2019年高考数学全国二卷

2019年高考数学全国二卷2019年高考数学全国二卷的题目较为基础，主要考察学生对基本知识点的掌握和运用能力。以下是对题目的解析和相应的参考内容。

1.设集合$A=\{x|x^2+\frac{1}{x^2}=3\}$，则$0\notinA$。求$A$的元素个数。

解析：根据题目给出的条件，我们可以列出方程$x^2+\frac{1}{x^2}=3$。将分母移到等号左边并通分，得到$x^4-3x^2+1=0$，进一步整理得$(x^2-1)(x^2-1)=0$，得到$x=1$或$x=-1$。

因此，集合$A$的元素只有$x=1$和$x=-1$，即$A=\{1,-1\}$，元素个数为2。

2.已知函数$f(x)=\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)},x\in(0,\frac{1}{3})$，求$f(x)>0$的解集。

解析：首先我们应该注意到要使分式$\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)}$大于0，要求分子和分母同时大于0或同时小于0。由于对数函数的定义域为正数集合，所以要使$\lg(1-2x)>0$和$\lg(1-3x)>0$均成立。

首先，由于对数函数的性质，$\lg(1-2x)>0$等价于$1-2x>1$，得到$x<\frac{1}{2}$。再由于$\lg(1-3x)>0$等价于$1-3x>1$，得到$x<\frac{1}{3}$。综合以上两个不等式，得到$x<\frac{1}{3}$。

综上所述，$f(x)>0$的解集为$x\in(0,\frac{1}{3})$。

3.已知向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$等于多少？

解析：计算点积$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$，根据点积的定义$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$，其中$\theta$为$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$之间的夹角。

首先计算向量的模，我们有$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

接下来计算夹角$\theta$，根据向量的定义，令$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OQ}$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=OP\cdotOQ\cdot\cos{\theta}$，其中$OP$和$OQ$分别表示向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$在坐标系中的投影。

根据向量的定义，点$P$的坐标为$(2,-1)$，点$Q$的坐标为$(1,3)$，所以$OP=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，$OQ=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

因此，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos{\theta}=\sqrt{50}\cos{\theta}$。

4.已知函数$f(x)=\sin{\frac{\pi}{3}-x}$，求$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上的最小值。

解析：首先，我们计算函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$的导数。根据反正弦函数的导数公式$\frac{d}{dx}\sin^{-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，我们有$\frac{d}{dx}\sin{\frac{\pi}{3}-x}=-\cos{\frac{\pi}{3}-x}$。

接下来，我们求导函数$-\cos{\frac{\pi}{3}-x}$在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上的极值点。由于该函数为三角函数，其极值点出现在零点和周期点。我们观察到该函数周期为$2\pi$，则极值点要出现在$x=0$处以及$x=\frac{\pi}{3}$处。

所以，我们只需要计算函数在这两个点处的函数值。当$x=0$时，$f(x)=\sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；当$x=\frac{\pi}{3}$