2s3s4s5s6s2p3p5p4p3d4d一般原子能级

主量子数，它大体上决定原子中电子的能量。四、四个量子数和原子的壳层结构1.四个量子数：描述原子中电子的量子态。

轨道量子数（副量子数，角量子数）它决定电子绕核运动的角动量的大小，影响原子在外磁场中的能量。一般来说，处于同一主量子数n，而不同角量子数l

的状态中的电子，其能量也稍有不同。

磁量子数决定电子绕核运动的角动量在外磁场中的（2l+1）种空间指向。影响原子在外磁场中的能量。

自旋磁量子数决定电子自旋角动量在外磁场中的两种指向，也影响原子在外磁场中的能量。2.壳层和支壳层支壳层：l相同的单电子态构成一个支壳层。

l＝0,1,2,…表示为s,p,d,f,g,h,…l支壳层最多容纳的电子数为2(2l+1)次壳层的电子排布称为电子组态，例如:氩(Ar)：1s22s22p63s23p6综上所述,基态原子的电子排布由两个原理决定：(1)能量最低原理；(2)泡利不相容原理。壳层：n相同的单电子态构成一个壳层。

n＝1,2,3,…表示为

K,L,M,N,O,P,…

n壳层最多容纳的电子数为2n2原子中各壳层最多可容纳的电子数表原子的壳层：n相同的电子组成一个壳层原子次壳层：l

相同的电子组成一个次壳层0123456

spdfghi

1,k2,L

3,M4,N5,O6,P7,Q2226826101826101432261014185026101418227226101418222698例1：根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为L=当主量子数n=3时，电子动量矩的可能取值为

。例2：下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？（A）n=2,l=2,ml=0,ms=(B)n=3,l=1,ml=-1,ms=-（C）n=1,l=2,ml=1,ms=（D）n=1,l=0,ml=1,ms=-[]B量子物理基础自1960年美国人梅曼制造出第一台激光器以后，激光已得到了极广泛的应用,如激光开刀，可自动止血；全息激光照片可以假乱真；还有光缆信息传输，热核反应的引发等….。§12.9激光(Laser)一、激光的产生

激光：是受激幅射产生的，经放大后的光。E2E1

受激吸收：处在低能级E1

的原子受到能量等于h=E2

-E1

的光子的照射时，吸收这一光子跃迁到高能级的过程。自发辐射：处在高能级E2

的原子，即使没有任何外界激励，也能自发跃迁到低能级

E1，并且发射一个能量h=E2

-E1的光子。

受激辐射：入射光子的能量h

等于相应能级差E2-E1

时。入射光子的电磁场就会引发原子从高能级E2

跃迁到低能级E1，同时放出一个与入射光子频率、相位、偏振方向都相同的光子。E2E1E2E1

光放大：材料中，如果有一个光子引发了一次受激辐射，就会 产生两个相同的光子，如果这两个光子同样能引发受 激辐射就会产生4个光子，依次类推就形成光放大。

粒子数布居反转：要实现光放大，必须使材料处于“反常”状态，即上能级的粒子数大大大于下能级的粒子数。这可以通过光激发、碰撞激发、热激发及化学激发等方式来实现。

原子受激辐射和吸收的概率是相同的，这样受激辐射和吸收的概率就正比于处于上和下能级的原子的个数，正常情况下这由

Boltzmann’s分布律决定光子入射到材料中，主要还是被吸收而不可能产生光放大。632.8nmHeNeE/eV

2s1s5s3p2p

氦氖能级示意图01617181920213s激发

碰撞受激辐射0.6328

ｍ二、粒子数布居反转

电子碰撞，He被激发到2s亚稳态能级，难于跃迁到基态。

Ne的5s与He的2s能级相近，经碰撞，He把能量传递给Ne

而回到基态，Ne被激发到5s

能级。

要产生激光，除了增加上能级的粒子数外，还要设法减少下能级粒子数。Ne的5s是亚稳态，下能级3p的寿命比上能级

5s要短得多，这就可能形成粒子数的反转。电源布儒斯特窗He,Ne100

反射M199

反射

1

透射M2激光

激光器细玻璃管内充有氦和氖气激活介质,与激光管的轴严格垂直的两个反射镜(M1:100

反射、M2:99

反射，1

透射)构成光学谐振腔：维持光子振荡放大,使激光有良好的方向性和相干性；反射镜两端距离控制其间驻波的波长，因而激光有极高的单色性。三、激光增益放大，氦氖激光器的结构

方向性极强:可直接作相干光源。时间、空间相干性好：

～108A°

相干性极好：

亮度极高：四、激光的特点投射到月球(38万公里)光斑直径仅约2公里,Laser激光器2

10mW

的功率He-Ne激光器竟产生了比太阳大几千倍的辐射亮度

单色性好：,而普通光源仅有10-5。发散角～10-4弧度五、激光的应用

工业加工中：激光打孔、激光焊接、激光切割

精密测量中：激光陀螺、激光测长

激光通信：

激光雷达：

全息照相：例.GaAlAs(砷铝化钾)半导体激光器的体积可小到200m3但仍能以5.0mW的功率连续发射波长为0.80m的激光。这一小激光器每秒发射多少光子？解：1.激光冷却：80年代，借助于激光技术获得了中性气体分子的极低温（如10-10K）状态。这种激光冷却中性原子的方法是汉斯(T.W.Hänsh)和肖洛(A.L.Schawlow)于1975年提出的。原子吸收光子动量减小

运动的原子在共振吸收迎面射来的光子后，从基态过渡到激发态，其动量会减小了。h

基本思想：激发态的原子会自发辐射出光子而回到初态，由于反冲会得到动量，此后，它又会多次吸收和自发辐射光子,原子的速度会明显的减小,而温度也就降低了。12.9.3激光的应用：激光冷却用激光冷却和捕陷原子

1985年贝尔实验室的朱棣(Li)文小组用三对方向相反的激光束照射钠原子，在6束激光交汇处的钠原子团就冷却下来，温度达到了240

K。

三维激光冷却示意图

由于原子不断吸收和随机发射光子，这些光子又可能被邻近原子吸