新教材2023年秋高中数学章末综合测评1数列新人教A版选择性必修第二册

章末综合测评(一)数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n-1，A．第10项 B．第11项C．第12项 D．第21项2．已知数列{an}，an＝2n＋1，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)在下列________函数的图象上()ABCD3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列第6项a6＝()A．6 B．8C．12 D．164．在等比数列{an}中，已知a4a7＝8，a2a5a6＝24，则a2＝()A．6 B．4C．3 D．25．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为()A．200 B．162C．144 D．1286．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n24＋7n4 BC．n22＋3n4 D．7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an-1，an>1，1an，A．2－1 B．2C．2＋1 D．28．数列{an}是正项等比数列，满足anan＋1＝4n，则数列1log2an·log2anA．4n2nC．n2n+二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为()A．8 B．12C．－8 D．－1210．满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为()A．an＝1n B．an＝n2＋C．an＝1－2n D．an＝2n＋111．在等差数列{an}中，a66<0，a67>0，且a67>|a66|，Sn为数列{an}的前n项和，则()A．公差d<0B．a66＋a67<0C．S131<0D．使Sn>0的n的最小值为13212．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn＝3n+39A．2 B．3C．4 D．14三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．若等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n-1＋t(其中m，t是常数)，则mt＝________14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．15．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．16．如图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯．在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则数列{an}的一个通项公式为__________．四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2018；(3)2022是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？18．(本小题满分12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2．20．(本小题满分12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4．(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．21．(本小题满分12分)(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3．已知a1，3a2，9(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜Sn22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．章末综合测评(一)1．B[观察可知项公式为an＝2n-1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选2．C[由等差数列的求和公式可得Sn＝na1+an2＝n3所以点(n，Sn)在函数y＝x2＋2x上．]3．B[因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得2a6＝a4＋a8＝16，所以a6＝8．故选B．]4．C[由题设可得a12q9=8a13q9=24⇒a5．B[偶数项分别为2，8，18，32，50，即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，即偶数项对应的通项公式为a2n＝2n2，则数列的第18项为第9个偶数，即a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162．]6．A[设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝12．∴an＝2＋(n－1)×12＝12n＋32．∴Sn＝n2+12n+37．C[因为a1＝2，an＋1＝an-1，an>所以a2＝a1－1＝2－1，a3＝1a2＝12-1＝2＋1，a4＝a3－1＝2，a5＝a4－1a6＝1a5＝2＋1，…所以数列{an}的周期为因为2022＝3×674，所以a2022＝a3＝2＋1．]8．A[数列{an}是正项等比数列，公比设为q(q>0)，由anan＋1＝4n，可得a1a2＝a12q＝4，a2a3＝a12q3＝16，解得a1＝2，q＝2，则an＝a1qn-1＝2·2n则1log2＝1n-＝212则Tn＝21＝21-12n+1＝9．AC[∵a7a5＝164＝q2⇒q＝±2，当q＝2时，a6＝a5q＝4×当q＝－2时，a6＝a5q＝4×(－2)＝－8，故选AC．]10．BD[根据题意，依次分析选项：对于A，an＝1n，a1＝1，a2＝12，不是递增数列，不符合题意；对于B，an＝n2＋n，an－an－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n>0，是递增数列，符合题意；对于C，an＝1－2n，an－an－1＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2，不是递增数列，不符合题意；对于D，an＝2n＋1，函数y＝2x＋1为递增函数，则an＝2n＋111．CD[因为a66<0，a67>0，且a67>|a66|，所以d>0，a67>－a66，即a67＋a66>0，所以S132＝66(a1＋a132)＝66(a66＋a67)>0，S131＝131a1+a1312所以使Sn>0的n的最小值为132．]12．ACD[由题意可得S2n-1T2n-1＝2n-1a1+a2由于anbn为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．]13．－4[Sn＝m·4n-1＋t＝14·m·4n＋t，因为{an}为等比数列，∴t＝－14m，∴mt＝－14．429[设第n天织布的尺数为an，可知数列an为等差数列，设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则a1＝5，an＝1，Sn则Sn＝na1+an2＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d15．25[法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝a4-a14-1＝1--23＝1，所以S10＝10×16．an＝8n-17[根据题中图形可知，a1＝1，an＋1－an当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋8＋82＋…＋8n-1＝8n-17．解:(1)因为等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66．所以2解得a1＝2，d＝4，所以an＝4n－2．(2)由(1)可得a2018＝8070．(3)令an＝4n－2＝2022，所以n＝506，所以2022是数列{an}中的第506项．18．解:(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比为－2．(2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n-1．所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n-1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n-1＋n×(－2)n．可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n×(－2)n＝1--2n3－n×所以Sn＝19－319．解:(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，所以等式成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝k(k＋1)2＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)(2)知等式对任意的n∈N*均成立．20．解:(1)[证明]由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2．又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n-1，an－bn＝2所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋nbn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n21．解:(1)设{an}的公比为q，则an＝qn-1．因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝13故an＝13n-1，b(2)证明:由(1)知Sn＝1-13Tn＝13＋232＋333＋…13Tn＝132＋233＋334＋…①－②得23Tn＝13＋132＋133＋即23Tn＝131-13n整理得Tn＝34－2则2Tn－Sn＝234-2n