专题09 三角形中的垂线段最短模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题09三角形中的垂线段最短模型【模型1】垂线段最短如图，已知点P是直线1外一点，过点P作PB⊥l,的连线中最短的线段。则PB是直线外一点P与直线l上各点【模型2】两条线段的和最小值问题如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点E、F是OB,OA最小值，通常作P点关于OB的对称点P',过点P'作PF⊥OA于点F,交OB上的动点，求PE+EF的的【例1】如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为()A.15°B.22.5°C.30°【答案】C【分析】过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,连接CF,根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可.【解析】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,连接CF,根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，AF=FC,【例2】如图Rt△ABC,∠ACB=90°,AB=5,BC=CP的最小值是若动点P在边AB上移动，则线段(2)依题意得，当CD⊥AB时，CD有最小值，可得AD、CD,根据AD=2t可得答案；时，③当AE=DE时，结合方程求解即可.【解析】(1)在RtAABC中，∠BAC=30°,BC=8cm,(2)依题意得，当CD⊥AB时，CD有最小值，①当AD=AE时，由4√3=2t,∴点E在AD的垂直平分线上，且AD=2AG,由12=2t得，t=6,一、单选题1.如图，AP平分∠CAB,PD⊥AC于点D,若PD=6,点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是()A.PE=6B.PE>6C.PE≤6D.PE≥6【答案】D【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解.【解析】解：过P点作PH⊥AB于H,如图，A.OAB.OBC.OCD.OD若P,Q分别是AD何AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.44.如图，1是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A,小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是()A.从大变小B.从小变大C.从小变大再变小D.从大变小再变大【答案】C【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解【解析】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，如图：过点A作AE⊥l与点E,交弧BC于点G,故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,BD平分∠ABC,如果点M,N分别为BD,BC上的动点，那么CM+MN的最小值是()A.4B.4.8【答案】B【分析】先作CE垂直AB交BD于点M,再作MN垂直BC,根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N,进而求得CM+MN的最小值.【解析】解：如图所示：交BD于点M,交BD于点M,,过点M作MN⊥BC于点N,QBD平分∠ABC,∴ME=MN,QRtVABC中，∠即CM+MN的最小值是4.8,上的一动点，则DP的最小值是()A.7.1B.6.5【答案】C【分析】过D点作DH⊥BC于H,如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD=8,再利用勾股定理计算出BC=10,接着利用面积法计算出DH,然后根据垂线段最短求解.【解析】解：过D点作DH⊥BC于H,如图∴DP的最小值为4.8.二、填空题小值为为AC上一动点，则BP的最【答案】4【分析】根据垂线段最短得出BP⊥AC时，BP的值最小，根据角平分线的性质得出BP=BD,再求出答案即可.【解析】解：当BP⊥AC时，BP有最小值，即BP的最小值是4,故答案为：4.的最小值为【分析】过点E作EF⊥CD于点F,连接BF.由菱形的性质可知∠FCE=30°,即得出,从而可得出,即当BF最小时最小。由垂【解析】如图，过点E作EF⊥CD于点F,连接BF.∴当BF最小时BE+EF最小，即最小.由垂线段最短可知当BF⊥CD时BF最小，如图BF'.且BM=1,在BC上有一动点Q,在BD上有一动点P,则PM+PQ的最小值为PM+PQ=PM+PQ≥MN,点N.∴VPBQ≌VPBQ*(SAS),,根据重线段最,根据重线段最故答案为：8.13.如图，点A在直线1外，点B在直线l上，连接AB.选择适当的工具作图.(2)在BC的延长线上任取一点D,连接AD;(3)在AB,AC,AD中，最短的线段是,依据是(3)AC,垂线段最短【分析】(1)利用直角三角板作∠ACB=90°,再利用直尺连接AC即可得；(2)利用直尺连接AD即可得；(3)根据垂线段最短即可得.(3)解：在AB,AC,AD(2)如图，线段PM即为所求作.AC上的动点(点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合),求PC+PQ的最小值【答案】【解析】解：如解图，过点C作CH⊥AB于H,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,16.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,其中AB=BC,由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为=450米.(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路?请通过计算加以说明；(2)求原来的路线BC的长.【答案】(1)CD是从村庄C到河边最近的路，理由见解析【分析】(1)结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解；求解即可.∴450²+600²=750²,即AD²+CD²=AC²,∴CD是从村庄C到河边最近的路.答：原来的路线BC的长为625米.17.如图所示，∠AED=80°,EF平分∠AED交AD于点F,∠1=40°(1)写出判定EF//BD的推理过程.(2)当∠ADE=50°时，线段EA、EF、ED中最短的是哪段?并说出理由.(2)EF最短，理由见解析【分析】(1)由EF平分∠AED交AD于点F,有∠FED=40°,∠1=40°直线平行.(2)由∠ADE=50°,∠1=40°,EF//BD,可判断出∠ADB=90°,EF⊥【解析】(1)∵EF平分∠AED,(2)EF最短.∴当∠ADE=50°时，∠ADB=90°,则BD⊥AD,AD即可得出答案.点E.直线DE交BC于(1)如图1,若∠CDE=45°,则CD=,EB=;(2)如图2,在(1)的条件下，点M在直线DE上运动，且满足∠MCN=90°,MC=NC,连接ND,请判断ND与ME的数量关系和位置关系，并说明理由.(3)如图3,若∠CDE=30°,点M在直线DE上运动，且满足∠MCN=90°,MC=NC,连接AN,请求出AN的最小值.【答案】(1)2,1(2)ND=ME,ND⊥ME,见解析【分析】(1)证明△CDE是等腰直角三角形，可得结论；(2)如图2中，结论：ND=ME,ND⊥ME.证明∠DCN≌△ECM(SAS),可得结论；(3)如图3中，连接BM,证明△ACN≌△BCM(SAS),推出AN=BM,过点B作BH⊥DE【解析】(1)解：如图1中，故答案为：2,1;理由：∵∠DCE=∠MCN=90°,∴△DCN≌△ECM(SAS),又∵NC=MC,AC=BC,过点B作BH⊥DE于H,;19.(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的量关系，并证明你的结论.练.如图2所示，体育老师在地面画了一块△ABC场地，已知AB=AC=17米，BC=16米，D为BC的中点，测得AD的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在AD和AC边上移传球的运动路径最小值(即EC+EF的最小值).图1图2(1)如图①,连接BE、EF,若∠ABE=∠EFC,求证：BE=EF;(2)如图②,若B、E、F在一条直线上，且∠ABE=∠BAC=45°,探究BD与AE的数量(3)如图③,若AB=13,BC=10,AD=12,连接EC、EF,直接写出EC+EF的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)AE=2BD,证明见解析；(3)【分析】(1)连接CE