专题16指数函数（3知识点6题型4考法）(原卷版)

专题16：指数函数（3知识点+6题型+4考法）指数函数指数函数常考题型指数函数的单调性指数函数的图像与性质指数函数的定义及特征题型一：指数函数判断及求解析式题型二：指数函数的定义域题型三：指数函数的值域题型四：指数型函数的单调性题型五：指数型函数图像及应用题型六：指数型函数的奇偶性单调性综合考法一：求指数型函数的单调性区间考法二：利用指数型单调性解不等式考法三：已知指数型函数单调性求参数范围考法四：指数型及幂函数型的比较大小知识点一：知识点一：指数函数的定义及特征（1）指数函数的概念定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.（2）指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.知识点二：指数函数的图像与性质（1）指数函数图像与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1当x＞0时，0＜y＜1当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称知识点三：指数函数的单调性指数函数单调性指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调增函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调减函数.(2)与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.（3）求指数函数复合的函数单调性区间方法：①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数③分别将两个函数的单调区间求出来④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。（4）解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.题型一：指数函数判断及求解析式解题思路：（1）指数函数的概念定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.（2）指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.例1．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4例2．若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且例3．若指数函数的图象过点，则的解析式为（）A． B． C． D．例4．（多选题）设指数函数，且，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．变式训练5．若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．6．若函数是指数函数，且，则（

）A． B．C． D．7．（多选）下列函数是指数函数的是（

）A．B．C．D．（且）8．（多选题）设指数函数，则下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．题型二：指数函数的定义域解题思路：指数函数求定义域跟其他函数方法一样（1）具体函数解析式求定义域①如果是分式，定义域为分母不为零的实数集合；②如果是偶次根式，定义域为被开方数不小于零的实数集合；③的定义域为；④如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分.（2）求复合函数（抽象函数）的定义域应明确以下三点①函数的定义域是指的取值范围所组成的集合②求函数的定义域，应是求的取值范围，而不是求的取值范围③三个函数中的在相同的对应关系下的范围相同.例1．函数的定义域是（

）A． B．C． D．例2．设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（

）A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(2，＋∞)变式训练4．函数的定义域为5．已知函数的定义域为，则．6．已知函数定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．题型三：指数函数的值域解题思路：求指数函数的值域主要是以下几种方法：①单调性；判断指数型函数单调性再求值域；②二次函数型：通过换元的思维转化为二次函数求值域；③复合函数法：通过分解函数在利用函数的单调性求值域；④分离常数：先换元法求转化为简单分式函数在求值域；例1．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（

）A．2或3 B．3 C．2 D．3例2．函数，的值域是（

）A． B． C． D．例3．已知函数，，则其值域为．例4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．变式训练5．已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=6．函数的值域是．7．函数值域是.8．（多选）设函数，若表示不超过的最大整数，则的函数值可能是（

）A．0 B． C．1 D．29．函数的值域为．题型四：指数型函数的单调性考法一：求指数型函数的单调性区间解题思路：(2)与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.（3）求指数函数复合的函数单调性区间方法：①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数③分别将两个函数的单调区间求出来④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。例1．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．例2．*（多选）已知，则（

）A．为奇函数B．在上单调递减C．值域为D．的定义域为例3．已知函数，则的单调递增区间为，值域为．变式训练4．已知函数(且)，若，则的单调递减区间是（

）A． B．C． D．5．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．6．（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减考法二：利用指数型单调性解不等式解题思路：解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.例1．不等式的解集为.例2．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式训练3．不等式的解集为.4．不等式的解集为．考法三：已知指数型函数单调性求参数范围解题思路：利用单调性求参数范围①将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数②分别将两个函数的单调区间求出来③在利用“同增异减”求出对应函数的取值范围例1．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．例2．已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例3．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式训练：4．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数在R上是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．考法四：指数型及幂函数型的比较大小解题思路：比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较例1．设，则（

）A． B．C． D．例2．已知，，，则（

）A． B．C． D．例3．若，，，则（

）A． B． C． D．变式训练4．设，，，则（

）A． B． C． D．5．已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．题型五：指数型函数图像及应用解题思路：熟悉指数函数的两种图像及函数的图像平移和变换原则画图例1．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（

）A．B．C．D．例3．在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．例4．（多选）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．变式训练5．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（

）A．B．C． D．7．（多选）已知函数，且的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．8．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与（，且）的图象可能是（）A．B．C．D．9．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是题型六：指数型函数的奇偶性单调性综合解题思路：利用奇偶性性及单调性（1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质：

①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;②对于定义域内任意x都有f（x）=f（x）=f（|x|）；③图像关于y轴对称；④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性（2）奇函数的性质若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质：

①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

②对于定义域内任意x都有f（x）=f（x）；

③图像关于原点（0,0）对称；

④若在处有意义，则f（0）=0;

⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。例1．若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．例2．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数例3．（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为 B．若函数是奇函数，则C．函数在定义域上是减函数 D．若，则例4．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值例5．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性；(3)若存在，使成立，求的取值范围.变式训练6．已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．7．下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（多选）已知函数，则下面几个结论正确的有（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数在其定义域内单调递减D．函数的值域为10．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(2)求函数，的最小值.11．已知指数函数满足，定义域为R的函数是奇函数．(1)求m，n的值；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围．12．已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．一、单选题1．已知：指数函数是增函数，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．3．已知，则下列正确的是（

）A． B． C． D．4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题8．下列命题中，说法正确的是（）A．函数的定义域为，则函