高等数学第二章课件

学习任务与目标熟练掌握导数的概念、导数的基本运算，会应用导数变化率的描述来理解在学习工程类课程中遇到的概念，能利用导数解决实际问题．掌握隐函数的导数、参数方程的导数的求法，二阶及高阶导数的物理意义，能用其解决工程类问题．理解微分的概念，会用微分作近似计算与估计．第一节：导数的概念两个引例导数的概念利用导数的定义求导数导数的几何意义函数的可导性与连续性的关系导数的概念12.1.1两个引例设物体作变速直线运动，位移

关于时间

的运动方程为

，试求物体在

时刻的瞬时速度

．引例1变速直线运动的瞬时速度导数的概念1解设物体从

点开始运动，经过时间

到达点

，所经过的路程

，即

，当时间

由

变到

时，物体由点变到点

，物体在这段时间内所经过的距离

，物体在

这段时间内所走过的路程为

在

这段时间内的平均速度为

导数的概念1显然在

这段时间内的平均速度不能确切描述在

时刻的速度，但是

越小时，平均速度

就越接近时刻

的速度，当

时，平均速度

的极限值就是物体在时刻的瞬时速度，即

平均速度

，称为路程

在

到

时间段内的平均变化率；而瞬时速度

，称为路程

在时间

时刻的瞬时变化率．导数的概念1引例2

曲线的切线斜率设函数

在点

处连续，曲线

在点

处有切线且斜率存在，求曲线

在点处的切线斜率，如图所示．导数的概念1解在曲线上另取一点

，设其坐标为．先求取割线斜率，设割线

的倾角为

，切线

的倾角为

，则割线

的斜率为

显然当

时，即点沿着曲线趋近于定点

时，割线

趋近于极限位置

（即切线

）．于是得到切线

的斜率为

导数的概念12.1.2导数的概念定义1设函数

在点

及其左右近旁有定义，给自变量

在点

处一个增量

，相应地会有函数增量当

时，若

的极限存在，则称此极限值为

在点

处的导数，并称函数

在点处可导，记作

，即

也可记为

，或

．1.导数的定义导数的概念1注：1）若式（2-1）的极限存在，则称函数在点

处可导；若极限不存在，则称函数

在点

处不可导（或导数不存在）．2）导数的定义式（2-1）还可以有下列两种形式：（1）令

，得

；（2）令，得

．导数的概念12.区间可导和导函数定义2如果函数

在区间

内每一点都可导，则称

在区间

内可导．即对

，都有导数值与之对应，而

是关于

的函数，则称

为函数

的导函数，简称导数，即

也可记作

，

，

．

表示

在任意点

处的导数．注：

是

的函数，而

是一个常数，

是导函数

在

处的函数值．2.1.3利用导数的定义求导数导数的概念1由导数的定义可知，求函数

的导数可按以下三个步骤进行：（1）求函数增量：

；（2）计算比值：

；（3）求极限：

．导数的概念1例2

求函数

的导数．例1

求函数

（

为常数）的导数．解因为为常数，所以

，

，

．即

解（1）求函数增量：

；（2）计算比值：

；（3）求极限：可得幂函数的导数公式：（

为任意实数）．函数和、差、积、商的求导法则2例3

求函数

的导数．解

即用同样的方法可以求出以上两个公式是正弦函数、余弦函数的导数公式．函数和、差、积、商的求导法则2例4

求函数

（

，

）的导数．解当

时，

与

是等价无穷小．可得指数函数的导数公式：特别地，当

时，有．解

得对数函数的导数公式：

．特别地，当

时，有

．例5

求

（，

）的导数．函数和、差、积、商的求导法则2注：求函数在某点处的导数时，一般先求出已给函数的导函数，然后再求导函数在该点处的函数值．函数和、差、积、商的求导法则2例6

求下列函数在指定点处的导数：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4）2.1.4导数的几何意义导数的概念1由引例2及导数的定义可知：函数

在点处的导数在几何上表示曲线

，以点

为切点的切线斜率，即

示．由直线的点斜式方程可以得到：（1）曲线

在点

处的切线方程为：

（2）曲线

在点处的法线方程为：．函数和、差、积、商的求导法则2例7求曲线在点处的切线方程和法线方程．解

因为

，于是曲线在点

处的切线斜率为从而，所求的切线方程为即

．所求法线的斜率为

，所求的法线方程为

．即

．函数和、差、积、商的求导法则2例8求曲线

上一点，使得过该点的切线与直线

平行．解设曲线

上点

处的切线与直线

平行，曲线

在

处的切线斜率为

而直线的斜率为

，根据两条直线平行的条件，有

，即

．将

代入曲线，得所以，曲线

在点

处的切线与直线

平行．导数的概念54.1.5函数的可导性与连续性的关系定理1如果函数

在点处可导，则函数

一定在点

处连续．例1

证明函数

在

处连续，但在

处不可导．证

（1）因为函数是基本初等函数，定义域为

，由基本初等函数在其定义域内每一点都连续的定理可知，函数

在

处连续．（2）因为

，显然，当

时，导数不存在．第二节：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则求导举例函数和、差、积、商的求导法则22.2.1函数和、差、积、商的求导法则法则1两个函数代数和的导数，等于各个函数导数的代数和，即可以推广到有限个函数的代数和的情形，即如果函数

，

在点

处可导，且

，

，则这两个函数的和、差、积、商在点

处也可导，且有函数和、差、积、商的求导法则2法则2两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即法则3两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，然后除以分母的平方，即推论

（

为常数）．推广到有限个函数的代数和的情形，即函数和、差、积、商的求导法则22.2.2求导举例例1

求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）（4）函数和、差、积、商的求导法则2例2

设函数

，求．解，即，这是正切函数的导数公式．函数和、差、积、商的求导法则2例3

设函数

，求

．解

即，这是正割函数的导数公式．余切函数和余割函数的导数公式，即

例4

设函数

，求．解

函数和、差、积、商的求导法则2例5

求下列函数在给定点处的导数：（1）

，，（2）

，，

．

即得公式

解（1）（2）第三节：

复合函数的求导法则反函数的求导复合函数的求导法则复合函数的求导法则32.3.1反函数的导数反函数的求导法则

若单调函数在

内可导，且

，其反函数

在对应区间内也可导，且、

或

．复合函数的求导法则3例1

求反正弦函数

的导数．解（）是（）的反函数，而在内单调增加、可导，且．所以在内的导数为

在

内，

．于是有，

．复合函数的求导法则3例2

求反正切函数

的导数．（解略，请仿照例1试求）类似可得，

．以上两个公式是反正弦函数、反余弦函数的导数公式．解复合函数的求导法则32.3.2复合函数的求导法则复合函数的求导法则

设

在点处可导，函数

在对应点

处可导，则复合函数

在处也可导，并且

或

．或记为复合函数的求导法则3本法则可推广到有限次复合的情形，如

，，

，则复合函数

的导数为

例3

设函数

，求．解

是由

，

复合而成的，因此

例4

设函数

，求

．解

是由

，

复合而成的，因此

复合函数的求导法则3例5

设函数

，求．解

是由

，

复合而成的，因此

例6

设函数

，求

．解

是由

，

复合而成的，因此

复合函数的求导法则3例7

设函数

，求．解

是由

，

复合而成的，因此

例8

设函数

，求

．解

是由

，

复合而成的，因此

复合函数的求导法则3例9

设函数

，求．例10

设函数

，求

．解

是由

，

复合而成的，因,所以

解

是由

，

复合而成的，因，所以

复合函数的求导法则3例11

设函数

，求．例12

设函数

，求

．解

解复合函数的求导法则3例13

设函数

，求．例14

设函数

，求

．解将分母有理化，得

，故

解因为

，所以复合函数的求导法则3例15

设函数

，求．例16

设函数

，求

．解解因为

，所以例17

设函数，求

．解复合函数的求导法则3第四节：初等函数的求导问题、高阶导数初等函数的求导问题高阶导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2.4.1初等函数的求导问题1.导数的基本公式初等函数的求导问题、高阶导数4（11）（12）（13）（14）（15）（16）初等函数的求导问题、高阶导数4（1）（2）（3）（4）2.导数的四则运算法则初等函数的求导问题、高阶导数4设

，，且和

都可导，则复合函数

的导数为

或

．3.复合函数的求导法则初等函数的求导问题、高阶导数42.4.2高阶导数若函数

的导数

仍是

的可导函数，则

的导数叫做函数

的二阶导数，记作

，

，或

．类似地，二阶导数

的导数叫做函数

的三阶导数，记为

；三阶导数的导数叫做函数

的四阶导数，记为

，…，

阶导数

的导数叫做函数

的阶导数，记作

，

，

或

．1.高阶导数的概念初等函数的求导问题、高阶导数4初等函数的求导问题、高阶导数4二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．相应地，函数

的导数

叫做函数

的一阶导数．初等函数的求导问题、高阶导数42.高阶导数的计算例1

设函数

，求．解例2

设函数

，求．解初等函数的求导问题、高阶导数4例3

设函数

，求．例4

设函数，求．解解初等函数的求导问题、高阶导数4例5

设函数，求．解依次类推类似地初等函数的求导问题、高阶导数4例6

设函数，求．解依次类推，可得初等函数的求导问题、高阶导数43.二阶导数的力学意义若物体作变速直线运动，其运动方程为

，则物体运动的速度为路程

对时间的导数，即．此时，若速度仍是时间

的函数，则速度

对时间的导数为

在力学中把它叫做运动物体在时刻

的加速度，记作．即由以上讨论得出二阶导数的力学意义：作变速直线运动的物体的加速度

是路程

对时间

的二阶导数．初等函数的求导问题、高阶导数4例7

设一物体的运动方程为

，求物体在时刻的速度和加速度．解物体在任意时刻

的速度和加速度分别为

所以

第五节：隐函数的导数和由方程确定的函数的导数隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数对数求导法隐函数的导数和由方程确定的函数的导数52.5.1隐函数的导数函数与自变量

的关系是用

来表示的，我们称

为显函数．由含

和

的方程

所确定的函数关系，称为隐函数．求隐函数的导数的方法：隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5（1）方程

的两边同时对自变量

求导；（2）遇到只含

的项直接求导；（3）遇到含

的项时，因为是

的函数，

的函数则是

的复合函数，所以利用导数基本公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则等对含

函数求导，再乘以

，即对

的导数；（4）解出，即为所求隐函数的导数．例1求隐函数

的导数．解

方程两边同时对

求导，得

解出，得

隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5例2求椭圆

在点

处的切线方程和法线方程．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5解

将方程两边同时对

求导，得由导数的几何意义可知，椭圆

在点

处的切线斜率和法线斜率分别为切线方程为法线方程为

2.5.2由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5计算由参数方程（）所确定的函数

关于的导数，在应用类问题中会经常遇到，如何计算参数方程的导数

呢？我们根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，将

视为中间变量，得到参数方程的求导法则：

解因为

所以

例3

求由椭圆

所确定的函数

的导数．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5例4

求摆线

在时曲线上的点的切线方程．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5解当时，摆线上的点为

．斜率为

点

处的斜率为

．故摆线在点

处的切线方程为即

．2.5.3对数求导法形如

（

）的函数叫做幂指函数，其中

，

是可导函数．当要求导的函数是幂指函数或乘法、除法、幂运算多的复杂函数时，可以考虑用对数求导法，具体步骤为：（1）对等式两边同时取以

为底的对数，并化简；（2）利用隐函数求导法则求其导数．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5例5

求

（

）的导数．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5解（1）；（2）根据隐函数求导法则，两边同时对

求导，得例6

求函数

的导数．隐函数的导数和由方程确定的函数的导数5解（1）将等式两边取自然对数得

（2）根据隐函数求导法则，两边同时对

求导，得

第六节：函数的微分及应用微分的概念微分的几何意义微分的运算微分在近似计算中的应用函数的微分及应用62.6.1微分的概念定义1如果函数

在点

具有导数

，则称

为

在点

的微分，记作

，即

．通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作

，即

．则函数在点

处的微分可写成

当函数

在点处有微分时，称函数

在点

处可微．函数的微分及应用6一般地，函数

在区间

内任意点

的微分称为函数的微分，记作

，即

由

，得

．由此可见，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．因此，导数也称微商．2.6.2微分的几何意义如图所示，点

和

是曲线

上邻近的两点．

为曲线在点处的切线，其倾斜角为

．容易得到

，这就是说函数

在点

处的微分，在几何上表示曲线

在点

处切线

的纵坐标的增量

．函数的微分及应用6在图中，

表示

与

之差，当

很小时，

与相比是微不足道的，因此，可用

近似代替

．这就是说，当很小时，有

．2.6.3微分的运算1.微分的基本公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）函数的微分及应用6（13）（9）（11）（15）（12）（14）（10）（16）函数的微分及应用6函数的微分及应用62.函数的和、差、积、商的微分法则设

，

都是

的可微函数，

为常数，则（1）

（2）

（3）

（4）

（

）．这里给出乘积的微分法则的证明．根据微分的定义，有函数的微分及应用63.微分形式的不变性由微分的定义知，当

是自变量时，函数

的微分是如果

不是自变量，而是

的可微函数

，那么对于复合函数

，根据微分的定义和复合函数的求导法则，有

其中

，所以上式仍可写成由此可见，不论

是自变量还是中间变量，函数

的微分总是同一个形式：

，此性质称为微分形式的不变性．例1设函数

，求

．函数的微分及应用6解方法1：直接应用微分公式

计算，则有

方法2：把

看成中间变量

，则有

例2求函数

的微分

．解函数的微分及应用6例3设函数

的微分

．解方法1：

方法2：

函数的微分及应用6例4将适当的函数填入下列括号内，使等式成立．（1）d（

）；

（2）d（

）；（3）d（

）