高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲）（教师版）

专题5.1导数的概念及其意义（重难点题型精讲）1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义

对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).5．导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.【题型1瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为S=S(t)，其中S表示路程，t表示时间．则S'A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【解题思路】根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．【解答过程】∵物体做直线运动的方程为S=S(t)，根据导数的物理意义可知，S(t)函数的导数是t时刻的瞬时速度，∴S'(4)=10表示的意义是物体在第4故选：D．【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数st=t2+t+1A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【解题思路】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【解答过程】该物体在时间段1,1+Δt上的平均速度为ΔsΔt=s故选：D.【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11.该运动员在t=1sA．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【解题思路】先对函数求导，然后把t=1代入即可求解．【解答过程】解：因为ℎ(t)=−4.9t所以ℎ'令t=1，得瞬时速度为−5．故选：D.【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+2t，设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1，在t=2时的瞬时速度为v2A．76 B．73 C．67【解题思路】直接运用导数的运算法则，计算即可【解答过程】v1=3所以v2=2×2+2=6，所以故选：A.【题型2平均变化率】【方法点拨】根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.【例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数fx=x2+2A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据平均变化率的定义直接求解.【解答过程】因为函数fx所以该函数在区间1,3上的平均变化率为f(3)−f(1)3−1故选：A.【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数fx=−x3+1A．3 B．2 C．−2 D．−3【解题思路】根据平均变化率的定义计算即可【解答过程】由题，函数fx=−x3故选：D.【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数f(x)=x2−t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则mA．5 B．2 C．3 D．1【解题思路】直接利用平均变化率的公式求解.【解答过程】由题得Δy所以m=1故选：D.【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（

）A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】A选项，根据图象可知，在t1B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在t2C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在t1在t2D选项结论错误.故选：D.【题型3利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义，转化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为2，则limΔA．0 B．12 C．1 【解题思路】根据极限与导数的关系直接求解.【解答过程】根据极限与导数的关系可知limΔ故选:D.【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定义在R上的可导函数，若lim△x→0f(2)−f(2+Δx)2A．−1 B．−14 C．1 【解题思路】根据极限与导数的定义计算．【解答过程】f故选：A．【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数y=fx在x=x0处的导数为1，则limA．2 B．3 C．－2 D．－3【解题思路】利用导数的定义和几何意义即可得出．【解答过程】解：若函数y=fx在x=x∴f'(x则limΔx→0f(故选：B．【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知函数fx的定义域为R，若limΔx→0f1+A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用导数的定义可求得f'【解答过程】由导数的定义可得f'故选：D.【题型4导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】（2023·上海·高三专题练习）limx→2f(5−x)−3x−2=2,f(3)=3，A．2x+y+9=0 B．2x+y−9=0C．−2x+y+9=0 D．−2x+y−9=0【解题思路】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出f'【解答过程】由已知，limx→2f(5−x)−3x−2∴limΔx→0f(3−Δx)−f(3)Δx＝lim∴f(x)在(3,f(3))处切线方程为y−3=−2(x−3)，即2x+y−9=0．故选：B．【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数y=fx的图像在点M3,f3处的切线方程是y=13A．1 B．2 C．3 D．5【解题思路】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在f(x)以及切线上即可求解f(3),f【解答过程】由点M3,f3处的切线方程是y=1x=3时，y=13×3+∴f3故选：B.【变式4-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，则limΔx→0f(1+A．4 B．2 C．1 D．1【解题思路】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得f'(1)=2，再根据【解答过程】∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1，∴f则limΔ故选:C.【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）如图，函数y=fx的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则limΔx→0A．−12 B．2 C．−1 【解题思路】依题意可知切点坐标，由切线方程得到f'【解答过程】依题意可知切点P5,3∵函数y=fx的图象在点P处的切线方程是y=−x+8∴f'5=−1∴limΔ又∵lim∴lim即lim故选：D.【题型5函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知f'x是fx的导函数，f'xA． B．C． D．【解题思路】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.【解答过程】由题中f'x的图象可以看出，在a,b内，且在a,a+b2内，在a+b2,b内，所以函数fx在a,b且其图象在a,a+b2内越来越陡峭，在故选：D．【变式5-1】若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是A． B． C． D．【解题思路】根据函数图象与导函数之间的关系，进行求解即可.【解答过程】∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，对于B，存在使，对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D，对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数fx=ax3+bA． B．C． D．【解题思路】由导函数的图像分析原函数切线斜率，结合选项依次判断即可.【解答过程】由导函数图像可知，原函数fx在区间−∞,1的切线斜率逐渐减小，在x=1结合选项可知，A、B选项不满足在x=1处的切线斜率为1，排除；C选项在区间1,+∞故选：D.【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若y=f'A． B．C． D．【解题思路】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.【解答过程】由导函数得图象可得：x>0时，f'x<0，所以f排除选项A、B，当x>0时，f'x先正后负，所以fx因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.【题型6导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数fx的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（

A．0<B．0<fC．0<D．0<【解题思路】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案．【解答过程】f'2和f'3分别表示函数fx在x=2和x=3处的切线斜率，结合图象可得0<f'3故选：D.【变式6-1】（2022·陕西·教学研究室一模）已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，其中Ax1,fA．f'x1C．f'x3【解题思路】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【解答过程】解：由图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f'在D点的切线斜率等于0，即f'在C点的切线斜率大于0，即f'所以f'故选：B.【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数fx的图象如图所示，下列数