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文档简介

第9节

连续函数的运算初等函数的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结2一、连续函数的四则运算的连续性［例如］（上节已证）【结论】三角函数在其定义域内连续.【推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，得:【定理1】若f(x),g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x)f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连23二、反函数与复合函数的连续性【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.31.

反函数的连续性【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.（证明略）［例如］【定理3】2、复合函数的连续性【注意】本节定理3是§5定理6（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来的极限存在加强为连续。【意义】可以与函数符号

f

交换次极限符号序;4【例1】【解】极限符号可以与函数符号

f

交换次序;条件是：内层函数极限存在、外层函数在对应点连续；则可交换次序.同理（即教材例5）利用lnu的连续性5【教材例3】【解】可视为由复合而成，则6又如分离无穷小量交换次序：用arccosu的连续性分子有理化7【例2】【解】同理可得（即教材例6）8【定理4】9【注意】定理4是定理3的特殊情况.简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续［例如］因此在是由连续函数链复合而成,上连续.10【关系】§5

定理6：内、外层函数极限都存在，则复合函数极限存在.(叙述不严格)本节定理3：内层函数极限存在、外层函数加强为连续，则复合函数极限存在，且极限符号和函数符号可交换次序.本节定理4：内、外层函数都加强为连续，则复合函数也连续（极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序）.11三、初等函数的连续性★

三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.（已证）★（指出但不详细讨论）★（由【定理2】反函数的连续性可得）12【定理5】

基本初等函数在定义域内是连续的.★由【定理4】复合函数的连续性(均在其定义域内连续

)定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续

连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续【定理6】13【注意】1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;［例如］在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义.则既不是连续点也不是间断点［又如］在0点的某去心邻域内没有定义.14【例3】【解】【例4】【解】有理化后消去0因子15【注意】2.初等函数求极限的方法代入法.【教材例8】【解Ⅰ】由定理3及极限运算法则得【解Ⅱ】ln(1+2x)

~

2x

(x→0)16【补充】则有ln[1+u(x)]

~

u(x)

(u(x)→0)17【一般地】的函数称为幂指函数若则

（是定式情况下成立）【注意】①.lim表示自变量的同一变化过程中的极限.18四、小结1.基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续【说明】分

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