第03讲分式（讲义）（原卷版）

第03讲分式目录TOC\o"13"\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一分式的相关概念题型01分式的判断题型02利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围题型03利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围题型04约分与最简公式题型05最简公分母考点二分式的基本性质题型01利用分式的基本性质进行变形题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形考点三分式的运算题型01分式的加减法题型02分式的乘除法题型03分式的混合运算题型04分式的化简求值题型05零指数幂题型06分式运算的八种技巧技巧一约分计算法技巧二整体通分法技巧三换元通分法技巧四顺次相加法技巧五裂项相消法技巧六消元法技巧七倒数求值法技巧八整体代入法考点要求新课标要求命题预测分式的相关概念理解分式和最简分式的概念.在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题.分式的基本性质能利用分式的基本性质进行约分与通分.分式的运算能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.考点一分式的相关概念分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式AB来说：①当B≠0时，分式有意义；②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为1.④若AB>0，则A、B同号;若AB<0，则A、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.约分与通分的联系与区别：联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：类型方法步骤分母为单项式1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.分母为多项式1）对每个分母因式分解;2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;3)若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.11.判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：4aa2.分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义.3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.4.约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母．题型01分式的判断【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，2x2+4，x2﹣2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式11】（2022·上海·上外附中校考模拟预测）下列各式中：a-b2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式12】（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．在代数式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：4aa就是分式，而不是整式.D．若一组数据2、3、x判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：4a题型02利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围【例2】（2023·江苏镇江·中考真题）使分式1x-5有意义的x的取值范围是【变式21】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y=x5x+3中，自变量x的取值范围是【变式22】（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式x3-x无意义，则实数x的值是【变式23】（2023·山东临沂·一模）要使分式x2-1x+1无意义，则x的取值范围是【变式24】（2023·湖北恩施·一模）函数y=x+1x-3的自变量x的取值范围是（A．x≠3B．x≥3C．x≥-1且x≠3 D．x≥-11.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.题型03利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围【例3】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x-13x+1的值为0，则x的值是（

A．1 B．0 C．-1 D．-3【变式31】（2023·四川凉山·中考真题）分式x2-xx-1的值为0，则xA．0 B．-1 C．1 D．0或1【变式32】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m-4m2A．m=4 B．m=-4C．m=±4 D．不存在m，使得m【变式33】（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（

）A．x+1 B．x2-1 C．1x+1【变式34】（2021南充市一模）若分式2-3xx2+1A．x＞32 B．x＞23 C．x＜32 D．【变式35】分式x-3x3-2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【变式36】若分式x+2(x-1)2的值大于零，则x的取值范围是【变式37】下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当x=2时，x+1x-2的值为零 B．当x为任意实数时，31）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号.题型04约分与最简分式【例4】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a2-5aa-5A．a-5 B．a+5 C．5 D．a【变式41】（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（

）A．|-2|=2 B．a2⋅a-3=1【变式42】（2023·河北保定·模拟预测）如图，若x为正整数，则表示分式2x2+2xA．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处【变式43】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：x2+2x+1x+1【变式44】（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（

）A．6xy5x2 B．x-yy-x C．分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法:分子、分母类型具体方法单项式1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂.多项式先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式题型05最简公分母【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式32a2b与a-baA．2a2b2c B．2a【变式51】（2021·内蒙古·二模）分式1-a2+1,1a2考点二分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即：AB=A•CB•C（C≠0）或AB=A÷C分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0.题型01利用分式的基本性质进行变形【例1】（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（

）A．ab=a+ab+b B．ab=【变式11】（2023·福建福州·模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（

）A．c5c=15 B．34a=分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的.题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化【例2】（2023南通市二模）如果把分式x+2yx中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（

A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的1C．扩大到原来的2倍 D．不变【变式21】如果将分式x2+y2x+y中x，yA．扩大到原来的2倍 B．不变C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的14【变式22】（2022·河北·一模）如果要使分式2aa-3b的值保持不变，那么分式应（

A．a扩大2倍，b扩大3倍 B．a，b同时扩大3倍C．a扩大2倍，b缩小3倍 D．a缩小2倍，b缩小3倍【变式23】（2022武安市中考二模）若m，n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（

）．A．m+3n B．3m2n C．m+3n+3题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形【例3】（2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则-2a+b-a-3b＝【变式31】（2023·河北石家庄·二模）若nm=Am≠n，则AA．n-3m-3 B．n+3m+3 C．-n-m【变式32】（2022邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式-aa-b可变形为（

A．aa-b B．aa+b C．a-a-b考点三分式的运算1.1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．3.分式与分式相乘,①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式;②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘.4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即：①正分式的任何次幂都为正;②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负.7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体.如：aa-8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．题型01分式的加减法【例1】（2023·天津·中考真题）计算1x-1A． B．x-1 C．1x+1 D【变式11】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知b>a>0，则分式ab与的大小关系是（

）A． B． C．ab>a+1b+1【变式12】（2023·上海·中考真题）化简：21-x-2x【变式13】（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．例

先化简，再求值：Ma+1-1解：原式=……【变式14】（2023·江苏南京·校联考三模）已知a>0，b>0，证明：1a+1【变式15】（2021·四川乐山·中考真题）已知Ax-1-B2-x=题型02分式的乘除法【例2】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（

）A．xy6 B．xy5 C．【变式21】（2022·内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（

）A．a3+a3=a6 B．a【变式22】（2022·河北石家庄·一模）若□x+y÷xy2A．y－x B．y＋x C．2x D．1【变式23】关于式子x2-9A．当x=3时，其值为0 B．当x=-C．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数【变式24】（2023·安徽·一模）计算-13m2⋅A．m3 B．-m C． D．【变式25】（2023·江苏扬州·中考真题）计算：(1)；(2)．题型03分式的混合运算【例3】（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（1a+b+1a-b）÷★＝2A．aa-b B．a-ba C．aa+b【变式31】（2023·辽宁大连·中考真题）计算：．【变式32】（2023·四川泸州·中考真题）化简：4m+5m+1【变式33】（2023·江西·中考真题）化简xx+1

解：原式=……解：原式=……

(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．题型04分式的化简求值【例4】（2023·湖北武汉·中考真题）已知x2-x-1=0A．1 B．-1 C．2 D．-【变式41】（2023·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中x=2-【变式42】（2023·北京·中考真题）已知x+2y-1=0，求代数式2x+4yx【变式43】（2023·四川广安·中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．【变式44】（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a-4a÷a+2a2先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．题型05零指数幂【例5】（2023·山东聊城·中考真题）-20230的值为（

）A．0 B．1 C． D．-1【变式51】（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2-23【变式52】（2021·重庆·中考真题）计算：9-(π【变式53】（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（

）A．a6a3=C． D．-1【变式54】（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（

）A．-2 B．-2 C．2-1 D题型06分式运算的八种技巧技巧一约分计算法方法介绍：在通分比较麻烦的情况下，我们可以先将分子、分母因式分解，因式分解后进行约分，最后通分计算.【例6】（2022·浙江衢州·中考真题）化简：a-【变式61】（2022·广东揭阳·二模）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．x=(x+3)(x-=x-=2(x-=2x-=2x-=-5(1)填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是；②第

步开始出现错误，这一步错误的原因是

；(2)请直接写出该分式化简后的正确结果：．技巧二整体通分法方法介绍：可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体，再进行化简通分得出答案.【例7】（2023·陕西西安·校考二模）化简：4ab2a+b【变式71】（2023·浙江嘉兴·一模）化简：x+1+xx+1+==你认为他的解法是否正确？（

）若正确，请在括号内打“√”；若错误，请在括号内打“×”，并写出正确的解答过程．【变式72】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）计算．(1)1(2)．(3)a(4)a2技巧三换元通分法方法介绍：在分式中有相同的复杂项时，可以通过换元的方法，使计算更加简单.注意，整理结束后要将原式转换回来.【例8】计算：(3m-技巧四顺次相加法方法介绍：当分式项数过多、分母不同，不容易通分时.我们采用顺次相加的方法提高正确率.先把前两个分式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简.【例9】计算：1x【变式91】计算：1x技巧五裂项相消法方法介绍：根据公式把每一项写成两个分式差的形式.分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果.【例10】观察下面的变形规律：11×2=1-12，1(1)若n为正整数，请你猜想1nn+1(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明1n【变式101】计算：1aa+1＋1a+1a+2＋1a+2