2023北师大版八年级上学期数学练习-勾股定理的应用

第一章勾股定理

3勾股定理的应用

基础过关全练

知识点1确定立体图形上的最短距离

1.如图，若圆柱的底面周长是50cm,高是120cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈

丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（）

A.170cmB.70cm

C.145cmD.130cm

2.如图所示，正方体的棱长为1,一只蜘蛛从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶

点B,则蜘蛛爬行的最短距离的平方是（）

A.2B.3C.4D.5

3.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'

镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长

度至少为（）

A.8cmB.13cmC.12cmD.15cm

4.（教材P13变式题）如图，圆柱的底面直径BC=-cm,高AB=8cm,按如图所示的方

TT

式缠绕细线，则缠绕一周（不记接头）至少需要cm长的细线.

5.（2022独家原创）长方体共顶点的三条棱长如图所示，三只蚂蚁同时从点A出发,

同速沿长方体表面爬行去点M处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为

A—B—M、A-C-M、A-D一M,若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算

说明哪只蚂蚁最先到达,哪只蚂蚁最后到达？

知识点2勾股定理的实际应用

6.（2022陕西西安铁一中学期中）如图所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门

上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动

发光.请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光?（）

A.4米B.3米C.5米D.7米

7.有诗曰:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二岁与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人

争蹴,终朝笑语欢嬉，良工高士好奇,算出索长有几（注:一步等于5尺，图示如图）

能力提升全练

8.（2020四川巴中中考,8,然?）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一

个“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何?”意思是:一

根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地,

抵地处离原竹子根部三尺远，问:原处还有多高的竹子?（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

9.（2021湖南岳阳中考,15,倘）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问

题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为今

有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少?（1丈

=10尺,1尺=10寸）如图,设门高AB为x尺，根据题意，可列方程

为

D

X

B

10.（2018湖北黄冈中考,13,格）如图,圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32

cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯

上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm（杯壁厚度不计）.

11.（2021河南驻马店驿城期中,19,倘）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该

市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动,

已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移动到

D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都会受到台风的影响，那么正在D点

休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?

素养探究全练

12」直观想象］(2022江苏连云港期中)如图，在RtAABC中,NACB=

90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运

动时间为t(s).

(1)当^ABP为直角三角形时，求t的值；

(2)当4ABP为等腰三角形时，求t的值.

备用图

13.［直观想象］为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色，然后

缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm,其横截面周长为36cm,如果在表面

均匀缠绕油纸4圈,应裁剪多长的油纸？

答案全解全析

基础过关全练

1.D如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接AB,根据勾股定理得AB2=502+1202=16

900=1302,所以AB=130cm,故选D.

2.D将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接AB,如图所示，爬行的最

短路径为线段AB.由勾股定理得,AB2=(l+l)2+y=5,故选D.

3.B如图为三棱柱的侧面展开图，则AB=5cm,

A'B=4X3=12cm,由勾股定理得AA'2=A'B2+AB2=122+52=l69=132,

所以AA-13cm,故选B.

4.20

解析如图为圆柱的侧面展开图，连接AC、CD,由已知得AB=8cm,BC=；xUx兀=6

2TT

cm,在RtAABC中,AC2=AB2+BC2=82+62=1()2,所以AC=10cm,所以至少需要

10x2=20cm长的细线.

AD

/?C

5.解析图1、图2、图3中AM分别为甲、乙、丙三只蚂蚁所走的最短路径.

图

图1中AM2=82+92=145.

图2中AM2=52+122=169.

图3中AM2=132+42=185.

因为145<169<185,

所以蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达.

6.A当人走到点D的位置，头顶C与点A的距离是5m时，灯刚好自动发光，作

CE±AB于E,由题意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m,

在RtAACE中,CE2=AC2-AE2=52-32=16,

CE=4m.

故学生走到离墙4m远时,灯刚好发光,

故选A.

m

7.解析如图，设OA=x尺，根据题意，得OB=OA=x尺,BC=10尺,

OC=(x-4)尺,

在RtAOCB+,CO2+CB2=OB2,

即(X-4>+1()2=X2,

解得x=14.5,

所以索长为14.5尺.

能力提升全练

8.B设竹子折断处离地面x尺厕斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得x2+32=(10-x)2,

解得x=4.55.

所以原处还有4.55尺高的竹子.

故选B.

9.(x-6.8)2+x2=102

解析因为门高AB为x尺,所以门宽BC为(x-6.8)尺，依题意得BC2+AB2=AC2,V

AC=1丈=10尺，

(x-6.8)2+x2=1CP.故答案为(x-6.8>+x2=102.

10.20

解析如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A1,

5

连接A，B,作AD_LBE,交BE的延长线于D,则A'B的长即为最短距

离,A'B2=A'D2+BD2=162+122=202,

所以A'B=20cm,故答案为20.

11.解析在RtAABD中,根据勾股定理，得BD2=AB2-AD2=1002-602=6400,，

BD=80km,V80^20=4(h),

...台风中心经过4小时从B点移动到D点.

如图,•.•距台风中心30km的圆形区域内都会受到台风的影响,.•.游人要在台风中

心到达E点之前撤离，

BE=BD-DE=80-30=50km,詈2.5(h),

.•.游人在接到台风警报后2.5小时内撤离才可脱离危险.

素养探究全练

12.解析(1)VZACB=90°,ABC2=AB2-AC2=102-62=64,ABC=8(cm).

当4ABP为直角三角形时,可分为两种情况进行讨论：

①当NAPB=90。时，点P与点C重合，此时BP=BC=8cm,「.t=8勺=8.

②当NBAP=90°时,BP=tcm,CP=(t-8)cm,

在RtAACP中,Ap2=62+(t-8)2,在RtABAP中,AB?+AP2=BP2,

即102+[62+(匕8)2]丸2,解得1=§.

综上所述，当z\ABP为直角三角形时,t=8或学

(2)由⑴可知,BC=8cm.

当^ABP为等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：

①当AB=AP时,BP=2BC=16cm,即t=16;

②当BP=BA=10cm时,t=10;

③当PA=PB时，如图，设BP=PA=xcm,则PC=(8-x)cm,

在RtAACP中,由勾股定理得PC2+AC2=AP2,

:.(8-x>+62=x2,解得x=—,