微专题Ⅱ－1 电磁感应中的动力学、能量、动量问题

电磁感应中的动力学、能量、动量问题微专题Ⅱ－1｜强化“科学思维”·强调应用建模·综合考法“精细研”010203目录命题视角(一)电磁感应中的动力学问题命题视角(二)电磁感应中的能量问题命题视角(三)电磁感应中的动量问题04专题跟踪检测01命题视角(一)

电磁感应中的动力学问题[典例]

(2023·山东高考)(多选)足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1m，电阻不计。质量为1kg、长为1m、电阻为1Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好。Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2T，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，[典例示法]某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度v1＝2m/s，CD的速度为v2，且v2>v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10m/s2，下列说法正确的是(

)A．B2的方向向上 B．B2的方向向下C．v2＝5m/s D．v2＝3m/s[答案]

BD[解析]导轨的速度v2>v1，因此导体棒受到向右的摩擦力，又因导体棒做匀速直线运动，可知导体棒受到向左的安培力，摩擦力大小为f＝μmg＝2N，导体棒所受安培力大小为F1＝f＝2N，由左手定则可知导体棒的电流方向为N→M，导轨受到向左的摩擦力f′＝f＝2N、向右的拉力FT＝m0g＝1N，因导轨做匀速直线运动，故受到的向右的安培力大小为F2＝f′－FT＝1N，由左手定则可知B2的方向向下，A错误，B正确；[思维建模]“四步法”分析电磁感应中的动力学问题1．如图甲所示，光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，轨道左侧连接一定值电阻R，导体棒ab垂直导轨，导体棒ab和轨道的电阻不计。导体棒ab在水平外力作用下运动，外力F随时间t变化的规律如图乙所示，在0～t0时间内导体棒从静止开始做匀加速直线运动，则在t0时刻以后，导体棒ab的运动情况为(

)[应用体验]A．一直做匀加速直线运动B．做匀减速直线运动，直到速度为0C．先做加速运动，最后做匀速直线运动D．一直做匀速直线运动答案：C

2．(多选)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(

)A．甲和乙都加速运动

B．甲和乙都减速运动C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动答案：AB

解析：两线圈的质量相等，线圈所用材料相同，则体积相同，甲线圈的匝数是乙线圈的2倍，则甲线圈所用导线的横截面积是乙的一半，长度是乙的2倍，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈从同一高度同时由静止开始下落，02命题视角(二)

电磁感应中的能量问题[典例]

(2023·浙江6月选考)如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，[典例示法][答案]

C由以上分析可知，导体棒第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点时的速度，根据E＝BLv，可知棒两次过最低点时感应电动势大小不相等，故D错误。

[思维建模]能量转化关系及焦耳热的求法1．能量转化关系2．求解焦耳热Q的三种方法(1)应用焦耳定律：Q＝I2Rt，适用于电流、电阻不变的情况。(2)应用功能关系：Q＝W克服安培力，电流变或不变都适用。(3)应用能量守恒的观点：Q＝ΔE其他能的减少量，电流变或不变都适用。1．(2023·北京高考)如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(

)A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等[应用体验]答案：D

解析：线框进磁场的过程中由楞次定律知电流方向为逆时针方向，A错误；由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q＝FAL，线框在进和出磁场时均做减速运动，但其进磁场时的速度大，受到的安培力大，产生的焦耳热多，C错误；2.(2022·全国乙卷)如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40m的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10－3Ω/m；在t＝0到t＝3.0s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求：(1)t＝2.0s时金属框所受安培力的大小；(2)在t＝0到t＝2.0s时间内金属框产生的焦耳热。解析：(1)金属框的总电阻为R＝4lλ＝4×0.40×5.0×10－3Ω＝0.008Ω金属框中产生的感应电动势为(2)0～2.0s内金属框产生的焦耳热为Q＝I2Rt＝12×0.008×2J＝0.016J。03命题视角(三)

电磁感应中的动量问题[典例]

(多选)如图所示，水平面上有相距为L的两光滑平行金属导轨，导轨上静止放有金属杆a和b，两杆均位于匀强磁场的左侧，让杆a以速度v向右运动，当杆a与杆b发生弹性碰撞后，两杆先后进入右侧的磁场中，当杆a刚进入磁场时，杆b的速度刚好为a的一半。已知a、b的质量分别为2m和m，接入电路的电阻均为R，其他电阻忽略不计，设导轨足够长，磁场足够大，则(

)[典例示法]切入点(1)a、b的碰撞为弹性碰撞，碰撞过程中动量、动能均守恒(2)a、b系统损失的动能转化为系统的焦耳热疑难点a进入磁场后，a、b组成的系统动量守恒反思点(1)b进入磁场后、a进入磁场前的过程中，系统动量不守恒(2)杆a、b速度相等为系统的最终状态[解题关键点][答案]

AC1．(多选)

如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是(

)[应用体验]A．两金属棒组成的系统的动量守恒B．两金属棒组成的系统的动量不守恒C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和答案：BD

解析：由题意可知，刚开始运动时，两棒所受安培力均水平向右，两棒所受合外力不为零，动量不守恒，A错误，B正确；根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减少量等于安培力对bc棒做的功与回路中产生的热量之和，由动能定理可知，ad棒动能减少量等于ad棒克服安培力做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，C错误，D正确。2．(多选)如图，两根足够长，电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在同一水平面上，其间距为1m，左端通过导线连接一个R＝1.5Ω的定值电阻。整个导轨处在磁感应强度大小B＝0.4T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，质量m＝0.2kg、长度L＝1m、电阻r＝0.5Ω的匀质金属杆垂直导轨放置，且与导轨接触良好。在杆的中点施加一个垂直金属杆的水平拉力F，使其从静止开始运动，拉力F的功率P＝2W保持不变，当金属杆的速度v＝5m/s时撤去拉力F，下列说法正确的是(

)A．若不撤去拉力F，金属杆的速度会大于5m/sB．金属杆的速度为4m/s时，其加速度大小可能为0.9m/s2C．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，通过金属杆的电荷量为2.5CD．从撤去拉力F到金属杆停下的整个过程，金属杆上产生的热量为2.5J答案：BC

3.(2023·辽宁高考)(多选)如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是(

)答案：AC

解析：弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向电流，A正确；4．(2023·浙江台州模拟)如图所示，两根半径为r＝0.5m的四分之一光滑圆弧轨道，间距为L＝1m，轨道电阻不计。在其上端连有一阻值为R＝2Ω的电阻，圆弧轨道处于辐向磁场中，所在处的磁感应强度大小均为B1＝1T，其顶端A、B与圆心处等高。两根完全相同的金属棒mn、pq在轨道顶端和底端，e、f是两段光滑的绝缘材料，紧靠圆弧轨道最底端，足够长的光滑金属轨道左侧是一个C＝0.05F的电容器。将金属棒mn从轨道顶端AB处由静止释放。已知当金属棒到达如图所示的CD位置，金属棒的速度达到最大，此时金属棒与轨道圆心连线所在平面和水平面夹角为θ＝60°。mn棒到达最底端时速度为v＝2m/s(此时与pq还没有碰撞)。已知金属棒mn，pq质量均为m＝0.4kg、电阻均为R0＝2Ω。(1)当金属棒的速度最大时，求流经金属棒pq的电流方向和pq金属棒此时的热功率；(2)求金属棒滑到轨道底端的整个过程(此时与pq还没有碰撞)中流经电阻R的电量；(3)金属棒mn和pq发生碰撞后粘在一起运动，经过两小段光滑绝缘材料e、f后继续向左运动，进入磁感应强度为B2＝2T的匀强磁场，求金属棒最后的速度大小。解析：(1)根据楞次定律可知，电流方向由p到q，且速度最大时有B1ImnL＝mgcos60°，得Imn＝2A由于e、f是两段光滑的绝缘材料，则由电路关系知Ipq＝1A则pq金属棒此时的热功率P＝Ipq2R0＝2W。04专题跟踪检测1.如图所示，用质量相同，粗细不同的均匀同种金属丝做成边长分别为d和2d的两只闭合线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场中匀速拉出磁场。若外力对线框做的功分别为Wa、Wb，则Wa∶Wb为(

)A．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定答案：B

2．(2023·绍兴市二模)右端为N极的磁体置于粗糙水平桌面上并与轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在竖直墙面上，当弹簧处于原长时，磁体的中心恰好是接有一盏小灯泡的竖直固定线圈的圆心。用力将磁体向右拉到某一位置，如图所示，撤去作用力后磁体穿过线圈来回振动，有关这个振动过程，以下说法正确的是(

)A．灯泡的亮暗不会发生变化B．磁体接近线圈时，线圈对磁体产生排斥力C．从左往右看线圈中的电流一直沿逆时针方向D．若忽略摩擦力和空气阻力，磁体振动的幅度不会减小答案：B

解析：以S极靠近线圈分析，磁体速度增大，且靠近线圈时磁感应强度增大，则穿过线圈的磁通量变化率增大，感应电流增大，灯泡会变亮，故A错误；根据楞次定律“来拒去留”可知，磁体接近线圈时，线圈对磁体产生排斥力，故B正确；当S极向左运动靠近线圈时，根据楞次定律可知，线圈中的电流沿逆时针方向(从左往右看)，当S极向右运动远离线圈时，根据楞次定律可知，线圈中的电流沿顺时针方向(从左往右看)，故C错误；若忽略摩擦力和空气阻力，磁体振动的振幅也会越来越小，因为弹簧和磁体的机械能逐渐转化为焦耳热，故D错误。3.如图，一无限长通电直导线固定在光滑水平面上，金属环质量为0.4kg，在该平面上以v0＝2m/s、与导线成60°角的初速度运动，最后达到稳定状态，这一过程中(

)A．金属环受到的安培力与运动的方向相反B．在平行于导线方向金属环做减速运动C．金属环中最多能产生电能为0.8JD．金属环动能减少量最多为0.6J答案：D解析：金属环周围有环形的磁场，金属环向右运动，穿过金属环的磁通量减少，根据“来拒去留”可知，金属环所受的安培力将阻碍金属环远离通电直导线，即安培力垂直通电直导线向左，与金属环运动方向并非相反，所受安培力使金属环在垂直通电直导线方向做减速运动，当垂直通电直导线方向的速度减为零时，只剩沿通电直导线方向的速度，穿过金属环的磁通量不变，金属环中无感应电流，水平方向所受合力为零，故做匀速直线运动，A、B错误；4．(2023·浙江十校联考)(多选)两相同的“”形光滑金属框架竖直放置，框架的一部分处在垂直纸面向外的条形匀强磁场中，如图所示。两长度相同粗细不同的同种铜质金属棒a、b分别从两框架上相同高度处由静止释放，下滑过程中金属棒与框架接触良好，框架电阻不计，下列说法中正确的是(

)A．金属棒a、b在磁场中的运动时间相等B．到达磁场下边界时，粗金属棒b的速度大C．通过磁场过程中，流过粗金属棒b的电荷量多D．通过磁场过程中，粗金属棒b产生的热量多答案：ACD

5.(多选)如图所示，间距大小为0.5m的平行导轨竖直放置，导轨上端与电阻R连接，图中水平虚线下方存在垂直导轨平面向外、磁感应强度大小0.2T的匀强磁场。现将质量0.1kg的导体棒从虚线上方h1处由静止释放，进入磁场时恰好以速度v0做匀速直线运动，匀速运动2s后给导体棒施加一竖直向上的恒力大小为2N，并且由于磁感应强度发生变化回路中不再产生感应电流，再经过0.2s导体棒的速度减为零。已知导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨和导体棒的电阻不计，重力加速度大小为10m/s2，关于导体棒由静止释放到速度减为零的过程，下列说法正确的是(

)A．匀速运动速度为2m/sB．自由下落的高度为2mC．回路中磁通量的最大值为0.4WbD．回路中产生的焦耳热为4J答案：ACD解析：给导体棒施加一个竖直向上的恒力F＝2N＝2mg后，回路中无电流，导体棒不受安培力作用，导体棒做匀减速直线运动，根据F－mg

＝ma，得加速度大小为g，经过t3＝0.2s速度减为零，则由v0＝at3＝2m/s，A正确；根据2gh1＝v02，解得h1＝0.2m，B错误；导体棒进入匀强磁场运动t2＝2s后回路中磁通量达到最大，2s时间内导体棒的位移h2＝v0t2＝4m，则回路磁通量的最大值为Φm＝BLh2＝0.4Wb，C正确；根据能量守恒定律可知，整个过程中回路中产生的焦耳热与匀速运动阶段重力势能的减少量相等，Q＝mgh2＝4J，D正确。6．(多选)如图所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，铜棒a、b的长度均等于两导轨的间距，电阻均为R、质量均为m，铜棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好。现给铜棒a一个平行于导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，下列说法正确的是(

)答案：BD

7．(多选)如图所示，在竖直向下的y轴两侧分布有垂直纸面向外和向里的磁场，磁感应强度均随位置坐标按

B＝B0＋ky(k为正常数)的规律变化。两个完全相同的正方形线框甲和乙的上边均与

y

轴垂直，甲的初始位置高于乙的初始位置，两线框平面均与磁场垂直。现同时分别给两个线框一个竖直向下的初速度

v1和

v2，设磁场的范围足够大，当线框完全在磁场中运动时，不考虑两线框的相互作用，下列说法正确的是(

)A．运动中两线框所受磁场的作用力方向相反B．若

v1＝v2，则开始时甲所受磁场力等于乙所受磁场力C．若

v1＞v2，则开始时甲中的感应电流一定大于乙中的感应电流D．若

v1＜v2，则最终稳定状态时甲的速度可能大于乙的速度答案：BC

解析：根据楞次定律，甲线框中产生顺时针方向的电流，乙线框中产生逆时针方向的电流，因为线框下边磁场比上边的磁场强，下边所受的安培力大于上边所受的安培力，则安培力的方向与下边所受的安培力方向相同，根据左手定则，甲线框所受的安培力方向向上，乙线框所受的安培力方向也向上，故A错误。线框产生的电动势E＝B2Lv－B1Lv＝kL2v，若v1＝v2，开始时两线框产生的感应电流大小相等。8．(多选)如图所示，固定在同一水平面内的两平行长直金属导轨，间距为1m，其左端用导线接有两个阻值均为4Ω的电阻，整个装置处在方向竖直向上、大小为2T的匀强磁场中。一质量为2kg、长度为1m的导体杆MN垂直于导轨放置，已知杆接入电路的电阻为2Ω，杆与导轨之间的动摩擦因数为0.5。对杆施加水平向右、大小为20N的拉力，杆从静止开始沿导轨运动，杆与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，重力加速度g＝10m/s2。则(

)A．M点的电势高于N点的电势B．杆运动的最大速度是10m/sC．当杆达到最大速度时，MN间的电势差大小为20VD．杆上产生的焦耳热与两电阻产生焦耳热的和相等答案：BD

9.如图所示，一足够长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个中心辐射的磁场(磁场水平向外)，一个与磁铁同轴的圆形金属环，环的质量m＝0.2kg，环单位长度的电阻为0.1πΩ/m，半径r＝0.1m(稍大于圆柱形磁铁的半径)。金属环由静止开始下落，环面始终水平，金属环切割处的磁感应强度大小均为B＝0.5T，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。则(

)A．环下落过程的最大速度为0.4m/sB．环下落过程中，电流始终为逆时针(从上往下看)C．若下落时间为2s时环已经达到最大速度，则这个过程通过环截面的电荷量是32CD．若下落高度为3m时环已经达到最大速度，则这个过程环产生的热量为4.4J答案：D

10.如图所示，竖直放置的光滑金属导轨水平间距为L，导轨下端接有阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属细杆ab与竖直悬挂的绝缘轻质弹簧相连，弹簧上端固定。整个装置处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中。现使细杆从弹簧处于原长位置由静止释放，向下运动距离为h时达到最大速度vm