第四章几何图形初步本章小结

七年级数学上分层优化堂堂清几何图形初步本章小结（解析版）知识点一立体图形立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。平面图形概念：有些几何图形的各部分都在同一个平面内。常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面图形的区别】1、所含平面数量不同。平面图形是存在一个平面上的图形。立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。2、性质不同。根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。3、观察角度不同。平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。4、具有属性不同。平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。展开图：正方体展开图（难点）。正方体展开图口诀：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。知识点二直线、射线、线段直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边。经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。2.过三个已知点不一定能画出直线。当三个已知点在一条直线上时，可以画出一条直线；当三个已知点不在一条直线上时，不能画出直线。比较线段长短画线段的方法：（1）度量法；（2）用尺规作图法线段的大小比较方法：方法一：度量法分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较方法二：叠加法让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置。线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；实际问题依据：线段公理：两点之间线段最短。两点距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。知识点三角角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。角的分类：∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示法（四种）：(1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间.(2)用一个字母表示角,必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个.(3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字.(4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母.角的度量：1°=60′；1′=60″；1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°角的大小的比较：（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）互余与互补：余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角；补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角；性质：等角的余角相等，等角的补角相等。高频考点考点1从不同方向看立体图形【例11】如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是长方形的是()A． B． C． D．【答案】B【详解】A、C、D的主视图都是长方形，而B的主视图是等腰三角形，故选B．【名师点拨】错因提示：容易题.选错的原因是混淆常见几何体的三视图.【例12】如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.【详解】解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.【名师点拨】本题考查了三视图的概念.【例13】如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③【答案】D【解析】从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．故选D．考点2立体图形的展开与折叠【例21】下列哪个图形是正方体的展开图（）A． B．C．D．【答案】B【提示】根据正方体展开图的11种特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图的“141”型．【详解】根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．故选B．【名师点拨】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“141”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“222”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“33”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“132”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．【例22】如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（）A．B． C．D．【答案】D【解析】根据正方体的表面展开图可知，两条黑线在一行，且相邻两条成直角，故A、B选项错误；该正方体若按选项C展开，则第三行第一列处的黑线的位置应为小正方形的另一条对角线，所以C不符合题意.故选D.名师点拨：本题是一道关于几何体展开图的题目，主要考查了正方体展开图的相关知识.对于此类题目，一定要抓住图形的特殊性，从相对面，相邻的面入手，进行提示解答.本题中，抓住黑线之间位置关系是解题关键.【例23】如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段FC2重合的线段是（）A．NB2 B．MN C．B1B2 D．MA2解：将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，则A2D2和A2M重合，MN和C2D2重合，NB2和FC2重合．故选：A．考点3直线、射线、线段【例31】观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）AB+BD＞AD；（3）射线AC和射线AD是同一条射线；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】试题解析：（1）直线BA和直线AB是同一条直线；正确，（2）AB+BD＞AD；正确（3）射线AC和射线AD是同一条射线；正确，（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故不正确．共3个说法正确．故选C．【例32】在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是()A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚【答案】B【解析】试题提示：根据两点确定一条直线进行解答．解：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是2，故选B．【例33】下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．利用圆规可以比较两条线段的大小关系C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线【答案】C【解析】A选项：用两个钉子就可以把木条固定在墙上利用的是“两点确定一条直线”，所以A不能选；B选项：利用圆规可以比较两条线段的大小关系是“线段大小的比较”，所以B不能选；C选项：把弯曲的公路改直，就能缩短路程利用的是“两点之间线段最短”，所以C可以选；D选项：植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线的依据是“两点确定一条直线”，所以D不能选；故选C.考点4线段的计算【例41】如图，C、D是线段AB上两点，若BC=3cm，BD=5cm，且D是AC的中点，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．13cm【答案】B【提示】根据题意求出CD的长，根据线段中点的性质计算即可．【详解】解：∵BC=3cm，BD=5cm，∴CD=BDBC=2cm，∵D是AC的中点，∴AC=2CD=4cm，故选B．【名师点拨】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质是解题的关键．【例42】已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（）A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm【答案】B【解析】（1）如图1，当点C在点A和点B之间时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，∴MN=MBBN=3cm；（2）如图2，当点C在点B的右侧时，∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，∴MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，∴MN=MB+BN=5cm.综上所述，线段MN的长度为5cm或3cm.故选B.名师点拨：解本题时，由于题目中告诉的是点C在直线AB上，因此根据题目中所告诉的AB和BC的大小关系要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况提示解答，不要忽略了其中任何一种.【例43】如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC＝9cm，CB＝6cm，∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝cm；（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC+CB＝acm，∴MN＝MC+CN＝（AC+CB）＝a（cm）；（3）MN＝b，如图，∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC﹣BC＝bcm，∴MN＝MC﹣CN＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝b．考点5角的有关计算【例51】如图，已知，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∠EOF=65°，则∠AOC=_____度【答案】130【详解】∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∴∠EOB=∠AOB，∠FOB=∠BOC，又∵∠EOF=∠EOB+∠FOB=65°，∠AOC=∠AOB+BOC∴∠AOC=2（∠EOB+∠FOB）=130°故答案为130.【例52】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝90°；（2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数；（3）如图3，求∠EOF的度数．解：（1）∵OB，OC重合，∴∠AOB+∠COD＝180°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠COD．∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝∠AOB+∠COD＝（∠AOB+∠COD）＝×180°＝90°．故答案为：90°．（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB−∠BOC＝70°，∠BOD＝∠COD−∠BOC＝70°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC＝∠AOC＝35°，∠BOF＝∠BOD＝35°．∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝35°+20°+35°＝90°．（3）设∠BOC＝x°．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝x°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝（90+x）°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝（90+x）°．∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOC＝∠AOC＝（90+x）°，∠BOF＝∠BOD＝（90+x）°．∴∠EOF＝∠EOC+∠BOF−∠BOC＝（90+x）°+（90+x）°−x°＝90°．【例53】在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝136°；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系：∠NEF＝2∠AOG；②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）：OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．解：（1）过点C作CP∥DM，∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），∴DM∥x轴，∴CP∥DM∥x轴，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°．故答案为：136°．（2）①过点C作CQ∥x轴，∴CQ∥EM∥x轴，∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，∵∠NEC+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，∴∠NEC＝∠CEK，∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°﹣∠ACQ＝90°﹣∠AOG，∵∠CEK+∠NEC+∠NEF＝180°，∴2（90°﹣∠AOG）+∠NEF＝180°，整理得∠NEF＝2∠AOG．故答案为：∠NEF＝2∠AOG．②∠NEF+∠AOG＝90°．理由如下：∵CQ∥EM∥x轴，∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，∵∠NED+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，∴∠NED＝∠CEK，∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°．（3）当点P在GF上时，过点P作PH∥OG，∴PH∥OG∥DM，∴∠GOP＝∠OPH，∠PQF＝∠HPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF．当点P在线段GF的延长线上时，∴PR∥OG∥DM，∴∠GOP＝∠OPR，∠PQF＝∠QPR，∵∠OPR＝∠OPQ+∠QPR，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．故答案为：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．考点6余角和补角【例61】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（）A．∠BCD和∠ACF B．∠ACD和∠ACFC．∠ACB和∠DCB D．∠BCF和∠ACF【答案】A【提示】因为是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把选项中的角能转化成∠ACB+∠DCF即为正确答案.【详解】∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,∴选A【名师点拨】本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，若能即为正确答案.【例62】如果∠和∠互补，且∠>∠，则下列表示的式子：①90°∠②∠90°③（∠+∠）④（∠∠），其中，能表示∠的余角的是____________（填序号）.【答案】①②④【解析】根据∠和∠互补，可得∠+∠=180°，因此可知∠β=180°∠α，然后根据∠>∠，可知∠β＜90°，∠α＞90°，因此由互为余角的关系可得∠β的余角为90°∠β=90°（180°∠α）=∠α90°，而（∠+∠）=90°，（∠∠）=（∠180°+∠α）=∠α90°，所以能表示∠β的余角的是①②④.故答案为：①②④【例63】如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=