河南省郑州市中原区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中原区九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A． B． C． D．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+x2+1＝0 B．+x+1＝0 C．x2﹣x＝8 D．2x＝323．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，0，﹣1；转盘B被四等分，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）（x，y）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（）A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形是轴对称图形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行（）A．1 B． C． D．57．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E（）A．2 B．4 C． D．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，点E从点B开始，沿矩形的边BA﹣AD运动，BC＝4，CE与对角线BD相交于点N，连接OF，则OF长度的最大值是（）A．1 B． C．2 D．9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．310．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为xm，下列方程正确的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600二.填空题（每题3分，共15分）11．要使有意义，则实数x的取值范围是．12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），那么AP的长度为．13．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，若BE＝2，EC＝3，则△AFD的面积为．14．如图，菱形ABCD中，分别以点C、D为圆心CD长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，且直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M．连接BM，则BM＝．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，连接AE，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD＝．三.解答题（共8题，75分）16．解下列一元二次方程：（1）x2+5x﹣24＝0；（2）3x2＝2（2﹣x）．17．某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．20．郑州市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20），若商贸公司要想获得2250元的利润，则这种干果每千克应降价多少元？21．如图，▱ABCD中，点E是CD的中点（1）求证：CF＝AD；（2）连接BD、DF，①当∠ABC＝90°时，△BDF的形状是；②若∠ABC＝50°，当∠CFD＝°时，四边形ABCD是菱形．22．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，某一时刻，FD＝0.6m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．23．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别为边DC、BC上两点．（1）如图1，若BF＝CE，可知AF与BE的数量关系为．（2）如图2，若BF＝DE，作EH⊥AF于H，求证：DH＝AB．（3）如图3，若DE＝CE，BF＝4，则AG长度为（直接写出答案）．2023-2024学年河南省郑州市中原区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+x2+1＝0 B．+x+1＝0 C．x2﹣x＝8 D．2x＝32【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．解：A、x3+x2+7＝0，未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意；B、不是整式方程；C、x2﹣x＝8是一元二次方程，故本选项符合题意；D、4x＝32是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．3．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，0，﹣1；转盘B被四等分，2，﹣2，﹣3．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）（x，y）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．解：列表如下：20﹣53（2，2）（0，3）（﹣3，3）2（2，2）（0，5）（﹣1，2）﹣5（2，﹣2）（7，﹣2）（﹣1，﹣5）﹣3（2，﹣7）（0，﹣3）（﹣6，﹣3）由表可知，共有12种等可能结果，y）落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种，所以点（x，y）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是＝．故选：C．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．4．下列说法正确的是（）A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形是轴对称图形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．解：A、菱形的对角线互相垂直；B、矩形的对角线相等且互相平分；C、平行四边形不一定是轴对称图形；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．5．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可．解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点D．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行（）A．1 B． C． D．5【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．解：如图，OB＝1.5，OC＝10，∵PB∥AC，∴，∴，∴OP＝7．∴点P表示的数是5．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E（）A．2 B．4 C． D．【分析】作AH⊥BC于H，由AB＝AC，得到BH＝CH，求出∠B＝∠C＝30°，得到BH＝3，因此BC＝2BH＝6，求出BD的长，即可得到CD的长，从而求出CE的长．解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB＝AC＝6，∴AH＝AB＝3，∴BH＝AH＝8，∴BC＝2BH＝2，∵AD⊥AB，∴AD＝AB＝2，∴BD＝4AD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝5，∵DE⊥CD，∴DE＝CD＝2，∴CE＝2DE＝3．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，点E从点B开始，沿矩形的边BA﹣AD运动，BC＝4，CE与对角线BD相交于点N，连接OF，则OF长度的最大值是（）A．1 B． C．2 D．【分析】由矩形的性质和三角形的中位线定理可求OF的最大值．解：由题意可知，当点E与点D重合时，∵O、F是BD，∴OF是△ACE的中位线∴OF＝AE，∵AE最大是8，∴OF长度的最大值是2．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．3【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为﹣1，则2+m+n＝0，2﹣m+n＝0，然后求出m、n的值后计算mn的值．解：根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为﹣1，所以一元二次方程2x2+mx+n＝0的根为4和﹣1，所以2+m+n＝6，2﹣m+n＝0，n＝﹣5，所以mn＝0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为xm，下列方程正确的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600【分析】由人行通道的宽度为xm，可得出每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m，根据每个展位的面积都为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵人行通道的宽度为xm，∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为m．依题意得：•（25﹣5x）＝200，即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二.填空题（每题3分，共15分）11．要使有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．解：依题意得x+1≥0，∴x≥﹣4．故答案为：x≥﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），那么AP的长度为（5﹣5）cm．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．解：∵点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝﹣5）cm，∴故答案为：（7﹣5）cm．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．13．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上一点，若BE＝2，EC＝3，则△AFD的面积为50．【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝BE+EC＝5，BE∥AD，则△BFE∽△DFA，得出＝（）2＝，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝BE+EC＝2+3＝7，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ADF＝S△BEF＝×8＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14．如图，菱形ABCD中，分别以点C、D为圆心CD长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，且直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M．连接BM，则BM＝3．【分析】证明AD＝2AM，推出∠DAM＝30°，求出AM，可得结论．解：在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∴∠DAM＝30°，∵AD＝AB＝6，∴AM＝AD•cos30°＝3，∵AB∥CD，∴AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，∴BM＝＝＝3．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，连接AE，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，PD＝或．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE＝＝＝5，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝8，∴AE＝＝＝5，∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，∴PD′＝PD，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，∴∠AD′P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD′＝∠AEB，∴△ABE∽△PD′A，∴＝，∴＝，∴x＝，∴PD＝；②当∠APD′＝90°时，∴∠APD′＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD′∽△EBA，∴，∴＝，∴x＝，∴PD＝，综上所述，当△APD′是直角三角形时或，故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．三.解答题（共8题，75分）16．解下列一元二次方程：（1）x2+5x﹣24＝0；（2）3x2＝2（2﹣x）．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．解：（1）x2+5x﹣24＝3，（x+8）（x﹣3）＝5，∴x+8＝0或x﹣4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝3；（2）5x2＝2（3﹣x），3x2+7x﹣4＝0，∵a＝2，b＝2，∴Δ＝25﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．17．某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：由题意，《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书分别用相同的卡片A，B，C，则画树状图为：共有12种等可能的结果，其中《朝花夕拾》和《西游记》共同被选中的结果有2种，∴该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率为＝．【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率＝．18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．【分析】（1）先计算判别式的意义得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，再根据题意得到﹣m+1＞0，从而得到m的范围．【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣5）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥7，∴方程总有两个实数根；（2）x＝，解得x4＝﹣1，x2＝﹣m+8，∵方程只有一个根是正数，∴﹣m+1＞0，∴m＜3．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB＝BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；解：（1）如图所示，△A1B1C8就是所求三角形（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．∵A（﹣1，2），6），5）2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A3（﹣2，4），B6（4，2），C8（8，10），∴＝8×10﹣×4×8﹣．【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．20．郑州市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20），若商贸公司要想获得2250元的利润，则这种干果每千克应降价多少元？【分析】当这种干果每千克降价x元时，每千克的销售利润为（60﹣x﹣40）元，销售量为（10x+100）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：当这种干果每千克降价x元时，每千克的销售利润为（60﹣x﹣40）元，根据题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2250，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x5＝x2＝5．答：这种干果每千克应降价4元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．如图，▱ABCD中，点E是CD的中点（1）求证：CF＝AD；（2）连接BD、DF，①当∠ABC＝90°时，△BDF的形状是等腰三角形；②若∠ABC＝50°，当∠CFD＝65°时，四边形ABCD是菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得到∠DAE＝∠CFE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）①根据矩形的判定定理得到▱ABCD是矩形，得到AC＝BD，等量代换即可得到结论；②根据菱形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF；（2）①△BDF是等腰三角形，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴DF＝AC，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；②当∠CFD＝65°时，四边形ABCD是菱形，∵▱ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵AD＝CF，∴CD＝CF，∵∠ABC＝50°，∴∠DCF＝50°，∴∠CFD＝（180°﹣50°）＝65°．故答案为：等腰三角形，65．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．22．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，某一时刻，FD＝0.6m，其中O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵OA⊥OE，BF⊥OE，∴BF∥OA，∴△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO，∴＝，＝，∴，＝，∴OA＝OD＝7.8（m）