新教材2023年秋高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课件新人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习任务1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)必备知识·情境导学探新知01

知识点1几个常用函数的导数原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2提醒这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了．知识点2基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝________0αxα-1cosx－sinx原函数导数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝__axlnaex

思考函数f(x)＝lnx与f(x)＝logax的求导有什么内在联系？

√√√ABC

[由公式易知ABC正确．]

√关键能力·合作探究释疑难02类型1利用导数公式求函数的导数类型2利用导数公式解决切线问题类型3导数公式的实际应用

(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5．

反思领悟

求简单函数的导函数的基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

(3)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx．类型2利用导数公式解决切线问题【例2】

(源于人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)．(1)判断(2，3)是否是曲线y＝f(x)上的点；(2)求l的方程．[思路引导]利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．

[母题探究]1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．[解]

由题意f′(x)＝－2x-3，所以曲线f(x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线”，试求k的值．反思领悟

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程．

类型3导数公式的实际应用【例3】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]

由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．反思领悟

由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．[跟进训练]3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．[解]

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安．学习效果·课堂评估夯基础031．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(

)A．0 B．2xC．6 D．9C

[因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6．]1234√

1234√

12343．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．3

[因为f(x)＝x3，所以f′(x)＝3x2，所以在点(1，f(1))处的切线斜率为f′(1)＝3．]123434．函数y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．2x－y＋1＝0

[当x＝0时，y＝sin0＋e0＝1，即点(0，1)在函数y＝sinx＋ex的曲线上．y＝sinx＋ex的导数y′＝cosx＋ex，在点(0，1)处的切线斜率为k＝cos0＋e0＝2，即在点(0，1)处的切线方程为2x－y＋1＝0．]12342x－y＋1＝0回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？[提示]几个常见函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f(x)＝xα(α∈R，且a≠0)时，f′(x)＝αxα-1．(2)对于三角函数关系式，如何求导？[提示]对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？[提示]

①求解以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的步骤：ⅰ．求出函数f(x)的导数f′(x)；ⅱ．求切线的斜率f′(x0)；ⅲ．写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

阅读材料·拓展数学大视野04导数法研究圆的面积与周长的关系我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．你知道吗？利用前面我们学习过的导数