第4章6-多维随机变量的数字特征课件

1定理的推广p123设Z=g(X,Y),g(x,y)为二元连续实函数,E[g(X,Y)]存在,(1)若(X,Y)为离散型,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则(2)若(X,Y)为连续型,概率密度为f(x,y),则2例1.设(X,Y)的分布律如下，求E(X+Y)和E(XY)?

YX12300.10.20.110.30.10.23例2.设(X,Y)的概率密度如下，求

E(XY)、E(X).例3.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其密度函数为求随机变量的数学期望和方差。解：5性质1E(c)=c 性质3E(X±Y)=E(X)±E(Y)性质4

如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y) 二、数学期望的性质性质2E(cX)=cE(X)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)推广：设为n个r.v.，则有

推广：若为相互独立的r.v.，则6证:

设二维连续型r.v.的联合概率密度为其边缘分布密度、性质3E(X±Y)=E(X)±E(Y) 7性质4

如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y) 若X和Y相互独立，此时证:8例4.将r个球放入N个盒中，设每个球落入各盒中是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望.提示：将一个r.v.分解成若干个r.v.的和，这是一个常用的技巧.9例5.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。10推广：设是相互独立的r.v.，则设X、Y相互独立，则有一般情况下，则有三、方差的性质11证明：证：注：12解：X～b(n,p)，则X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数，引入r.v.则X＝X1＋…+Xn,显然Xi～B(1,p)，其分布律为∴例6.设X～b(n,p)，求E(X)、D(X).13例7.X～U(1,3),Y～N(2,4)且X、Y独立，求E(3X-4Y-1)、D(3X-4Y-1)和E(Y2).14正态分布的可加性

(p119):

则推广：设,且X1,…,Xn相互独立，则设X和Y相互独立，且15例8.设活塞的直径X～N(22.4，0.032)，气缸的直径Y～N(22.5,0.042)，X、Y相互独立。任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。161)k阶(原点)矩:

2)k阶中心矩:

3)k+l

阶混合(原点)矩:

4)

k+l

阶混合中心矩:

4.7矩、协方差及相关系数1.原点矩与中心矩注：17例1.设随机变量X的分布律为

X1245P1/31/61/61/3求：182.定义若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}为X与Y的协方差,

易见

Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)称为X,Y的相关系数。(无量纲)193.协方差性质

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0；

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)；

(4)Cov(X1±X2,Y)=Cov(X1,Y)±Cov(X2,Y);(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)=?204.相关系数的性质

(1)|

XY|1；

(2)|

XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

XY的意义：反映X与Y的线性关系，所以又叫线性相关系数.若

XY

＝0，则称X、Y不相关，此时Cov(X,Y)=0.例3.(1)若Y＝3X-4，则

ρXY＝1X-101

1/31/31/3(2)设X的分布律如下，Y＝X2,则ρXY＝021？“独立”和“不相关”的关系若X、Y独立，则X、Y不相关。独立不相关但X、Y不相关，不一定能推出X、Y独立.独立指没有任何关系，不相关仅指没有线性关系,但可能存在其它形式的密切关系。对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关(见p133、p114)22例4.设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,（请课下自行验证）因而ρXY=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，所以X、Y不独立.不难求得，Cov(X,Y)=0，例5.设(X,Y)在G={(X,Y)：x2+y2

1}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。23例6.设(X,Y)具有概率密度,求解：245.

定义（X,Y）的协方差矩阵的协方差矩阵256.n维正态r.v.的性质p135性质1:设服从n维正态分布，都是正态变量；反之，若是相互独立的正态变量,是n维正