24.2.1点和圆的位置关系（原卷版）

24.2.1点和圆的位置关系了解点和圆的三种位置关系的图形特征;掌握点到圆心的距离与半径之间的数量关系;掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”,并能作出这个圆了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明，掌握直线和圆的三种位置关系的特点及判别方法:了解割线、切线的概念:掌握切线的判定和性质，并能灵活运用，了解并会应用切线长定理,了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念体验数形结合思想和建模思想,提高解决实际问题的能力.知识点一点与圆的位置关系点与圆的位置关系点到圆心的距离d与半径r数关系图形推理过程点在圆内d＜r点A在圆内点在圆上d＝r点A在圆上点在圆外d＞r点A在圆外即学即练（2022秋·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm若以点A为圆心作⊙A，使BA．3<r<4 B．4<r<5 C．知识点二圆的确定条件依据作图圆的个数过一个点作圆经过一个点A作圆,只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以作出无数个过两个点作圆经过两个点A，B作圆，只要以与点A,B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径作圆就可以无数个过不在同一条直线上的三个点作圆经过不在同一条直线上的三个点A，B,C作圆,圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处,以0为圆心,线段OA(或OB,OC)为半径可作出经过A,B,C三个点的圆一个性质:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.即学即练（2022秋·广西河池·九年级统考期末）将图中破损的轮子复原，已知点A，B，C在弧BC上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接BC，若点A是弧BC的中点，BC=8，点A到BC的距离是3，求轮子的半径R知识点三三角形的外接圆1.定义经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形.2三角形的外心三角形三条边的垂直平分线的交点3.三角形外心的性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径4.三角形外心的位置锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是斜边中点:钝角三角形的外心在三角形外部5.三角形外接圆的作法分别作出三角形两条边的垂直平分线,两垂直平分线的交点O即为该三角形的外接圆的圆心，于是以点0为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆.知识点四反证法1.反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法反证法是一种间接证明命题的方法2.用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发，经过推理论证,得出矛盾:(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确题型1判断点与圆的位置关系例1（23·24上·徐州·阶段练习）已知的半径为，A为线段的中点．若为，则点A在的位置关系是（）A．A在圆内 B．A在圆内 C．A在圆内 D．无法确定举一反三1（23·24上·福州·期中）已知的半径是，若点在内，则的长可以是（写出一个符合条件的的长即可）．举一反三2（23·24上·南通·期中）若的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，那么点P在的．题型2利用点与圆的位置关系求半径例2（23·24上·白城·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（写出一个即可）．举一反三1（23·24上·邢台·期中）已知的直径为8，点在内．若的长为正整数，写出一个符合条件的的长度：．举一反三2（23·24上·朝阳·期中）如图，矩形中，，若以A为圆心，r为半径作圆，使得B、C、D三个点中恰有一个点在圆外，请写出一个符合条件的r的值．题型3已知半径和圆上两点作圆例3（21·22上·滨州·期末）已知AB＝12cm，过A，B两点画半径为8cm的圆，则能画的圆的个数为(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个举一反三1（22·23下·绥化·二模）如图，在中，，平分，(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，若，求的半径．举一反三2（20·21·泰安·一模）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．（1）求这个抛物线的表达式．（2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．（3）①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．题型4三角形外接圆的说法辨析例4（21·22上·随州·期末）如图，，是的直径，弦与交于点F，连接，，，，下列三角形中，外心是点O的是（

）A． B． C． D．举一反三1（23·24上·江门·阶段练习）如图，点C为的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），(1)求证：是该外接圆的直径；(2)连接，问；三条线段满足什么样的等量关系，并证明．举一反三2（23·24上·长沙·阶段练习）如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H．(1)如图1，若，求该抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）；(3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值．题型5求三角形外心坐标例5（23·24上·南通·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是．举一反三1（23·24上·南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为．举一反三2（23·24上·福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．(1)把绕点顶时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的：(2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；(3)若点为的外心，请直接写出点的坐标______．题型6求特殊三角形外接圆的半径例6（23·24上·潍坊·阶段练习）在中，，则外接圆的半径为．举一反三1（21·22下·武汉·自主招生）关于x的方程有两个不相等的实数根，以这两个根作为等腰的底边长和腰长，这样的等腰三角形有且仅有一个．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，求该等腰三角形外接圆半径．举一反三2（23·24上·连云港·阶段练习）在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接，．(1)如图1，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______．(2)当时，①如图2，连接，探究线段，，之间的数最关系，并说明理由；②如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值．题型7已知外心的位置判断三角形的形状例7（23·24·全国·专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（）A．4 B．5 C． D．举一反三1（21·22下·宣城·自主招生）如图，锐角的外心为，直线交边于点，为的中点，在上的射影点为，为上的点，且，交于点，求证：(1)；(2)．举一反三2（21·22下·石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围．题型8判断三角形外接圆的圆心位置例8（23·24上·和平·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．（Ⅰ）线段的长等于；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹）举一反三1（22·23上·淮安·阶段练习）如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；(2)若，求小明家花坛的周长（结果保留π）举一反三2（23·24上·杭州·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在坐标系中的位置如图所示．(1)作出绕原点O逆时针方向旋转90°后的；(2)作出的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线．(3)请直接写出的外接圆圆心坐标为．题型9判断确定圆的条件例9（23·24上·哈尔滨·期中）下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三1（23·24上·杭州·期中）下列命题正确的是（

）A．相等的弦所对的弧相等．B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧．C．过三点能作一个圆．D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等．举一反三2（23·24上·齐齐哈尔·期中）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③的圆周角所对的弦是直径；④相等的圆心角所对的弦相等；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型10确定圆心（尺规作图）例10（23·24上·南京·阶段练习）已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑．举一反三1（23·24上·南昌·期中）如图，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺作图，(1)画出圆心；(2)画弦，使平分．举一反三2（23·24上·济宁·期中）如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．(1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）(2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R．题型11求能确定的圆的个数例11（23·24上·邢台·期中）如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．12 B．8 C．6 D．4举一反三1（23·24上·全国·专题练习）平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4举一反三2（22·23·江西·中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型12画圆（尺规作图）例12（23·24上·宿迁·阶段练习）如图，已知(1)用直尺和圆规作出的外接圆；(2)若，，求的半径．举一反三1（23·24上·温州·阶段练习）如图，已知为的一段弧，请根据要求画出图形．(1)在图中找出的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）．(2)点A在上，在上找一点P，使得是直角三角形，且举一反三2（22·23上·武汉·阶段练习）已知四边形ABCD，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图1，连接BD，作的外接圆O，再在BC边上画点M，使；(2)如图2，在AB的延长线上画点E，使，再在BC边上画点N，使．题型13举反例例13（23·24上·绍兴·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（

）A．两个角分别为， B．两个角分别为，C．两个角分别为， D．两个角分别为，举一反三1（21·22上·湖州·期中）下列选项中可以用作证明命题“若，则”是假命题的反例是（

）A． B． C． D．举一反三2（22·23上·西安·期末）证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是．题型14反证法证明中的假设例14（22·23下·湖州·期中）用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设（）A．等腰三角形的底角是直角B．等腰三角形的底角是直角或钝角C．等腰三角形的底角是钝角D．底角为锐角的三角形是等腰三角形举一反三1（21·22下·佛山·阶段练习）命题“若中，，则”，若用反证法证明此命题时，应假设：．举一反三2（22·23上·永州·期中）用反证法证明“对于任何有理数a，b，若，则或”，第一步应先假设．题型15用反证法证明命题例15（22·23下·沈阳·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设．举一反三1（23·24上·全国·课时练习）求证：两直线平行，内错角相等．如图1，若，且，被所截，求证：．以下是打乱的用反证法证明的过程：①如图2，过点作直线，使；②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；③假设；④∴；⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是．举一反三2（22·23下·杭州·阶段练习）如图，已知直线，，E、F在线段上，且满足，平分，．

(1)与是否平行？说明理由；(2)求的度数；(3)若平行移动线段，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．一、单选题1．（22·23·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（

）A．8 B．4 C．3.5 D．32．（22·23·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（

）A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法3．（22·23·通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在中，．求作：的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线，交于点O；（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（

）A．两点确定一条直线B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等4．（21·22下·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（21·22下·十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（21·22·邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（21·22下·常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是．8．（21·22下·玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来．9．（20·21下·宜宾·中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动