基本初等函数专项训练(含答案)经典题

一、简答题1、设．〔1〕判断函数的奇偶性；〔2〕求函数的定义域和值域．2、设函数〔Ⅰ〕讨论的单调性；〔Ⅱ〕求在区间的最大值和最小值．3、函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)假设x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2023年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)假设第x月的销售量g(x)＝(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润到达最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)6、函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a为常数)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)假设建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的根本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)假设该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．8、函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假设方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,);(Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:.9、命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．假设p∨q是真命题，求实数a的取值范围．二、选择题10、函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，那么〔〕A．B．C．D．11、函数是〔〕A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数12、曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.13、函数的单调增区间为A、RB、C、D、14、，假设恒成立，那么的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕15、函数其中表示不超过的最大整数，〔如,,〕.假设直线与函数的图象恰有三个不同的交点，那么实数的取值范围是A．B．C．D．16、，，，那么A.B.C.D.17、函数f〔x〕=，假设a，b，c互不相等，且f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕，那么a+b+c的取值范围为〔〕A．〔〕B．〔〕C．〔，12〕D．〔6，l2〕18、以下函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是A.B.C.D.19、，，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕函数的局部图象为〔〕ABCD21、函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，假设函数的图像上存在区域内的点，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.22、．我们把使乘积为整数的数n叫做“优数〞，那么在区间(1,2004)内的所有优数的和为()A．1024B．2003C．2026D．204823、假设直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，那么点〔A,B〕是函数的一个“姊妹点对〞。点对〔A,B〕与〔B,A〕可看作是同一个“姊妹点对〞，函数，那么的“姊妹点对〞有〔〕A.0个B.1个C.2个D.3个24、函数的图象大致是〔〕25、函数，假设a，b，c互不相等，且，那么的取值范围为〔〕A．B．C．D．26、集合，那么()B.27、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)28、设，那么〔〕A．B．2C．3D．429、函数与在同一坐标系中的图像大致是〔〕30、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}三、填空题31、设曲线在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，那么的值为.32、直线y=kx是y=1nx－3的切线，那么k的值为____．33、设函数的图象关于点〔1，0〕中心对称，那么a的值为_______34、函数f(x)＝f(x)＝x的根从小到大构成数列{an}，那么a2012＝________.35、函数f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋，当x∈[0，ln3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，那么a＝________.36、设a＝20110.1，b＝，那么a，b，c的大小关系是________．37、函数，那么_______________.38、y＝x2ex的单调递增区间是________．39、，，，那么集合中元素有个。40、函数f(x)＝lnx＋的定义域为．参考答案一、简答题1、〔1〕奇函数；〔2〕定义域，Z}，值域R．2、解析：的定义域为．〔Ⅰ〕．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．……6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．……12分3、解(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因为－2≤x≤－1，所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为≤，所以a≥.(4分)(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，那么|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝①假设a≥－，那么x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；(12分)②假设a＜－，那么x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.(14分)③假设－≤a＜－，那么x∈[2,4]时，g(x)＝当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，所以g(x)最小值为4a＋5，综上所述，[g(x)]min＝4、可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.(13分)由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．(14分)5、解(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)(2)设月利润为h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6＜x＜7时，h′(x)＜0，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12090，(11分)∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2987.综上，预计该商场第6个月的月利润到达最大，最大月利润约为12090元．(14分)6、解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－lnx，那么f′(x)＝2x＋1－，(2分)所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，即：y＝2x.(6分)(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝(x＞0)，由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分)①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分)②当a＝时，f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)③当＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，(13分)④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)7、解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的根本要求，函数y＝f(x)满足：当x∈[10,1000]时，①f(x)在定义域[10,1000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤恒成立．(2分)对于函数模型f(x)＝＋2.当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，(3分)f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2＜9.所以f(x)≤9恒成立．但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(6分)(2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，当3a＋20＞0，即a＞－时递增；(8分)要使f(x)≤9对x∈[10,1000]恒成立，即f(1000)≤9,3a＋18≥1000，a≥；(10分)要使f(x)≤对x∈[10,1000]恒成立，即，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分)8、解(Ⅰ),,.∴,且.解得a=2,b=1.(Ⅱ),令,那么,令,得x=1(x=-1舍去).在内,当x∈时,,∴h(x)是增函数;当x∈时,,∴h(x)是减函数.那么方程在内有两个不等实根的充要条件是即.9、解：∵命题p：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴0<a