灰度变换与空间滤波

第三章空间域图像增强背景知识根本灰度变换直方图处理算术/逻辑增强空间滤波根底平滑空间滤波器锐化空间滤波器混合空间增强法

图像增强的主要目标是处理图像，以便处理结果图像比原图像更适合于特定的应用。特定意味着增强方法针对特定的问题，不同的问题适合采用不同的增强方法。没有一个图像增强的统一理论，如何评价图像增强的结果好坏也没有统一的标准。主观标准：人客观标准：结果图像增强的方法分为两大类：空间域方法和频域方法。“空间域〞是指图像平面自身，这类方法是以对图像的象素直接处理为根底的。“频域〞处理技术是以修改图像的傅氏变换为根底的。空间域增强是指增强构成图像的像素，可由下式定义：

g(x,y)=T[f(x,y)]其中f(x,y)是输入图像，g(x,y)是输出图像，T是对f的一种操作，其定义在〔x,y〕的领域.定义一个点(x,y)领域的主要方法是利用中心在(x,y)点的正方形或矩形子图像.子图像的中心从一个像素向另一个像素移动,T操作应用到每一个(x,y)位置得到该点的输出g.

3.1背景知识图像中(x,y)点的3X3邻域

3.1背景知识比照度增强的灰度级函数1×1的邻域

T(r)产生两级(二值)图像,阈值函数更大的邻域会有更多的灵活性,一般的方法是利用点(x,y)事先定义的邻域里的一个f值的函数来决定g在(x,y)的值,主要是利用所谓的模板〔也称为滤波器,核,掩模〕.模板是一个小的(3X3)二维阵列,模板的系数值决定了处理的性质,如图像锋利化等.以这种方法为根底的增强技术通常是指模板处理或滤波.3.2根本灰度变换灰度级变换函数s=T(r)三种根本类型线性的(正比或反比)对数的(对数和反对数的)幂次的(n次幂和n次方根变换)

用于图像增强的某些根本灰度变换函数输入灰度级,r输出灰度级反比n次方根对数n次幂正比反对数3.2根本灰度变换图像反转对数变换幂次变换比照拉伸灰度切割位图切割3.2根本灰度变换灰度反转图像反转变换适于处理增强嵌入于图像暗色区域的白色或灰色细节,特别是当黑色面积占主导地位时.3.2根本灰度变换对数变换的图像对数变换使一窄带低灰度度输入图像映射为一宽带输出值.可以用于扩展被压缩的高值图像中的暗像素.3.2根本灰度变换幂次变换幂次曲线中的局部值把输入窄带暗值映射到宽带输出值.相反,输入高值时也成立.3.2根本灰度变换伽马校正3.2根本灰度变换伽马校正3.2根本灰度变换用幂次变换进行比照度增强c=1,=0.6,0.4,0.3

原图像0.6

0.40.33.2根本灰度变换幂次变换c=1,=3.0,4.0,5.0

原图像

3.0

4.0

5.03.2根本灰度变换分段线性变换函数其形式可以任意组合,有些重要的变换可以应用分段线性函数描述.比照拉伸

(a)变换函数的形式(b)低比照度图像(c)比照度拉伸的结果(d)门限化的结果(a)(b)(c)(d)3.2根本灰度变换灰度切割

(a)加亮[A,B]范围,其他灰度减小为一恒定值(b)加亮[A,B]范围,其他灰度级不变(c)原图像(d)使用(a)变换的结果(a)(b)(c)(d)3.2根本灰度变换位图切割

把数字图像分解成为位平面,对于分析每一位在图像中的相对重要性有用,用于辅助决定量化一个像素的位数是否充足,图像压缩.

3.2根本灰度变换位图切割3.3直方图处理灰度级直方图灰度级[0,L-1]范围的数字图像的直方图是离散函数:h(rk)=nk其中rk是第k级灰度,nk是图像中灰度级为rk的像素个数.进行归一化,那么P(rk)=nk/n,n为图像中像素的总数.

P(rk)给出了灰度级为rk发生的概率估计值.

3.3直方图处理3.3直方图处理四种根本图像类型,暗、亮、低比照度和高比照度以及它们对应的直方图3.3直方图处理直方图均衡化s=T(r)0≤r≤1满足如下条件：(a)T(r)在区间0≤r≤1中为单值且单调递增(b)当0≤r≤1时,0≤T(r)≤1一幅图像的灰度级可视为[0,1]的随机变量,令Pr(r)和Ps(s)分别表示随机变量r和s的概率密度函数.假设Pr(r)和T(r),那么有如下结果:Ps(s)=Pr(r)|dr/ds|s的概率密度函数由输入函数的概率密度函数和所选择的变换函数决定.3.3直方图处理累积分布函数(CDF)

满足如下条件：(a)T(r)在区间0≤r≤1中为单值且单调递增(b)当0≤r≤1时,0≤T(r)≤1对于离散值,处理其概率与和灰度级rk出现的概率为:pr(rk)=nk/nk=0,1,2,…,L-1那么变换函数的离散形式为求得sk的值后，还需将其取整扩展变换回[0,L]区间▓直方图均衡化的计算过程如下：列出原始图像和变换后图像的灰度级：i,j=0,1,…,L-1，其中L是灰度级的个数；统计原图像各灰度级的像素个数ni；计算原始图像直方图：P(i)=ni/n,n为原始图像像素总个数；计算累积直方图：利用灰度变换函数计算变换后的灰度值，并四舍五入：确定灰度变换关系i->j，据此将原图像的灰度值修正为；统计变换后各灰度级的像素个数；计算变换后图像的直方图：。[例1]设有一幅大小为，包含灰度值是的8个灰度级的数字图像，其各灰度级的像素个数见表4-1所示，要求对其进行直方图均衡化，求出灰度变换关系和变换后的直方图。表1图像各灰度级的像素个数

灰度级（i）01234567像素个数（）786102085265033324513080步骤计算方法或公式计算结果1列出图像灰度级（i或j）012345672统计原图像各灰度级像素个数ni78610208526503332451308030.190.250.210.160.080.060.030.0240.190.440.650.810.890.950.981.0051356677760

11

32

53,4

65,6,7

77786102085298345580.190.250.210.240.11计算累积直方图：计算变换后的灰度值：确定灰度变换关系：统计变换后各灰度级的像素个数计算变换后图像的直方图：计算原始直方图：

图4.2-3给出了直方图均衡化的示意图。从图和表中可以看出，由于数字图像灰度取值的离散性，通过四舍五入使变换后的灰度值出现了归并现象，而使变换后的直方图并非完全均匀分布，但相比于原直方图要平坦得多。〔c〕

图4.2-3直方图均衡化的示意图

〔a〕原始直方图P(i)；〔b〕累积直方图Pj；〔c〕均衡化后的直方图P(j)。3.3直方图处理灰度均衡化计算的例子：3.3直方图处理均衡化后的直方图3.3直方图处理直方图均衡化的结果直方图匹配(规定化)

指定希望处理的图像所具有的直方图形状

输入r对应的概率密度函数

Pr(r)

输出z对应的概率密度函数

Pz(z)

3.3直方图处理得到因此其中可以求得,也可以求得

令s为一随机变量,且有:

z,且有:3.3直方图处理设G-1存在,且满足前面的(a)和(b)条件,那么用下面的步骤可由输入图像得到一个有规定概率密度函数的图像:(1)根据求得变换函数T(r);(2)根据求得变换函数G(z);(3)求得反变换函数G-1;(4)对输入图像的所有像素应用得到输出图像.

上面公式的离散形式:3.3直方图处理直方图规定化的实现(5)对于原始图像的每个像素,假设像素值为rk,将该值映射到其对应的灰度级sk;然后映射灰度级sk到最终灰度级zk.(4)利用定义的迭代方案对每一个sk值预计算值.(3)利用从给定的Pz(z)得到变换函数G.(2)利用对每一灰度级rk预计算映射灰度级sk.3.3直方图处理直方图规定化的实现(1)求出图像的直方图例：对例1所给的图像进行直方图规定化处理。给定的规定直方图如下表所示。表2规定直方图灰度级（i）01234567规定直方图00000.20.30.30.2

表2.图像直方图规定化的计算过程列表步骤计算方法或公式计算结果1列出图像灰度级（i或j）012345672统计原图像各灰度级像素个数ni7861020852650333245130803计算原始直方图0.190.250.210.160.080.060.030.024列出规定直方图00000.20.30.30.25计算原始累积直方图Pi0.190.440.650.810.890.950.981.006计算规定累积直方图Pj00000.200.500.801.007按照Pj

Pi找到i对应的j456677778确定变换关系i

j0

41

52,3

6

4,5,6,7

79求变换后的匹配直方图P(j)00000.190.250.370.19其中，按Pj→Pi最靠近进行i→j变换的方法为：〔1〕所以灰度的变换关系为〔2〕所以，

(3)

所以，〔4〕所以，如以下图给出了直方图规定化的示意图：

〔a〕(b)(c)(a)原图像直方图〔b)规定直方图〔c〕变换后的匹配直方图3.3直方图处理由NASA外表探测器拍摄的火星卫星图像(b)直方图3.3直方图处理(a)直方图均衡化变换函数(b)均衡过的图像(c)b的直方图3.3直方图处理(a)规定的直方图(b)曲线(1)为变换函数G的曲线曲线(2)为反变换函数G-1的曲线(c)用曲线(2)增强所得图像(d)(c)的直方图3.3直方图处理局部增强有时需要对图像小区域细节的局部增强.解决的方法就是在图像中每一个像素的邻域中,根据灰度级分布设计变换函数.

然后利用前面介绍的技术来进行局部增强,定义一个方形或矩形的邻域并把该区域的中心从一个像素移动至另一像素.在每一个位置的邻域中该点的直方图都要被计算,并且得到的不是直方图均衡化就是规定化的函数.(a)原图(b)全局均衡化的结果(c)对每一个像素用7X7邻域局部增强均衡化的结果3.4用算术/逻辑操作增强

图像中的算术/逻辑操作主要以像素对像素为根底在两幅或多幅图像间进行.逻辑：与、非、或

与操作或操作3.4用算术/逻辑操作增强

图像中的算术/逻辑操作主要以像素对像素为根底在两幅或多幅图像间进行.算术：加、减、乘、除

图像的减法处理:

两幅图像f(x,y)与h(x,y)的差异表示为:g(x,y)=f(x,y)-h(x,y)

计算两幅图像对应像素点的差而得出的.

两幅图像的相除看成用一幅的取反图像与另一幅图像相乘.

图像的乘法不仅可以用于对二进码模板进行处理,而且可以直接用于灰度处理.3.4用算术/逻辑操作增强图像平均处理多幅图像相加,取平均值,从而减少噪声.

那么有:当K增加时,在各个(x,y)位置上像素值的噪声变化率将减少.意味着随着在图像均值处理中噪声图像使用量的增加,越来越趋近于f(x,y)(a)NGCC3314星团对图像(b)高斯噪声污染的图像(c-f)分别用8,16,64,128个带噪声的图像取平均值的结果3.5空间滤波根底图像的平滑、锐化都是利用掩模操作来完成的.通过掩模操作实现一种邻域运算,待处理像素点的结果由邻域的图像像素以及相应的与邻域有相同维数的子图像得到.这些子图像被称为滤波器、掩模、核、模板或窗口.掩模运算的数学含义是卷积〔或互相关〕运算。点(x,y)处的响应R为：3.5空间滤波根底卷积运算示意图3.5空间滤波根底

一般来说，在M×N的图像f上，用m×n大小的滤波器掩模进行线性滤波由下式给出：为得到一幅经过完整的经过滤波处理的图像，必须对x=0,1,2,…,M-1和y=0,1,2,…,N-1依次应用公式。其中a=(m-1)/2且b=(n-1)/2，处理的掩模长与宽都为奇数。简化表达形式：3×3的掩模：3×3的滤波掩模3.5空间滤波根底3.5空间滤波根底3.5空间滤波根底3.5空间滤波根底3.5空间滤波根底3.6平滑空间滤波器用于模糊处理和减少噪声.3.6平滑空间滤波器

平滑线性滤波器用滤波掩模确定的邻域内像素的平均灰度值去代替每个像素点的值.两个3×3平滑滤波器掩模3.6平滑空间滤波器

一幅M×N的图像经过m×n的加权均值滤波器滤波的过程可由下式给出：3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器统计排序滤波器：一种非线性滤波器,它的响应基于图像滤波器包围的图像区域重像素的排序,然后由统计排序结果断定的值代替中心像素的值.最常见的是中值滤波器.

中值滤波器:

先将掩模内欲求的像素及其领域的像素值排序,确定出中值,并将中值赋予该像素点.主要功能是使拥有不同灰度的点看起来更接近于它的邻近值.3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器3.6平滑空间滤波器3.7锐化空间滤波器

锐化处理的目的是突出图像中的细节或者增强被模糊了的细节.对于二阶微分必须保证:在平坦区微分值为零在灰度阶梯或斜坡的起始点处微分值非零沿着斜坡面微分值为零

对于一阶微分必须保证：平坦段微分值为零在灰度阶梯或斜坡的起点处微分值非零沿着斜坡面微分值非零

我们最感兴趣的微分性质是恒定灰度区域(平坦段)、突变的开头与结尾(阶梯与斜坡突变)以及沿着灰度级斜坡处的特性。

锐化处理可以用空间微分来完成.微分算子的响应强度与图像在该点的突变程度有关，图像微分增强了边缘和其他突变(如噪声)而消弱了灰度变化缓慢的区域.3.7锐化空间滤波器用差分定义一元函数f(x)的二阶微分:

用差值定义一元函数f(x)一阶微分:由于我们处理的是数字量,最大灰度级的变化是有限的,变换发生的最短距离是在两个相邻像素之间.3.7锐化空间滤波器图像带一阶微分二阶微分

一阶微分和二阶微分的区别:(1)一阶微分处理通常会产生较宽的边缘(2)二阶微分处理对细节有较强的响应,如细线和孤立点(3)一阶微分处理一般对灰度阶梯有较强的响应(4)二阶微分处理对灰度级阶梯变化产生双响应(5)二阶微分在图像中灰度值变化相似时,对线的响应要比对阶梯强,且点比线强.大多数应用中,对图像增强来说.二阶微分处理比一阶微分好,因为形成细节的能力强.而一阶微分处理主要用于提取边缘.3.7锐化空间滤波器二阶微分的图像增强——拉普拉斯算子二元图像函数f(x,y)的拉普拉斯变换定义为：

离散方式：x方向y方向故二维拉普拉斯数字实现由以上两个分量相加：最简单的各向同性微分算子,并且是一个线性操作3.7锐化空间滤波器扩展方式：执行离散拉普拉斯变换所用的滤波器掩模扩展的拉普拉斯掩模，包括了对角线邻域和(d)其他两种拉普拉斯的实现3.7锐化空间滤波器

拉普拉斯微分算子强调图像中灰度的突变,弱化灰度慢变化的区域。这将产生一幅把浅灰色边线、突变点叠加到暗背景中的图像。3.7锐化空间滤波器将原始图像和拉普拉斯图像叠加在一起的简单方法可以保护拉普拉斯锐化处理的效果，同时又能复原背景信息。因此拉普拉斯算子用于图像增强的根本方法如下:注意拉普拉斯定义时的符号3.7锐化空间滤波器月球北极的图像拉普拉斯滤波后的图像标定后的拉普拉斯