2023年中考数学复习卷《锐角三角函数》含解析

锐角三角函数

一、选择题

L计算fan45’二()

A.6B.1

C.⑻D.0

【答案】B

【解析】：tan45°=1故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。

2.以下运算结果正确的是

A.3a3,2a2=6a6B.(-2a)2=-4a2C.tan45°=V2.D.cos30°

2~T

【答案】D

【解析】A、原式=6a5,故不符合题意；B、原式Ma?,故不符合题意；C、原式=1,故不符合题意；D、原

式=6,故符合题意.故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同

的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘；根据

特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。

3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tanZABD=:，那么线段AB的长为

B.

C.5

D.10

【答案】C

3

【解析】：：菱形加电8»=8.”（：，8口，加9，='13£）=推低/\人80中，出114.必1>=悠=岑-

4

A0=3.♦.四=办行：；501二.柠W0二；故答案为：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出AC

_LBD,求出B0的长，再根据锐角三角函数的定义，求出A0的长，然后根据勾股定理就可求出结果。

4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树/月的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度

i=l:4,一学生站在离斜坡顶端苣的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为〃，=：,

BE=1.6m,此学生身高CD=1.6m,那么大树高度AB为0m.

B.7.2

C.7

【答案】D

【解析】如下图:过点C作「G1-18延长线于点G,交EF于点

=华，计算得出:

O

FF-1,FV=,6G=E；V=0口”，$皿=(=嚓，设4G=去，那么

,故8c=4x,即8+L6=4x,计算得出：1=27，故将=2,：；3=33”，那么

AB=AG-二八故答案为：D.【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角

三角形即可求解。即:过点C作CG±AB延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡DE的坡度i=l:4,

所以,解得EF=2,而sinaU=设AG-3x,那么AC-5x,所以BC-4x,即

8+1.6=4x，解得x=2.4，所以AG=2.4X3=7.2m,那么AB=AG-BG=7.2~0.4=6.8m。

5.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直，ZCAB=a,那么拉线BC的长度为(A、I)、

B在同一条直线上)()

A.—B.」一C.二上一D.h«cosa

CM4广ECtaJKL

【答案】B

【解析】：ZCAD+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°,AZCAD=ZBCD,在RSBCD中，VcosZBCD=

萼，.・.BC=―应选：B.【分析】根据同角的余角相等得/CAD=NBCD,由os/BCD=

JiCD.mm

CD.CD_h

8c大UBG-BC1).一由.

6.如图，ZXABC内接于。0,AD为。。的直径，交BC于点E,假设DE=2,0E=3,那么匕nOhU由二0

A.4B.3

C.2D.5

【答案】A

【解析】：如图，连接BD,CD:D0=2,0E=30A=0D=5，AE=0A+0E=8YZ

ABE=4DC,ZAEB=ZDEC.-.AABE^ADEC.^^等①同理可得：△AECs^BED...铝=藻②由①

义②得-淳VAD是直径ZABD=ZACD=90°Z.tanZACB=ZADB=tanZABC=tanZ

rEHD：C；’D?DhCD

ADO界tanNACBtanNABC=*—方—第=3=4故答案为:M分析】根据0D和0E的长，求出AE的长,

nlJ(l-JnlJIJF.N

再根据相似三角形的性质和判定，得出事舆-率’，利用锐角三角函数的定义，可证得tanNACBtan

•ri/)(-1)IJr

NABC=春蔡=•德’，代入求值即可。

CLrBLJUr.

7.在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=4,cosA的值等于：，那么AB的长度是0

A.3B

4C.

5D.

20

【答案】D

【解析】：•••Rt^ABC中，/C=90°,cosA的值等于;：.COS/A=T^=：.•.$€解之：AB=^故答案为:

D【分析】根据锐角三角函数的定义，列出方程cosNA=+=：,求出AB的值即可。

8.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,

此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是0

A.15海里B.30海

里C.45海

里D.30海里

【答案】B

【解析】：作BD_LAP,垂足为D根据题意，得/BAD=30°,BD=15海里，二

ZPBD=60°,那么/DPB=30°,BP=15X2=30（海里），应选：B.【分析】作CD_LAB,垂足为D.构建直

角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP.

9.如图，在中，=-18=10,AC=8,那么sinJ等于（）

A.-7B.±C.1D.,y

【答案】A

【解析】：在RtAABC中，VAB=10,AC=8,；.BC=画?_且炉力1&-¥=6,•,-sinA=瞽=备=].

故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。

10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到

达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是[结果保存小数点后

两位）（参考数据：；&-：1;3_、士之1.414）〔）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【答案】B

【解析】：

ACB=15°,

BA=BE,AD=DE,设BD=x,在RtZ\ABD中，；.AD=DE=Jjx,AB=BE=CE=2x,AC=AD+DE+EC=2J7x+2x=30,

Ax=』尸也5.49,故答案为：B.【分析】根据题意画出图如下图：作BDLAC,取BE=CE,

根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE,AD=DE,设BD=x,RtZ\ABD中，根据勾股定理得

AD=DE=&,AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2〃x+2x=30,解之即可得出答案.

二、填空题

11.在aABC中，ZC=90°,假设tanA=',那么sinB=.

【答案】正

，2K

【解析】：如下图：VZC=90°,tanA=；.设BC=x,那么AC=2x,故AB=〃x,那

CA

么sinB=吗=关-=至.故答案为：史.【分析】根据正切函数的定义由tanA=设BC=x,那

•姐尽、S

么AC=2x,根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。

12.如图，在菱形纸片ABCD中，月5="，匚:i=6D，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕

为FG,点F,G分别在边.15上，那么【auN矛FG的值为

3

【答案】芈

【解析】如图，作EH_LAD于H,连接BE,BD、AE交FG于0,因为四边形

ABCD是菱形，ZA=60°,所以4ADC是等边三角形，NA【)C=120°,•点E是CD的中点，所以ED=EC=g,

BE±CD,RSBCE中,BE=百CE=¥,因为AB〃CD,所以BE_LAB,设AF=x,那么BF=3-x,EF因为x,

在RtZXEBF中,那么勾股定理得，X2=(3-X)2+(生尸，解得x=斗,RtADEH中，D1I={DE=±,HE=4DH=

笫,RtAAEH中，AE=噂,所以A0=孚,RtAAOF中,0F=

卑.，所以tan/EFG=^-=芈，故答案为半.【分析】作EH_LAD于H,连接BE,BD、AE交FG于

0,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出aADC是等边三角形，ZADC=120°,根据等边三角形的

三线合一得出ED=EC=3，BE±CD,Rt^BCE中，根据勾股定理得出BE,CE的长，根据平行线的性质得出

BE±AB,设AF=x,那么BF=3-x,EF二AF二x,在Rtz^EBF中，那么勾股定理得出方程求解得出x的值，RtA

DEH中，DH=■=1，HE=JjDH=忠,RtAAEH中，利用勾股定理得出AE的长，进而得出A0的长,

□△AOF中，利用勾股定理算出0F的长，根据正切函数的定义得出答案。

13.如图，在RtaABC中，ZB=90°,ZC=30°,BC=Jl,以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E,那

么图中阴影局部面积是

【答案】旦

6-4

【解析】:连接BE.VZB=90°,ZC=30°,BC=Jz，ZA=60°,

AB=1.VAB=EB,.,.△ABE是等边三角形，ZABE=60°,AS弓形二S阚形ABE-SAABE:

6011'111Jl=£故答案为：&【分析】连接BE-因为/B=90°，ZC=30°,

BC=由NC的正切可得tan/C=Jg，所以AB=g.4=1,由题意以点B为圆心，AB为半径作弧交

AC于点E可得AB=EB,所以AABE是等边三角形，那么NABE=60°,图中阴影局部面积=扇形ABE的面积-

三角形ABE的面积=等""X1X言=齐更.

14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分

别为45°和30°.假设飞机离地面的高度CH为1200米，且点H,A,B在同一水平直线上，那么这条江

的宽度AB为米(结果保存根号).

【答案】1200^-1200

【解析】:依题可得：NACD=45°,NBCD=30°,CH=1200,；CD〃AB,/.ZCAH=ZACD=45°,ZCBH=Z

BCD=30°,.•.AH=CH=1200,设AB=x米，在Rtz^CHB中，；.tanOCBH=建.即有=:,而，解得：

RH12OO*Y

x=12004-1200.故答案为：1200JJ-1200.【分析】根据平行线的性质结合条件得/CAH=NACD=45°,

NCBH=NBCD=30°,设AB=x米，在Rt^CHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得

AB长.

15.如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZB是锐角，AEJ_BC于点E,M是AB的中点，连结MD,ME.假设NEMD=90°,

那么cosB的值为________。

【答案】回

A_______D

【解析】：延长DM交CB的延长线于H,/•.•四边形ABCD为菱形，

AB=AD=BC=2,AD/7BC,/.ZADM=ZH,又是AB的中点，；.AM=BM=1,在△ADM和aBFlM中，：

(N皿M

乙ABMH，(AAS),.\DM=HM,AD=BH=2,VEM1DM,；.EH=ED,设BE=x，，

LA/=n\f

EH=ED=2+x,VAE±BC,AZAEB=ZEAD=90°,AAE^AB-BE^EI^-AD2,BP22-x2=(2+x)心炉,化简得:

X2+2X-2=0,解得：x=J71,在Rt^ABE中，.•.COSB=R£_'更二•.故答案为：6T.【分析】延长DM交

*AB~22

CB的延长线于H,由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,ZADM=ZH：由全等三角形的判定AAS

得△ADMg△BHM,再根据全等三角形的性质得DM=HM,AD=BH=2,根据等腰三角形三线合一的性质可得

EH=ED,设BE=x,那么EH=ED=2+x,根据勾股定理得AEJABJBEJEDJAD；代入数值解这个方程即可得出BE

的长.

16.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点0,

形，；.BE=CF=BE±CF,；.BG=EG=CG=FG=也，又；BF〃AC,ABFO^AACO,

v__WCO3

.".C0=3F0,.\FO=OG=4CG=£"在RtZ\BGO中，；.tanNBOG=毕，=M=2,又：/AOD=/BOG,；.tan/

ar.it口-

A0D=2.故答案为:2.【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF=⑻，再由正方形的

性质得BELCF,BG=EG=CG=FG=上，又根据相似三角形的判定得△BFOs^ACO,由相似三角形的性质得

2

gJ，从而得FO=OG=2cG=,在RtABGO中根据正切的定义得tanZBOG=先—二二2,

根据对顶角相等从而得出答案.

17.如图。在4•j的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.JJ5r的顶点都在格点上,那么ZBAC

的正弦值是—

【答案】V

$

【解析】VAB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AAC2+BC2=AB\.'.△ABC为直角三角形，且/

ACB=90°,那么sin/BAC=号=£.故答案为：£.【分析】首先根据方格纸的特点，算出AB-AC3

BC?,然后根据勾股定理的逆定理判断出.••△ABC为直角三角形，且NACB=90°,根据正弦函数的定义即可

得出答案。

18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1）,点

G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H,此时线段BH的长是.现将三角板DEF绕点G按

顺时针方向旋转（如图2）,在NCGF从0°至IJ6O°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为..（结

果保存根号）

【答案】12；12^318

如图1中，作HM_LBC于M,HNLAC于N,那么四边形

HMCN是正方形，设边长为a.在RtZ\ABC中，•.•/ABC=30。，BC=12,，在RtZiBHM中,

BH=2HM=2a,在Rt^AHN中,AH=。a,/.2a+-V=8^3,/.a=6^-6,

BH=2a=12j7-12.如图2中，当DG〃AB时，易证GH-DF,BHi的

值最小，那么BHI=BK+KHI=34+3,.洞加划尸94T5,当旋转角为60°时,F与H2重合,易知即产6〃,

观察图象可知，在NCGF从0°到60°的变化过程中，.•.点H相应移动的路径长

=2HHi+HH2=18jjT0+[64-(124-12)]=124T8,故答案为：124-12,12〃T8.【分析】如图1中，作

HM_LBC于M,HNJ_AC于N,那么四边形HMCN是正方形，设边长为a,利用解直角三角形求出AB的长，用

含a的代数式分别表示BH、AH的长，再根据AB=AH+BH,就可求出a的值，从而求出BH的值即可；如图2

中，当DG〃AB时，易证GH」DF,得出此时叫的值最小，求出即的值，再求出BH?的值，然后求值在NCGF

从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长即可。

三、解答题题

(一)4--1,其中a=2sin60°-tan45°・

19.先化简，再求值：

klofhl

la-12a^l1]

【答案】解：原式=[i%c-/仆/•(a-1)-…v,(a-1)-------当

=2X走-1=出-1时，原式=——=走

a=2sin600-tan45°

2">5-1+13

【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特

殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可.

20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路1的距离，某数学兴趣小组在公路1上的点A处，测得凉亭P

在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路/上的点B处，再次测得凉亭P在北偏

东45°的方向上，如下图.求凉亭P到公路，的距离结果保存整数，参考数据1r414，〃：：1.732)

【答案】解：依题可得：AB=200米，ZPAC=60°,/PBD=45°,令PG=x米，作PG_L1,

.,.ZPAG=30°,ZPBG=45°,...△PBG为等腰直角三角形，.•.BG=PG=x，在山△

PAG中,tan30°=/.x=100出+1)=273答:凉亭P到公路1的距离是273

米.

【解析】【分析】令PG=x米，作PGLI,根据题意可得△PBG为等腰直角三角形，即BG=PG=x，在Rt^PAG

中，根据锐角三角函数正切定义可得tan30°=号，代入数值解方程即可.

21.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹

角ZCAB=37°,沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角NCBA=45°.问湛河的宽

度约多少米？(参考数据：sin37°40.60,cos37°=0.80,

tan37°=0.75)

【答案】解：过C作CDLAB于点D,设CD=x米.在

RtZXBDC中，ZCDB=90°，ZCBD=45°,/.BD=CD=x.在Rt/XADC中,ZADC=90°,ZCAD=37°,.*.AD=

,.,AB=AD+DB=140,.冲+x=140，.”60.答:湛河的宽度约60米.

【解析】【分析】过C作CDJ_AB于点I),设CD=x米，在Rt^BDC中,ZCDB=90°,ZCBD=45°,根据等

腰三角形的性质可得BD=CD=x,在RtZXADC中，ZADC=90°,ZCAD=37°,由tan/CAD=tan37°=g*,

所以AD='q^丁？=拄三,而由题意得AB=AD+DB=140,所以不治++x=140,解得x=60.

22.:在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上,直线，一&-鼻收与x轴、y轴

分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱

(1)如图1,求点A的坐标；

(2)如图2,连接AC,点P为AACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且/APB=60°,点E在线段AP

上，点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,假设/AFE=30°,求AF、+EF、的值;

(3)如图3在(2)的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标.

c=

【答案】(1)解：如图「.了=一吊+(亚「aaoim,回:BO=5,°在SBCO中

-r.•.四边形ABCD为菱形.,.AB=BC=7；.A0=AB-B0=7--=1二

BC=QB&+C&=H+G而

-4-y°)⑵解VAO=4=B0-CO±ABAC=BC=7AB=AC=BC

.•.△ABC为等边三角形，ZACB=60°,ZAPB=60°ZAPB=ZACBVZPAG+ZAPB=ZAGB=ZCBG+ZACBZ

PAG=ZCBG连接CE、CFVAE=BF△ACE^ABCFCE=CFZACE=ZBCFZECF=ZACF+ZACE=ZACF+ZBCF=

ZACB=60°ACEF为等边三角形.•.NCFE=60°EF=FCVZAFE=30°ZAFC=ZAFE+ZCFE=90°在RtZ\ACF中

/.AF2+CF2=AC2=72=49AAF2+EF2=49⑶解:如图由（2）知ACEF为等边

三角形NCEF=60°EC=EF延长CE、FA交于点H；NAFE=30°ZCEF=ZH+ZEFHZH=ZCEF-ZEFH=300AZ

H=ZEFHAEH=EFEC=EH连接CPPE=AEZCEP=ZHEAACPE^AHAEAZPCE=ZH:CP//FHZHFP=ZCPF