排列与排列数、排列数公式高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2排列第1课时排列与排列数、排列数公式1.通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式，达到数学运算和数学抽象核心素养水平一的层次；2.能够利用排列数公式解决一些简单的实际问题，达到逻辑推理和数学建模核心素养水平一的层次。环节一排列的概念思考1：3名同学排成一行照相，共有多少种排法？分析设3名同学分别为A,B,C.将3名同学排成一行,可以看作将字母A,B,C放入如图5-5的方格中. 第1步:第一个位置可以从A,B,C三人中任选1人，有3种方法；第2步:第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人，有2种方法，即第一个位置的每一种方法都对应2种方法；第3步:第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人，有1种方法1、排列的概念N=3×2×1=6思考2：北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举岀所有机票的情况，并指出共有多少种机票.1、排列的概念第1步:确定可以作为起点的城市，有4种方法；第2步:作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个，有3种方法.4×3=12思考3：从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？1、排列的概念第1步:第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面，有4种方法；第2步:第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面,有3种方法，即第一个位置的每一种方法都对应3种方法；第3步:第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的2面中任选1面，有2种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应2种方法4×3×2=24思考4：上述思考题有什么共同点？1、排列的概念这些问题都是对给定的n个元素或者其中的一些元素，按照一定的顺序进行排列.排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.思考5：从定义可以看出排列有几个步骤？先选后排判断下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？任选两个做除法，其不同结果有多少种？（2）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？（3）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B有多少种方法？若从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？不是排列是排列是排列不是排列是排列是排列不是排列不是排列判断下列问题是排列问题吗？（1）下列说法：①1，2，3与3，2，1为同一排列；②在一个排列中，同一个元素不能重复出现；③从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列；④从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题；⑤从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题.其中，正确的个数有

个。解析

（1）对于①，虽然元素相同，但元素的排列顺序不相同，不是同一个排列，错误；对于②，根据定义，在一个排列中，同一个元素不能重复出现，正确；对于③，从1，2，3，4中任选两个元素，但没有进行排列，错误；对于④，从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛，交换元素后结果发生变化，是排列问题，正确；对于⑤，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，交换底数和指数后结果发生变化，属于排列问题，正确.综上可知，说法正确的个数是3环节二排列数及公式2、排列数及公式

2、排列数及公式第1步:第一个位置可以从n个不同元素中任选1个，有n种方法；第2步:第二个位置可以从除了确定排在第一个位置的那个元素之外的(n-1)个中任选1个，有(n-1)种方法，即第一个位置的每一种方法都对应(n-1)种方法

提示：从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球,放入排好的m个盒子中,每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：第1步,从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法；2、排列数及公式第3步，从剩下的(n-2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n-2)种方法；……第m步，从剩下的[n-(m-1)］个球中任选一个放入第m个盒子，有［n-(m-1)］种方法

因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］种方法.2、排列数及公式排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］种，所以

2、排列数及公式

（3）某省中学生足球赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析:每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.解

可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:6×5=30.2、利用1,2,3,4这4个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？

思考

：若题目改为“利用1,2,3,4这4个数字,可以组成多少个的三位数”呢？N=4×4×4=64种3、用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.

特殊元素分析法3、用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

特殊位置分析法3、用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

间接分析法1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.【方法总结】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数.（1）全体站成一排，男、女各站在一起；

（2）全体站成一排，男生必须站在一起；

3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数.（3）全体站成一排，男生不能站在一起；

（4）全体站成一排，男、女各不相邻.

7人站成一排.求：（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？

（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？

7人站成一排.求：（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？

（4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

1.在实际排列问题中，有些元素必须相邻.在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列.2.排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空