一轮复习-三角函数

第一页第二页，共361页。第二页第三页，共361页。[备考方向要明了]考

什

么怎

么

考1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进

行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1.三角函数的定义与三

角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问

题，如2008年高考T15等.第三页第四页，共361页。[归纳知识整合]1．角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为

、

和_____从终边位置来看可分为

和轴线角α与β角的终边相同β＝

_________________(或β＝α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°(k∈Z)[探究]

1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同．第四页第五页，共361页。2．弧度的概念与公式分类定义(公式)1弧度的角把长度等于

长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角度与弧度的换算①1°＝

rad

②1rad＝_____弧长公式弧长l＝____扇形的面积公式S＝

＝_______半径|α|r在半径为r的圆中第五页第六页，共361页。[探究]

2.锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角．第六页第七页，共361页。3．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

叫做α的正弦，记作sinα

叫做α的余弦，记作cosα

叫做α的正切，记作tanα

各象限符号Ⅰ_________Ⅱ_________yx正正正负正负第七页第八页，共361页。三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅲ___

______

Ⅳ_________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段

____为正弦线有向线段____为余弦线有向线段____

为正切线负负正负正负MPOMAT第八页第九页，共361页。[探究]

3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．第九页第十页，共361页。[自测牛刀小试]答案：{α|α＝k·360°＋45°(k∈Z)}第十页第十一页，共361页。2．(教材习题改编)若角θ同时满足sinθ＜0且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sinθ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．答案：四第十一页第十二页，共361页。3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆

心角的弧度数是________．答案：1或4第十二页第十三页，共361页。第十三页第十四页，共361页。第十四页第十五页，共361页。象限角及终边相同的角第十五页第十六页，共361页。第十六页第十七页，共361页。第十七页第十八页，共361页。第十八页第十九页，共361页。第十九页第二十页，共361页。第二十页第二十一页，共361页。答案：(1)－1

(2)二第二十一页第二十二页，共361页。三角函数的定义第二十二页第二十三页，共361页。第二十三页第二十四页，共361页。第二十四页第二十五页，共361页。2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，

tanα的值．第二十五页第二十六页，共361页。第二十六页第二十七页，共361页。弧度制下扇形弧长与面积公式的应用第二十七页第二十八页，共361页。第二十八页第二十九页，共361页。第二十九页第三十页，共361页。第三十页第三十一页，共361页。第三十一页第三十二页，共361页。第三十二页第三十三页，共361页。第三十三页第三十四页，共361页。第三十四页第三十五页，共361页。第三十五页第三十六页，共361页。创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题

三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大．第三十六页第三十七页，共361页。[典例]

(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为______．第三十七页第三十八页，共361页。[答案]

(2－sin2,1－cos2)第三十八页第三十九页，共361页。第三十九页第四十页，共361页。第四十页第四十一页，共361页。第四十一页第四十二页，共361页。答案：③第四十二页第四十三页，共361页。第四十三页第四十四页，共361页。第四十四页第四十五页，共361页。第四十五页第四十六页，共361页。第四十六页第四十七页，共361页。第四十七页第四十八页，共361页。第四十八页第四十九页，共361页。第四十九页第五十页，共361页。第五十页第五十一页，共361页。[备考方向要明了]1.利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值．2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用，如2012年高考T15,2011年高考T15.考什么

怎么考第五十一页第五十二页，共361页。[归纳知识整合]sin2α＋cos2α[探究]

1.如何理解基本关系中“同角”的含义？第五十二页第五十三页，共361页。2．诱导公式sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα第五十三页第五十四页，共361页。锐角

[探究]

2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？

提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.第五十四页第五十五页，共361页。3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？第五十五页第五十六页，共361页。[自测牛刀小试]第五十六页第五十七页，共361页。第五十七页第五十八页，共361页。第五十八页第五十九页，共361页。第五十九页第六十页，共361页。同角三角函数关系式的应用第六十页第六十一页，共361页。第六十一页第六十二页，共361页。第六十二页第六十三页，共361页。第六十三页第六十四页，共361页。第六十四页第六十五页，共361页。第六十五页第六十六页，共361页。1．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解：∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得，9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得，sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，第六十六页第六十七页，共361页。诱导公式的应用第六十七页第六十八页，共361页。第六十八页第六十九页，共361页。第六十九页第七十页，共361页。第七十页第七十一页，共361页。第七十一页第七十二页，共361页。第七十二页第七十三页，共361页。诱导公式在三角形中的应用第七十三页第七十四页，共361页。第七十四页第七十五页，共361页。第七十五页第七十六页，共361页。第七十六页第七十七页，共361页。第七十七页第七十八页，共361页。第七十八页第七十九页，共361页。(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

第七十九页第八十页，共361页。第八十页第八十一页，共361页。1．解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致误；(2)只注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误．2．由同角三角函数的平方关系求sinα或cosα时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉．(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去．第八十一页第八十二页，共361页。第八十二页第八十三页，共361页。第八十三页第八十四页，共361页。第八十四页第八十五页，共361页。第八十五页第八十六页，共361页。第八十六页第八十七页，共361页。3．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin

(－1050)°＋tan945°.第八十七页第八十八页，共361页。4．若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．第八十八页第八十九页，共361页。第八十九页第九十页，共361页。[备考方向要明了]考

什

么怎

么

考1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝

tanx的图象，了解三角函数的周

期性．1.填空题的形式考查三

角函数的单调性、周

期性、对称性以及最

值，如2010年高考

T10,2008年高考T1.2.常与三角恒等变换相

结合出现在解答题中.第九十页第九十一页，共361页。[归纳知识整合]函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质第九十一页第九十二页，共361页。函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域值域单调性递增区间：递减区间：递增区间：

递减区间：递增区间：R[－1,1]R[2kπ－π，2kπ]

(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)R[－1,1]第九十二页第九十三页，共361页。2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)奇函数偶函数奇函数第九十三页第九十四页，共361页。(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z2ππ第九十四页第九十五页，共361页。[探究]

1.正切函数y＝tanx在定义域内是增函数吗？2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？第九十五页第九十六页，共361页。[自测牛刀小试]答案：π

偶第九十六页第九十七页，共361页。第九十七页第九十八页，共361页。第九十八页第九十九页，共361页。答案：

4π第九十九页第一百页，共361页。第一百页第一百零一页，共361页。三角函数的定义域和值域第一百零一页第一百零二页，共361页。第一百零二页第一百零三页，共361页。第一百零三页第一百零四页，共361页。第一百零四页第一百零五页，共361页。第一百零五页第一百零六页，共361页。第一百零六页第一百零七页，共361页。第一百零七页第一百零八页，共361页。第一百零八页第一百零九页，共361页。三角函数的单调性第一百零九页第一百一十页，共361页。第一百一十页第一百一十一页，共361页。第一百一十一页第一百一十二页，共361页。第一百一十二页第一百一十三页，共361页。—————————————————1．正弦、余弦函数单调区间的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：(1)把“ωx＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；(2)A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．第一百一十三页第一百一十四页，共361页。——————————————————————第一百一十四页第一百一十五页，共361页。第一百一十五页第一百一十六页，共361页。第一百一十六页第一百一十七页，共361页。三角函数的周期性、奇偶性与对称性第一百一十七页第一百一十八页，共361页。第一百一十八页第一百一十九页，共361页。第一百一十九页第一百二十页，共361页。本例(1)中函数f(x)的对称中心是什么？第一百二十页第一百二十一页，共361页。函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数、周期性及对称性

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．第一百二十一页第一百二十二页，共361页。第一百二十二页第一百二十三页，共361页。第一百二十三页第一百二十四页，共361页。第一百二十四页第一百二十五页，共361页。(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象．第一百二十五页第一百二十六页，共361页。(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负．(4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.第一百二十六页第一百二十七页，共361页。创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题

1．高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题．

2．解决此类交汇问题的关键有以下两点：

(1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论．

(2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题．第一百二十七页第一百二十八页，共361页。[答案]

86第一百二十八页第一百二十九页，共361页。第一百二十九页第一百三十页，共361页。第一百三十页第一百三十一页，共361页。答案：

2π第一百三十一页第一百三十二页，共361页。第一百三十二页第一百三十三页，共361页。第一百三十三页第一百三十四页，共361页。第一百三十四页第一百三十五页，共361页。第一百三十五页第一百三十六页，共361页。第一百三十六页第一百三十七页，共361页。第一百三十七页第一百三十八页，共361页。第一百三十八页第一百三十九页，共361页。第一百三十九页第一百四十页，共361页。第一百四十页第一百四十一页，共361页。第一百四十一页第一百四十二页，共361页。[备考方向要明了]考

什

么1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的

物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参

数A，ω，φ对函数图象变化

的影响．2.了解三角函数是描述周期变

化现象的重要函数模型，会

用三角函数解决一些简单实

际问题.1.以填空题的形式考查三角函

数的图象变换及由图象确定

解析式等问题，如2009年高

考T3,2011年高考T9.2.与三角恒等变换相结合考查y

＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用且常以解答题的形式出现.怎

么

考第一百四十二页第一百四十三页，共361页。[归纳知识整合]1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念ωx＋φ第一百四十三页第一百四十四页，共361页。2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：002π第一百四十四页第一百四十五页，共361页。第一百四十五页第一百四十六页，共361页。3．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二第一百四十六页第一百四十七页，共361页。[探究]

2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？第一百四十七页第一百四十八页，共361页。[自测牛刀小试]第一百四十八页第一百四十九页，共361页。第一百四十九页第一百五十页，共361页。第一百五十页第一百五十一页，共361页。第一百五十一页第一百五十二页，共361页。5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝_____.第一百五十二页第一百五十三页，共361页。函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换第一百五十三页第一百五十四页，共361页。第一百五十四页第一百五十五页，共361页。第一百五十五页第一百五十六页，共361页。第一百五十六页第一百五十七页，共361页。若将本例(3)中“y＝sinx”改为“y＝2cos2x”，则如何变换？第一百五十七页第一百五十八页，共361页。第一百五十八页第一百五十九页，共361页。第一百五十九页第一百六十页，共361页。第一百六十页第一百六十一页，共361页。第一百六十一页第一百六十二页，共361页。求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式图(1)图(2)第一百六十二页第一百六十三页，共361页。第一百六十三页第一百六十四页，共361页。第一百六十四页第一百六十五页，共361页。—————————————————第一百六十五页第一百六十六页，共361页。第一百六十六页第一百六十七页，共361页。2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω

＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为_______.第一百六十七页第一百六十八页，共361页。第一百六十八页第一百六十九页，共361页。函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用第一百六十九页第一百七十页，共361页。第一百七十页第一百七十一页，共361页。第一百七十一页第一百七十二页，共361页。第一百七十二页第一百七十三页，共361页。第一百七十三页第一百七十四页，共361页。第一百七十四页第一百七十五页，共361页。第一百七十五页第一百七十六页，共361页。第一百七十六页第一百七十七页，共361页。第一百七十七页第一百七十八页，共361页。答题模板——由三角函数图象确定解析式

第一百七十八页第一百七十九页，共361页。第一百七十九页第一百八十页，共361页。第一百八十页第一百八十一页，共361页。第一百八十一页第一百八十二页，共361页。第一百八十二页第一百八十三页，共361页。第一百八十三页第一百八十四页，共361页。

[准确规范答题]第一百八十四页第一百八十五页，共361页。第一百八十五页第一百八十六页，共361页。[答题模板速成]第一步观察图象根据图象确定五点作图中的第一个平衡点、第二个平衡点的坐标或图象的最高点、最低点⇒第二步明确方向将“ωx＋φ”作为一个整体，找到对应的值(通常利用周期求ω，利用图象的某一个点(通常选取平衡点)确定φ)⇒第三步给出证明

列方程组求解(求φ时，往往要利用φ的范围)

第四步写解析式

写出所求的函数解析式

⇒第五步反思回顾

第一百八十六页第一百八十七页，共361页。第一百八十七页第一百八十八页，共361页。答案：－1第一百八十八页第一百八十九页，共361页。第一百八十九页第一百九十页，共361页。第一百九十页第一百九十一页，共361页。(2)列出下表第一百九十一页第一百九十二页，共361页。描点画出图象如图．第一百九十二页第一百九十三页，共361页。第一百九十三页第一百九十四页，共361页。(1)求其解析式；(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位后得y＝f(x)的图象，求f(x)的对称轴方程．第一百九十四页第一百九十五页，共361页。第一百九十五页第一百九十六页，共361页。第一百九十六页第一百九十七页，共361页。[备考方向要明了]考

什

么怎

么

考1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.主要考查利用两

角和与差的正弦、

余弦、正切公式

及二倍角公式进

行化简、求值，

如2012年高考

T11,2011年高考

T7.2.考查形式有解答

题和填空题.第一百九十七页第一百九十八页，共361页。[归纳知识整合]sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβ第一百九十八页第一百九十九页，共361页。[探究]

1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？第一百九十九页第二百页，共361页。2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α第二百页第二百零一页，共361页。[探究]

2.二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？第二百零一页第二百零二页，共361页。[自测牛刀小试]答案：1第二百零二页第二百零三页，共361页。答案：－3第二百零三页第二百零四页，共361页。第二百零四页第二百零五页，共361页。第二百零五页第二百零六页，共361页。三角函数式的化简第二百零六页第二百零七页，共361页。第二百零七页第二百零八页，共361页。第二百零八页第二百零九页，共361页。第二百零九页第二百一十页，共361页。第二百一十页第二百一十一页，共361页。第二百一十一页第二百一十二页，共361页。第二百一十二页第二百一十三页，共361页。三角函数的求值问题第二百一十三页第二百一十四页，共361页。第二百一十四页第二百一十五页，共361页。—————————————————————————————————————————第二百一十五页第二百一十六页，共361页。第二百一十六页第二百一十七页，共361页。第二百一十七页第二百一十八页，共361页。三角函数的求角问题第二百一十八页第二百一十九页，共361页。第二百一十九页第二百二十页，共361页。若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？第二百二十页第二百二十一页，共361页。第二百二十一页第二百二十二页，共361页。第二百二十二页第二百二十三页，共361页。第二百二十三页第二百二十四页，共361页。第二百二十四页第二百二十五页，共361页。第二百二十五页第二百二十六页，共361页。第二百二十六页第二百二十七页，共361页。(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．第二百二十七页第二百二十八页，共361页。第二百二十八页第二百二十九页，共361页。第二百二十九页第二百三十页，共361页。第二百三十页第二百三十一页，共361页。第二百三十一页第二百三十二页，共361页。第二百三十二页第二百三十三页，共361页。[变式训练]第二百三十三页第二百三十四页，共361页。第二百三十四页第二百三十五页，共361页。第二百三十五页第二百三十六页，共361页。第二百三十六页第二百三十七页，共361页。第二百三十七页第二百三十八页，共361页。第二百三十八页第二百三十九页，共361页。第二百三十九页第二百四十页，共361页。第二百四十页第二百四十一页，共361页。第二百四十一页第二百四十二页，共361页。第二百四十二页第二百四十三页，共361页。第二百四十三页第二百四十四页，共361页。[备考方向要明了]

考

什

么怎

么

考

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.以填空题的形式考查正、余弦定

理在求三角形边或角中的应用，

如2010年高考T13.2.与平面向量、三角恒等变换等相

结合出现在解答题中，如2011年

高考T15,2012年高考T15等.第二百四十四页第二百四十五页，共361页。[归纳知识整合]1．正弦定理和余弦定理a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC第二百四十五页第二百四十六页，共361页。2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC第二百四十六页第二百四十七页，共361页。定理正弦定理余弦定理解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.第二百四十七页第二百四十八页，共361页。[探究]

1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？

提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件．第二百四十八页第二百四十九页，共361页。2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解第二百四十九页第二百五十页，共361页。[探究]

2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)

提示：∵cosA与b2＋c2－a2同号，∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．第二百五十页第二百五十一页，共361页。[自测牛刀小试]第二百五十一页第二百五十二页，共361页。第二百五十二页第二百五十三页，共361页。答案：2

第二百五十三页第二百五十四页，共361页。第二百五十四页第二百五十五页，共361页。5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．答案：30°或150°第二百五十五页第二百五十六页，共361页。利用正、余弦定理解三角形[例1]

(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．第二百五十六页第二百五十七页，共361页。第二百五十七页第二百五十八页，共361页。正余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．第二百五十八页第二百五十九页，共361页。第二百五十九页第二百六十页，共361页。第二百六十页第二百六十一页，共361页。第二百六十一页第二百六十二页，共361页。利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2]

在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．[自主解答]∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.第二百六十二页第二百六十三页，共361页。第二百六十三页第二百六十四页，共361页。第二百六十四页第二百六十五页，共361页。—————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.第二百六十五页第二百六十六页，共361页。第二百六十六页第二百六十七页，共361页。第二百六十七页第二百六十八页，共361页。与三角形面积有关的问题[例3]

(2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.第二百六十八页第二百六十九页，共361页。第二百六十九页第二百七十页，共361页。第二百七十页第二百七十一页，共361页。第二百七十一页第二百七十二页，共361页。第二百七十二页第二百七十三页，共361页。第二百七十三页第二百七十四页，共361页。第二百七十四页第二百七十五页，共361页。第二百七十五页第二百七十六页，共361页。答题模板——利用正、余弦定理解三角形第二百七十六页第二百七十七页，共361页。[快速规范审题]第二百七十七页第二百七十八页，共361页。第二百七十八页第二百七十九页，共361页。第二百七十九页第二百八十页，共361页。第二百八十页第二百八十一页，共361页。[准确规范答题]第二百八十一页第二百八十二页，共361页。第二百八十二页第二百八十三页，共361页。[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步边角互化利用正弦定理或余弦定理实现边角互化；(本题为边化角)第二步三角变换三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化；第三步由值求角代入求值第四步反思回顾查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确.第二百八十三页第二百八十四页，共361页。第二百八十四页第二百八十五页，共361页。第二百八十五页第二百八十六页，共361页。第二百八十六页第二百八十七页，共361页。第二百八十七页第二百八十八页，共361页。第二百八十八页第二百八十九页，共361页。第二百八十九页第二百九十页，共361页。[备考方向要明了]

考

什

么能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.怎

么

考考查正、余弦定理在解决与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题中的应用，如2010年高考T17.第二百九十页第二百九十一页，共361页。[归纳知识整合]1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．第二百九十一页第二百九十二页，共361页。2．实际应用中的常用术语术语名称仰角与俯角方位角术语意义在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)图形表示第二百九十二页第二百九十三页，共361页。

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：

第二百九十三页第二百九十四页，共361页。术语名称术语意义图形表示坡角

坡度坡面与水平面的夹角坡面的垂直高度h和水平宽度l的比第二百九十四页第二百九十五页，共361页。[探究]

1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．第二百九十五页第二百九十六页，共361页。[自测牛刀小试]1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为___________.解析：根据仰角和俯角的定义可知α＝β.答案：②第二百九十六页第二百九十七页，共361页。2.(2012·苏州模拟)如图，测量河对岸的

塔高AB时，选与塔底B在同一水平面

内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.答案：30第二百九十七页第二百九十八页，共361页。3.如图所示，B，C，D三点在地面同一直

线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的

仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出A点距地面的高AB＝________.第二百九十八页第二百九十九页，共361页。4．(教材习题改编)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．第二百九十九页第三百页，共361页。5．(教材习题改编)如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________m.答案：169第三百页第三百零一页，共361页。测量距离问题第三百零一页第三百零二页，共361页。第三百零二页第三百零三页，共361页。若将本例中A、B两点放到河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求A、B两点间的距离．第三百零三页第三百零四页，共361页。第三百零四页第三百零五页，共361页。1．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．第三百零五页第三百零六页，共361页。第三百零六页第三百零七页，共361页。测量高度问题第三百零七页第三百零八页，共361页。第三百零八页第三百零九页，共361页。—————————————————处理高度问题的注意事项

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．第三百零九页第三百一十页，共361页。2．如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.第三百一十页第三百一十一页，共361页。测量角度问题第三百一十一页第三百一十二页，共361页。第三百一十二页第三百一十三页，共361页。第三百一十三页第三百一十四页，共361页。第三百一十四页第三百一十五页，共361页。2．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．第三百一十五页第三百一十六页，共361页。第三百一十六页第三百一十七页，共361页。第三百一十七页第三百一十八页，共361页。(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．第三百一十八页第三百一十九页，共361页。(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量.第三百一十九页第三百二十页，共361页。创新交汇——数形结合思想在解三角形中的应用三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题．求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解．第三百二十页第三百二十一页，共361页。(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．第三百二十一页第三百二十二页，共361页。第三百二十二页第三百二十三页，共361页。第三百二十三页第三百二十四页，共361页。第三百二十四页第三百二十五页，共361页。第三百二十五页第三百二十六页，共361页。(1)对于第(1)问，知道两边夹一角，由余弦定理求得BC的长，然后除以行驶时间即可求得速度；对于第(2)问，延长BC交直线AE于点Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的长、判断点Q的位置，最后在△QPE中结合已知条件即可作出判断．(2)解此类问题，首先根据题意合理画出示意图是解题关键；将条件归纳到某一三角形中是基本的策略；合理运用正、余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决．

第三百二十六页第三百二十七页，共361页。[变式训练]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行