2023届北京首都师大附中中考数学模拟试题含解析

2023年中考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1,春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行

消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍lOmin,然后打开门窗进行通风，室

内每立方米空气中含药量y(根g/根3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满

足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是()

A.经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10机g//??

B.室内空气中的含药量不低于即咫/加3的持续时间达到了11min

C.当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有

效

D.当室内空气中的含药量低于2根g/病时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2〃吆/〃?3开始，需

经过59min后，学生才能进入室内

2.在平面直角坐标系中，将抛物线.丫=/+2彳+3绕着它与)，轴的交点旋转180。，所得抛物线的解析式是().

A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-l)2+4

C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+4

3.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,

则DE的长是()

AED

---------------

3715

A.5B.—C.-D.—

244

4.如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE=BF,在旗上取动点G,

国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时，设AD=y,BC=x,贝!Iy与x所满足的函数关系式为（）

A.正比例函数y=kx（k为常数，k=0,x>0）

B.一次函数丫=1«^4）（k,b为常数，kb邦，x>0）

C.反比例函数y=&（k为常数，片0,x>0）

x

D.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，a#）,x>0）

5.已知抛物线y=ax2+bx+c（a#）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,其部分图象如图所示,

下列结论：

①抛物线过原点；②a-b+cVl；③当x<l时，y随x增大而增大；

④抛物线的顶点坐标为（2,b）；⑤若ax?+bx+c=b,则b?-4ac=l.

A.①②③B.①④⑤C.①②④D.③④⑤

6.如图，△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则△ABC的周长为（）

7.如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）

8.某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4x100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让

他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

9.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE,则NABE的度数为（）

A.30°B.36°C.54°D.72°

10.据中国电子商务研窕中心（100EC.CN）发布《2017年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有

190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为（）

A.1159.56x1()8元B.11.5956x10'°%C.1.15956x10"%D.1.15956x1()8元

11.如图，在正方形A3C。中，E为45的中点，G,F分别为A。、8c边上的点，若AG=LBF=2,ZGEF=90°,

则GF的长为（）

A.2B.3C.4D.5

12.在R3ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=3,则NA的正切值为（）

1

AaRrV10n3配

A.3B.—C・-------D.------

31010

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知平面直角坐标系中的点A（2,-4）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为

14.比较大小：苴二!■1（填“V”或“〉”或

2

15.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，则这个多边形的边数是.

16.计算：718-72=.

17.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意

可列方程是.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2,1）,B（1,0）,将线段AB绕着点B顺时针旋转90。得到线段BA，,

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）为给邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图所示，已知斜坡长60血米,

坡角（即NBAC）为45。,BC1AC,现计划在斜坡中点。处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE

和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）.

若修建的斜坡BE的坡比为石：1,求休闲平台DE的长是多少米？一座建筑物G"距离

A点33米远（即AG=33米），小亮在。点测得建筑物顶部，的仰角（即“DM）为30。.点3、C、A、G,“在同一

个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG上CG,问建筑物G4高为多少米？

20.（6分）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即

CD=2米），背水坡DE的坡度i=l：1（即DB：EB=1：1）,如图所示，已知AE=4米，ZEAC=130°,求水坝原来的

高度BC.（参考数据：sin50°«0.77,cos50°«0.64,tan50°-1.2）

21.（6分）在。。中，弦AB与弦CD相交于点G,OA_LCD于点E,过点B作。O的切线BF交CD的延长线于点

（I）如图①，若NF=50。，求NBGF的大小:

（II）如图②，连接BD,AC,若NF=36。，AC:〃BF,求NBDG的大小.

22.（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE：AC=3：

,、AD

5,求---的值.

AB

23.（8分）如图,在平面直角坐标系中,一次函数乂=&+耳左。0）与反比例函数〉2=:（加力0）的图像交于点4（3,1）

和点5,且经过点。（0,-2）.

求反比例函数和一次函数的表达式；求当X＞乂时自变量x的取值范围•

24.（10分）如图，△5AZ）是由ABEC在平面内绕点〃旋转60。而得，S.ABLBC,BE=CE,连接OE.求证:

△BDE出ABCE；试判断四边形A5EO的形状，并说明理由.

D

25.(10分)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段

AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点P运动到什么位置时，APAB的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PE〃x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P

使APDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

26.(12分)如图，在平面直角坐标系——中，函数的图象经过点-＜，_?直线-与x

轴交于点二求二，二的值；过第二象限的点二.一二二，作平行于X轴的直线，交直线二=二二一二于

点C,交函数的图象于点D.

①当-__•时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；

②若之；二二，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

27.(12分)尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹.

已知：如图，线段a,h.

求作：△ABC,使AB=AC,且NBAC=,Na,高AD=h.

h

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

利用图中信息一一判断即可.

【详解】

解:A、正确.不符合题意.

B、由题意x=4时，y=8,...室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了Umin,正确，不符合题意；

C、y=5时，x=2.5或24,24-2.5=21.5V35,故本选项错误，符合题意；

D、正确.不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.

2、B

【解析】

把抛物线y=x?+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再

利用顶点式形式写出解析式即可.

【详解】

解：Vy=x2+2x+3=(x+1)2+2,

二原抛物线的顶点坐标为(-1,2),

令x=0,则y=3,

...抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）,

•••抛物线绕与y轴的交点旋转180°,

•••所得抛物线的顶点坐标为（1,4）,

二所得抛物线的解析式为：y=-x?+2x+3［或y=-（x-1）2+4|.

故选:B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便.

3、C

【解析】

先利用勾股定理求出AC的长，然后证明小AEO-AACD,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】

VAB=6,BC=8,

AAC=10（勾股定理）；

1

..AO=—AC=5,

2

VEO±AC,

/.ZAOE=ZADC=90°,

ZEAO=ZCAD,

AAAEO^AACD,

.AEAO

••=9

ACAD

AE5

n即n一=-,

108

解得，AE=—,

4

257

.\DE=8------=-,

44

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解

题的关键.

4、C

【解析】

延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE与BF为圆的切线，利用切线的性质得到AE与EO

垂直，BF与OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对

应角相等得到NA=NB,利用等角对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一

得到QO垂直于AB,得到一对直角相等，再由NFQO与NOQB为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到

三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ相似，由相似三角形的对应角相等得到

ZQOE=ZQOF=ZA=ZB,再由切线长定理得到OD与OC分别为NEOG与NFOG的平分线，得到NDOC为NEOF

的一半，即NDOC=NA=NB,又NGCO=NFCO,得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角

形DAO相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD=x,BC=y代入，并将AO与OB

换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即可得到正确的选项.

【详解】

延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,

VAE,BF为圆O的切线，

AOEXAE,OF±FB,

.,.ZAEO=ZBFO=90°,

在RtAAEO和RtABFO中，

AE=BF

V{,

OE=OF

/.RtAAEOgRtABFO(HL),

.,.NA=NB,

...△QAB为等腰三角形，

又为AB的中点，即AO=BO,

...QOJLAB,

.•.ZQOB=ZQFO=90°,

又；NOQF=NBQO,

/.△QOF^AQBO,

:.NB=NQOF,

同理可以得到NA=NQOE,

:.NQOF=NQOE,

根据切线长定理得：OD平分NEOG,OC平分NGOF,

ZDOC=-ZEOF=ZA=ZB,

2

XVZGCO=ZFCO,

.,.△DOC^AOBC,

同理可以得到△DOCs/XDAO,

,•,△DAO^AOBC,

.ADAO

••=f

OBBC

：.AD»BC=AO»OB=-AB2,即xv」AB?为定值，

44

ik

设k=—AB,得到y=一,

4x

则y与x满足的函数关系式为反比例函数y=&（k为常数，k#0,x>0）.

x

故选C.

【点睛】

本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，反比

例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵活运用所学知识.

5、B

【解析】

由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=-l时，y>L得到

a-b+c>l,结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=l,即可

求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2,b）,判断⑤.

【详解】

解：①I•抛物线y=ax2+bx+c（a,l）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,

...抛物线与x轴的另一交点坐标为（1,1）,

.•.抛物线过原点，结论①正确；

②•.,当x=-1时，y>L

Aa-b+c>l,结论②错误；

③当xVl时，y随x增大而减小，③错误；

④抛物线y=ax2+bx+c（a丹）的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点，

:.4a+b+c=l,

当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b,

抛物线的顶点坐标为（2,b）,结论④正确；

⑤•••抛物线的顶点坐标为（2,b）,

ax2+bx+c=b时，b2-4ac=l,⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①④⑤.

故选B.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y

轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

6、B

【解析】

根据切线长定理进行求解即可.

【详解】

1•△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,

.,.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VBE+CE=BC=5,

.,.BD+CF=BC=5,

.".△ABC的周长=2+2+5+5=14,

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

7、D

【解析】

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】

该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：

故选D.

【点睛】

本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.

8、B

【解析】

总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断.

【详解】

要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，

即中位数.

故选B.

9、B

【解析】

在等腰三角形△ABE中，求出NA的度数即可解决问题.

【详解】

解：在正五边形ABCDE中，ZA=1x(5-2)x180=108°

又知△ABE是等腰三角形，

；.AB=AE,

.\ZABE=-(180°-108°)=36°.

2

故选B.

【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单.

10、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|＜lO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【详解】

1159.56亿=115956000000,

所以1159.56亿用科学记数法表示为1.15956X1011,

故选C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

11、B

【解析】

•••四边形ABCD是正方形，

.*.ZA=ZB=90o,

.\NAGE+NAEG=90。，ZBFE+ZFEB=90°,

VZGEF=90°,

.,.ZGEA+ZFEB=90°,

，NAGE=NFEB,NAEG=NEFB,

.,.△AEG^ABFE,

.AEAG

•.,

BFBE

XVAE=BE,

/.AE2=AG«BF=2,

-,.AE=V2（舍负），

.*.GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

AGF的长为3,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEGs^BFE.

12、A

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】•.•在R3ABC中,ZC=90°,AC=1,BC=3,

.•.NA的正切值为吐='=3,

AC1

故选A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(-2,4)

【解析】

根据点P(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)即可得解.

【详解】

解：•.•点A(2,-4)与点B关于原点中心对称，

•••点B的坐标为：(-2,4).

故答案为：(24).

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.

14、<

【解析】

J?-1

V—~-=0.62,0.62<1,

2

.布-1々［

2

故答案为V.

15、7

【解析】

根据多边形内角和公式得：(n-2)xl8O°.得：

(36O°x3-180。)-180。+2=7

16、20

【解析】

试题解析：原式=30—a=2血.

故答案为2立.

17>50(1-x)2=1.

【解析】

由题意可得，

50(l-x)2=l,

故答案为50(l-x)2=l.

18、(2,3)

【解析】

作AC±x轴于C,作AC_Lx轴，垂足分别为C、C,证明△ABC^ABA^S可得OC，=OB+BC=1+1=2,AC=BC=3,

可得结果.

【详解】

如图，作AC_Lx轴于C,作ACx轴，垂足分别为C、C,

•.•点A、B的坐标分别为(-2,1)、(1,0),

：.AC=2,BC=2+1=3,

VNABA，=90。，

...ABC+NA'BC'=90°,

■:ZBAC+ZABC=90°,

ZBAC=ZA,BC,,

VBA=BASZACB=ZBC,A,,

.,.△ABC^ABATS

...OC，=OB+BC=1+I=2,AC=BC=3,

.,.点A，的坐标为(2,3).

故答案为(2,3).

【点睛】

此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)(30-10/)m(2)(30+21我米

【解析】

分析：(1)由三角函数的定义，即可求得AM与AF的长，又由坡度的定义，即可求得NF的长，继而求得平台MN

的长；(2)在RTABMK中，求得BK=MK=5()米，从而求得EM=84米；在RTAHEM中，求得HE=286，继

而求得HG=28后+50米.

详解：

（1）'：MF//BC,：.ZAMF=ZABC=45°,

•.•斜坡A3长100夜米，M是A5的中点，.•.AM=50夜（米）,

AF=MF=AM*cosZAMF=500x—=50（米），

在RT_ANF中，,••斜坡AN的坡比为百：1,=

NF1

5050G

NF

150-50百

:.MN=MF-NF=50-

33

（2）在RTABMK中，BM=50&,/.BK=MK=50（米）,

EM=BG+BK=34+50=84（米）

在RTAHEM中，NHME=30°,:.=tan30°=—,

EM3

/o

•••HE=—x84=28V3,

3

；•HG=HE+EG=HE+MK=280+50（米）

150-50百

答：休闲平台。E的长是米；建筑物G"高为（28右+50）米.

3

点睛：本题考查了坡度坡角的问题以及俯角仰角的问题.解题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为

解直角三角形的问题；掌握数形结合思想与方程思想在题中的运用.

20、水坝原来的高度为12米

【解析】

试题分析：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE,进而列出x的方程，求出x的值即可.

试题解析：设BC=x米，

在RtAABC中，ZCAB=180°-ZEAC=50°,AB==二=,

tan50*12o

在RtAEBD中，

Vi=DB：EB=1：1,，BD=BE,ACD+BC=AE+AB,

即2+x=4+-,解得x=12,即BC=12,

6

答：水坝原来的高度为12米..

考点：解直角三角形的应用，坡度.

21、(I)65°；(II)72°

【解析】

(I)如图①，连接OB,先利用切线的性质得NOBF=90。，而OAJ_CD,所以NOED=90。，利用四边形内角和可计算

出NAOB=130。，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出N1=NA=25。，从而得到N2=65。，最后利用三角形

内角和定理计算NBGF的度数；

(II)如图②，连接OB,BO的延长线交AC于H,利用切线的性质得OB1.BF,再利用AC〃BF得到BHLAC,与

(I)方法可得到NAOB=144。，从而得到NOBA=NOAB=18。，接着计算出NOAH=54。，然后根据圆周角定理得到

ZBDG的度数.

【详解】

解：(D如图①，连接OB,

,.,BF为。O的切线，

AOBXBF,

.INOBF=90。，

VOA1CD,

.•,ZOED=90°,

:.ZAOB=180°-ZF=180°-50°=130°,

,.JOA=OB,

/.Z1=ZA=-(180°-130°)=25°,

2

AZ2=90°-Zl=65°,

:.ZBGF=1800-Z2-ZF=180°-65°-50°=65°；

(ID如图②，连接OB,BO的延长线交AC于H,

TBF为。O的切线，

.,.OB1BF,

VAC/7BF,

.\BH±AC,

与(I)方法可得到NAOB到80。-ZF=180°-36°=144°,

VOA=OB,

.,.ZOBA=ZOAB=-(180°-144°)=18°,

2

■:ZAOB=ZOHA+ZOAH,

.*.ZOAH=144°-90°=54°,

:.NBAC=NOAH+NOAB=540+18°=72°,

二ZBDG=ZBAC=72°.

图①图②

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出

垂直关系.也考查了圆周角定理.

1

22、一

2

【解析】

根据翻折的性质可得NBAC=NEAC,再根据矩形的对边平行可得AB〃CD,根据两直线平行，内错角相等可得

ZDCA=ZBAC,从而得到NEAC=NDCA,设AE与CD相交于F,根据等角对等边的性质可得AF=CF,再求出DF=EF,

从而得到△ACF和AEDF相似，根据相似三角形得出对应边成比，设DF=3x,FC=5x,在R3ADF中，利用勾股定

理列式求出AD,再根据矩形的对边相等求出AB,然后代入进行计算即可得解.

【详解】

解：•••矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处,

.*.CE=BC,ZBAC=ZCAE,

'矩形对边AD=BC,

；.AD=CE,

设AE、CD相交于点F,

在小ADF和ACEF中,

NADF=NCEF=90。

<ZAFD=ZCFE,

AD=CE

/.△ADF^ACEF(AAS),

，EF=DF,

TAB#CD,

.,.ZBAC=ZACF,

又TNBAC=NCAE,

.\NACF=NCAE,

.•.AF=CF,

AAC#DE,

.,.△ACF^ADEF,

.EFDE3

*'CF-^C-5(

设EF=3k,CF=5k,

由勾股定理得CE=J(5左y一(3后『=4k,

/.AD=BC=CE=4k,

又；CD=DF+CF=3k+5k=8k,

AAB=CD=8k,

AAD：AB=(4k)：(8k)=-.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求

出4ACF和△DEF相似是解题的关键，也是本题的难点.

3

23、(1)y=-,y=x-2；(2)一IvxvO或元＞3.

x

【解析】

(1)把点A坐标代入y=—(m丰0)可求出m的值即可得反比例函数解析式；把点A、点C代入％=kx+b(kH0)

X

可求出k、b的值，即可得一次函数解析式；(2)联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B的坐标，根据图象，

求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可.

【详解】

(1)把A(3,l)代入y=H(mK0)得m=3.

X

3

・••反比例函数的表达式为y=1

x

1—3k+b

把A(3,l)和B(0「2)代入y=kx+b得;,

解得。k-1c

b=-2

...一次函数的表达式为y=x-2.

-_2

(2)由，=不得B(-L-3)

y^x-2

.,.当-1<x<0或x>3时，Y]>y2.

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式.求反比例函数与一

次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者

无交点.

24、证明见解析.

【解析】

(1)根据旋转的性质可得DB=CB,ZABD=ZEBC,NABE=60。，然后根据垂直可得出NDBE=NCBE=30。，继而可

根据SAS证明△BDE^ABCE；

(2)根据(1)以及旋转的性质可得，△BDE@Z\BCEgABDA,继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形.

【详解】

(1)证明：••,△BAD是由ABEC在平面内绕点B旋转60。而得，

.,.DB=CB,ZABD=ZEBC,NABE=60。，

VAB1EC,

.,.ZABC=90°,

.•.ZDBE=ZCBE=30°,

在4BDE^flABCE中，

DB=CB

VZDBE=ZCBE,

BE=BE

/.△BDE^ABCE；

(2)四边形ABED为菱形；

由(1)得ABDEg△BCE,

VABAD是由△BEC旋转而得，

/.△BAD^ABEC,

.\BA=BE,AD=EC=ED,

又：BE=CE,

/.BA=BE=ED=AD

•••四边形ABED为菱形.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

25、(1)抛物线解析式为丫=-；x?+2x+6；(2)当t=3时，△PAB的面积有最大值；(3)点P(4,6).

【解析】

(1)利用待定系数法进行求解即可得；

(2)作PMLOB与点M,交AB于点N,作AG_LPM,先求出直线AB解析式为y=-x+6,设P(t,-1t2+2t+6),

则N(t,-t+6),由SAPAB=SAPAN+SAPBN=LpN•AG+LpN・BM=LpN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

222

的性质求解可得；

(3)由PH_LOB知DH〃AO,据此由OA=OB=6得NBDH=NBAO=45。，结合NDPE=90。知若△PDE为等腰直角三

角形，则NEDP=45。，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案.

【详解】

(1),••抛物线过点B(6,0)、C(-2,0),

•••设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2),

将点A((),6)代入，得：-12a=6,

解得：a=-：,

2

所以抛物线解析式为y=-yy(x-6)(x+2)=-yX2+2X+6；

(2)如图1,过点P作PM_LOB与点M,交AB于点N,作AG_LPM于点G,

图1

设直线AB解析式为y=kx+b,

将点A(0,6)、B(6,0)代入，得:

b=6

6k+b=Q'

k=—1

解得：