初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编-几何图形问题1(附答案)

初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——几何图形问题1（附答案）1．如图，直线，∠1的度数比∠2的度数大56°，若设，，则可得到的方程组为（）A． B． C． D．2．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（）A． B． C． D．3．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边BD的长是（）A． B． C． D．4．已知直线，交于，交于，若的度数比的2倍多，设和的度数分别为、，则下列正确的方程组为（）A． B． C． D．5．用如图1的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，那么m+n的值可能是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD的面积是（）A．36 B．25 C．20 D．167．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（）A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．675cm28．如下图，在长方形ABCD中，放入六个形状相同的长方形，所标尺寸如图，图中阴影部分面积()A．36cm2 B．96cm2 C．44cm2 D．84cm29．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是()A． B． C． D．10．在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为（）A．38cm2 B．42cm2 C．40cm2 D．44cm211．如图，已知的面积是，若分别是的边上的中线，则四边形的面积为___________．12．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是______m.13．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______.14．一副三角板如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设，则可得关于x,y的方程组为_____．15．如果和的两边分别平行，比的三倍少24°，则的度数是______.16．在方程y＝kx+b中，当x＝﹣2时，y＝3，当x＝1时，y＝0，那么k＝_____，b＝_____．17．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2019根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么能连续搭建正三角形的个数是________．18．已知梯形的上底比下底小2，梯形的高为3，面积为9．设上底为x，下底为y，则可列出二元一次方程组_____．19．已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)(1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:______________(2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为：，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________20．综合与探究：如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E(0，2)，直线AC与x轴交于点H．(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；(2)如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F(点F在第一象限)．设点G的横坐标为m．①点G的纵坐标用含m的代数式表示为；②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．21．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①：，整理得②：，我们可以找到方程的正整数解为③：．结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④个正方形和⑤个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．23．如图所示一个正方体的表面展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面．已知正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．24．如图所示，3×3的方格中每个方格内均有一个单项式(图中只列出了部分单项式)，方格中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个单项式的和均相等．求a的值．25．正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为；（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．试确定m，n的值．26．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标是（－a，a），点B的坐标是（c，b），满足．（1）若x=2是3x－a<0的一个解，试判断点A在第几象限，并说明理由；（2）若△AOB的面积是4，求点B的坐标；（3）若两个动点E(e，2e+1)、F(f，－2f+3)，请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF∥AB，且EF=AB．若存在，求出E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】根据∠1与∠2互补，且∠1的度数比∠2的度数大56°列方程组即可.【详解】∵，∴∠1+∠2=180°，即x+y=180.∵∠1的度数比∠2的度数大56°,∴∠1=∠2+56°，即x=y+56°.∴.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，二元一次方程组的应用，找出列方程组所需的等量关系是解答本题的关键.2．A【解析】【分析】设每一个小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的宽为15及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由，建立方程组，求解即可得出，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，∵，，∴解得：，故在中，根据勾股定理得：，∴.故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a，b的代数式表示CD和BC是解决此题的关键.4．B【解析】∵AB//CD，∴∠BGH+∠GHD=180°，∵的度数比的2倍多，∴∠BGH=2∠GHD+10°，由题意则有；故选B.点睛：本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，能熟练地运用平行线在性质是解题的关键.5．C【解析】【分析】设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n，由结果进行判断即可.【详解】解：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，由题意得，，两个方程相加，得m+n=5x+5y=5(x+y)，即m+n的和是5的整数倍，故选C.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，弄清图形的特征，正确列出方程组，注意实际问题取整数解.6．D【解析】【分析】设小长方形的长和宽分别为x、y，可表示出大长方形的长和宽分别为2x、2y，由题意可得中间小正方形边长为1，观察图形可得x－y=1，正方形ABCD的边长为2x+2y或2y+x+y+2y，于是可得方程组，进一步即可求得结果.【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x、y，则大长方形的长和宽分别为2x、2y，因为中间小正方形的面积为1，所以其边长为1，观察图形可得x－y=1，正方形ABCD的边长为2x+2y或2y+x+y+2y，，于是得方程组，解得.于是正方形ABCD的边长为2x+2y=4，其面积是16.故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，认真观察图形，弄清图形的特征，从不同的角度表示出正方形ABCD的边长，进而列出方程组是解题的关键.7．D【解析】试题分析：设小长方形的宽为xcm，则长为3xcm，根据图示列式为x+3x=60cm，解得x=15cm，因此小长方形的面积为15×15×3=675cm2.故选D.点睛：此题主要考查了读图识图能力的，解题时要认真读图，从中发现小长方形的长和宽的关系，然后根据关系列方程解答即可.8．C【解析】【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长＋3个宽＝14；②2个宽＋6＝1个长＋1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可．【详解】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：，解得：，∴阴影部分的面积为：（6＋4）×14−2×8×6＝44（cm2），故选：C．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．9．B【解析】【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，矩的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【详解】解：根据图示可得，故选B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．10．D【解析】【分析】首先设长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得等量关系：①1个长+3个宽=14；②2个宽+6=1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可．【详解】设长方形的长为xcm,宽为ycm,由题意得：，解得：，阴影部分的面积为：(6+4)×14−2×8×6=44(cm2)，故选：D.【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程.11．20【解析】【分析】根据三角形的中线能把三角形的面积平分，设的面积分别为x、y，列二元一次方程即可.【详解】连接OA，设的面积分别为x、y.∵分别是的边上的中线，∴且故可列方程，解得，∴四边形的面积为x+y=20,故答案为：20.【点睛】此题考查三角形的中线，解题关键在于建立相应的二元一次方程组.12．12【解析】【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，列出方程组解之即可求得答案．【详解】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，由题意得，解得，所以其中一个小长方形花圃的周长是.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：数形结合，弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．本题也可以让列出的两个方程相加，得3（x+y）=18，于是x+y=6，所以周长即为2（x+y）=12，问题得解.这种思路用了整体的数学思想，显得较为简捷.13．s=3(n-1)【解析】【分析】根据图片可知：第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2-3；第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3-3；第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4-3；…由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s=3n-3．【详解】根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．所以s=3n-3=3（n﹣1）．故答案为3（n﹣1）【点睛】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．14．【解析】【分析】此题中的等量关系有：①三角板中最大的角是90°，从图中可看出∠1+∠2+90°=180°；②∠1比∠2的度数大50°，则∠1-∠2=50°.【详解】根据平角和直角定义，得方程x+y=90，根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x-y=50，可列方程组为，故答案为.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系，准确列出二元一次方程组是解题的关键.15．12或129．【解析】【分析】根据题意可知，∠α+∠β=180°，∠α=3∠β-24°，或∠α=∠β，∠α=3∠β-24°，将其组成方程组即可求得．【详解】根据题意得：当∠α+∠β=180°，∠α=3∠β-24°，解得：∠α=129°；当∠α=∠β，∠α=3∠β-24°，解得：∠α=12°；故∠α的度数是129°或12°.故答案为129或12.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.16．﹣11【解析】【分析】由题目中给出的条件，可得到关于k，b的方程组，解方程组即可．【详解】解：将x＝﹣2，y＝3和x＝1，y＝0分别代入方程y＝kx+b中得方程组：，∴k＝﹣1，b＝1．故答案为：﹣1；1．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，先将x，y的值代入方程中得到关于k，b的方程组，然后便可求出k，b的值．17．286【解析】【分析】设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六边形共用了2019根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数少3个，列方程组求解.【详解】设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，由题意，得，解得：．故答案为：286．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解．18．【解析】【分析】根据等量关系：①梯形的上底比下底小2；②梯形的面积为9，列出方程组即可.【详解】解：根据梯形的上底比下底小2，得方程x+2=y；

根据梯形的面积为9，得方程为,即3（x+y）=18．所以方程组为：.故答案是：.【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．19．36.5【解析】【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.【详解】(1)设A的边长为x，B的边长为y，则①+②得：2x=11x=5.5即A和B的面积之和为36.5.（2）解得：x=,y=A、B面积之和==(3)=由题意得：解得：【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.20．(1)C(6，2)；抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2；(2)①﹣m+4；②四边形ABCF是正方形，理由见解析；③点N坐标为(，)或(，)或(10，4)．【解析】【分析】（1）由线段AB旋转90°得BC与CD⊥x轴可证得△BDC≌△AOB，故有BD=OA=4，CD=OB=2，求得点C坐标，进而由点E、C坐标用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）①由点A、C坐标用待定系数法求直线AC解析式，把点G横坐标m代入即得到用m表示点G纵坐标．②由AB=BC与BG⊥AC可得AG=CG，即点G为AC中点，根据中点坐标公式可求点G坐标，进而求直线BG解析式．联立直线BG与抛物线解析式解方程组即求得点F坐标．过点F作PF⊥y轴于点P，延长DC交PF于点Q，根据勾股定理求得AB=BC=CF=AF=2，判断四边形ABCF是菱形．再由∠ABC=90°即证得菱形ABCF为正方形．③由直线AC解析式求其与x轴交点H的坐标，用两点间距离公式求CF、CH的长．设点N坐标为（s，t），用s、t的式子表示FN2、NH2．分类讨论：若△FHC≌△FHN，则FN=FC，NH=CH，列得关于s、t的方程组，求解即得到点N坐标；若△FHC≌△HFN，则FN=CH，NH=FC，同理可求得点N坐标．【详解】解：(1)∵OA＝4，OB＝2，∴A(0，4)，B(2，0)，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠DBC＝∠OAB，∵CD⊥x轴于点D，∴∠BDC＝∠AOB＝90°，在△BDC与△AOB中，，∴△BDC≌△AOB(AAS)，∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，∴OD＝OB+BD＝6，∴C(6，2)，∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E(0，2)，∴解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+2.(2)①∵A(0，4)，∴设直线AC解析式为y＝kx+4，把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣，∴直线AC：y＝﹣x+4，∵点G在直线AC上，横坐标为m，∴yG＝﹣m+4，故答案为：﹣m+4．②∵AB＝BC，BG⊥AC，∴AG＝CG，即G为AC中点，∴G(3，3)，设直线BG解析式为y＝gx+b，∴，解得：，∴直线BG：y＝3x﹣6，∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限，∴解得：(舍去)，∴F(4，6)；判断四边形ABCF是正方形，理由如下：如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q，，∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6，∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4，∴AF＝，FC＝，∵BC＝AB＝，∴AB＝BC＝CF＝AF，∴四边形ABCF是菱形，∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCF是正方形.③∵直线AC：y＝﹣x+4与x轴交于点H，∴﹣x+4＝0，解得：x＝12，∴H(12，0)，∴FC2＝(6﹣4)2+(2﹣6)2＝20，CH2＝(12﹣6)2+(0﹣2)2＝40，设点N坐标为(s，t)，∴FN2＝(s﹣4)2+(t﹣6)2，NH2＝(s﹣12)2+(t﹣0)2，如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，，∴解得：(即点C)，∴N，如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，∴，解得：，∴N，综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为(，)或．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组和一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，两点间距离公式，菱形、正方形的判定．其中对全等三角形存在性的分类讨论，要先确定对应边，再对另外两边进行分类讨论对应关系．21．猜想1：①：；②2x+3y=8；③；猜想2：能．见解析.【解析】【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．【详解】解：猜想1：①：y＝360，整理，得②2x+3y=8，整数解为③：故答案为：；结论1：④1

⑤2故答案为1，2；猜想2：能．设围绕某一个点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程60x+y＝360，整理得x+2y=6所以，即2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形．【点睛】本题考查二元一次方程，解题关键在于熟练掌握计算法则.22．（1）S=3，N=1，L=6；（2）S=100．【解析】试题分析：（1）理解题意，观察图形，即可求得结论；（2）根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S．试题解析：（1）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；