2023年人教版高考数学总复习大题规范满分练(三)数列综合问题

大题规范满分练(三)数列综合问题

1.已知数列QJ中，a=2,S为数列｛4｝的前〃项和，当时，

Sn~~~43.n—|•

(1)证明：数列｛为+「2%｝为等比数列；

⑵求数列｛&，｝的通项公式.

【解析】(1)因为当〃22时，S=4a〃_i,所以S+i=4a〃,

两式4相减，得a+i=4&-4aL1,

即&+T-24=2(4一28LI).

易知&+必=4方1,又a=2,所以a=6,

则3.2—2al=2,

所以｛a“+i—2aj是首项为2,公比为2的等比数列.

⑵由(1)得a〃+|-2a“=2”,则融•一关=1，

所以枭是首项为夺=1,公差为;的等差数列，

乙乙乙

得垓=1+(〃-1)xg=^~2^~，

所以a=—

2.已知数列｛4｝的前n项和为$,且5=洛数列｛4｝的前n项积为T..,且北=(十)

⑴求｛a｝,｛〃｝的通项公式；

⑵求数列｛a点｝的前〃项和优

【解析】(1)〃=1时,a=S=l；

=

时，anSff—Sfl-i=n—(〃-1)'=2〃-1,

经检验，当〃=1时，满足4=2〃-1,因此a=2〃一L

n=l时,"=71=3；

A22时，bn=Y-=虚)"：=(m)2〃=3",

4-i(73)(n-l)+n-1

=

经检验，当n=1时，满足4=3",因此bn3\

⑵由⑴知a,a=(2〃-1)义3",

7^,=1X3+3X32+5X3:!H---F(2/7-1)X3",

3M=1X32+3X33+5X34H----1-(2/?-3)33"+(2n-1)X3n+1,两式相减得-2K=3+

/\9—

2(32+33+3'H---F3")-(2/7-1)X3fi,'=3+2X^-^-——(2)一1)X3n+,=-6-(2/7-2)X

1-o

3"T,故必=3+(〃-1)X3"1

3.在数列｛a｝,⑻中，已知数列｛1｝的前〃项和S满足2s“=&也一1(〃eN+)

(1)若勿=〃+2,求数列｛4,｝的通项公式;

⑵若a“=2",求数歹1|｛4｝的前〃项和T,,.

【解析】(1)因为勿=〃+2,

所以2S=(〃+2)&一1,

当〃=1时,2&=3国-1,得a=1,

当时，2sLi=(4+1)4-1-L

又因为2S=(〃+2)an—1,

两式相减得：2&=(〃+2)&—

所以〃a“=(〃+1)a,-i，即旦'=〃+1

n

所以生=14曲54_n+_\_

34，

32，a3n

345〃+1A+1

由累乘法可党=■—XTx-X-X----

234n2

因为a=l,所以a=”工，

经检验，〃=1时也符合，所以4=号

2(1—2")

⑵因为&=2",所以$=一^=2—2,

3

所以2(2*—2)=2乜-1,可得乩=4—亍,

所以北=(4—|)+(4—同+…+(4—同

="-3(泻+…司

,3

=4/7—3X=4z?+——3.

X乙

1-2

4.已知数列｛4｝的首项a=l,前〃项和为S,且数列样是以1为公差的等差数列.

（1）求数列」一〔的前〃项和北；

（2）设等比数列匕｝的首项为2,公比为q（q>0）,其前〃项和为P„,若存在正整数加,使得近

是S,与A的等比中项，求q的值.

CC

【解析】（1）由题设可得：-=7十〃-1=〃，

n1

2

即S,=/A又当〃22时，a=S,—Sfl-\=ri—（/?-1）=2/i—1,当〃=1时，句=1也适合上式,

所以a“=2〃-1,w=（2/7-1）（2/7+1）=

2J—2〃+1），所以北=

I（1-鸿-*，+出-藻I）

」k__O_^_

一212/7+1J-=2/7+1,

（2）由（1）可知:S“=3

因为4&是S与A的等比中项，

所以S=S-R,则9=石（2+20+2（72）,

9Q

所以p=2+2q+2/,因为g>0,所以p>2,

mm

因为/WN*,所以加=1或2,

当勿=1时，2