第13章轴对称（知识清单）（14个考点梳理典型例题核心素养提升中考热点聚焦）（原卷版）

第13章轴对称（知识清单）（14个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1.轴对称图形（重点）轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.【例1】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（

）.A．

B．

C．

D．

考点2.轴对称（难点）两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.要点：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.【例2】（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（）A． B． C． D．

考点3.线段的垂直平分线（重点）（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．求做线段AB的垂直平分线作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．要点诠释：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．【例3】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝．考点4.轴对称和轴对称图形的性质（难点）在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.要点：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例4】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，是内的一点，分别是点关于的对称点，交于点于点，交于点，若，则的周长是．考点5.对称轴的画法（重点）【例5】下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？考点6.轴对称变换由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同,这种变换称为轴对称变换.(1)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点(2)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分注意：（1）成轴对称的两个图形中任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的.（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的.【例6】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是-5,2，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（

A．-5,-2 B．5,-2 C．-5,2 D．考点7.画轴对称图形几何图形都可以看作由点组成的,对于某些图形,我们只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于某直线的对称点,连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形如果两个图形关于某一条直线对称,那么连接对称点的线段被对称轴垂直平分(1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点);(2)定——确定各个特殊点关于对称轴的对称点;(3)连——依次连接各对称点注意：（1）找特殊点对画轴对称图形极为重要,找特殊点时,要把确定图形形状的特殊点找全,除线段的端点外,线与线的交点也是画图过程中的特殊点;（2）对称轴上任意一点的对称点是它本身【例7】．（2022秋•灌南县校级月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）求△ABC的面积；（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（3）在如图所示网格纸中，以AB为一边作与△ABC全等的三角形，可以作出个三角形与△ABC全等．考点8.平面直角坐标系中的轴对称（难点）(1)点关于轴对称的点的坐标为特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数(2)点关于y轴对称的点的坐标为特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤(1)计算——计算对称点的坐标(2)描点——根据对称点的坐标描点;(3)连接——依次连接所描各点,即可得到成轴对称的图形【例8】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、(2)请写出A1,B1,C1的坐标分别是A1（______________），(3)请写出点Ma,b关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M【变式】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形△A(2)在x轴上找一点P，使得△PAC1周长最小．请在图中标出点考点9.等腰三角形的性质（重点）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【例9】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（）A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为cm．考点10.等腰三角形的判定（重点）如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【例10】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形．考点11.等边三角形及其性质（重点）1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【例11】（2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（）A．135° B．125° C．120° D．110°考点12.等边三角形的判定（重点）（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例12】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．考点13.含30°角的直角三角形的性质（重点）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【例13】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（）A．2 B． C．3 D．考点14.垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。【例14】如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．5【变式】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A． B． C． D．考点15.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动③两定两动【例15】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．7 B．9 C．10 D．14【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．考点16.造桥选址问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．AMMNN【例16】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄A． B．C． D．【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．【核心素养提升】1逻辑推理——用转化思想求图形的周长1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．2分类讨论思想2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°3.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．4、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．3数学建模——构建方程模型解决问题5.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【中考热点聚焦】热点1.轴对称的性质6.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．7．（2020•吉林）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．8．（2022•桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）热点2.平面直角坐标系中点的对称9．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）10．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）11．（2022•台州）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）12．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）13．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（）A．（1，5） B