2023届广西蒙山县一中高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.）

1.设向量@=（l.cos^）与B=（-1，2cos0）垂直，则cos26等于

A.也B.1

22

C.0D.-1

2.已知2a2+2尸=°z,则直线ax+by+c=0与圆X?+）3=4的位置关系是

A.相交但不过圆心B.相交且过圆心

C.相切D.相离

3.已知x,y满足x+y+3=0,求（x+l『+（y—2）2的最小值为（）

A.2B.20

C.8D.2+V2

4.已知〃_7七b=20-8»c=log,4.1,则”，b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD，a<b<c

5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，

五分记录法的数据L和小数记录表的数据丫的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视

力的小数记录法的数据为。（啊a1.259）

A.1.5B.1.2

C.0.8D,0.6

6.函数^=优一,（。>0,。71）的图像可能是（）.

①②

7.如图所示，AA'B'C'是水平放置的aABC的直观图，则在aABC的三边及中线AD中，最长的线段是()

C.BCD.AC

8.如果函数/(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x<3时，函数/(x)的图象如图所示，那么不等式/(x)cosx<0

的解集是

7TTTTT7[

A.(-3,--)u(O,l)u(-,3)B.(--,-l)u(0,l)u(-,3)

2222

TT

C.(-3,-l)50,1)5L3)D.(-3,--)u(0,1)u(1,3)

2

9.已知函数Hx）=Acos（@x+p）的图像如图所示，f-»则犬。）=（）

1

A.---B.一一

32

21

C.一D.—

32

10.函数/（幻=2'-3+1083%的零点所在区间是。

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,+co)

11.下列函数中为奇函数的是（）

1

A-y=rB.y=2x

x

C.y=InxD.y=2x

12.满足{1}=AU{1,2,3}的集合A的个数为（）

A.2B.3

C.8D.4

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.设江、5为平面向量，若存在不全为零的实数入，“使得入口+|15=0,则称1、5线性相关，下面的命题中，a>

B、均为已知平面M上的向量

①若@=2B，则万、5线性相关;

②若。、5为非零向量，且1,5,则日、5线性相关

③若。、B线性相关，b>^线性相关，则。、^线性相关；

④向量日、5线性相关的充要条件是万、5共线

上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）

14.已知函数y=。,x-2+3（。>0且过定点P,且尸点在募函数/（X）的图象上，则/（3）的值为

15.用根表示函数y=sinx在闭区间/上的最大值.若正数。满足看0同2"1/2司，则。的最大值为.

16.已知函数/(%)=1。83%+2*-6的零点为。，则a€(〃,〃+l)(〃eN),贝!)〃=

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

r1

17.已知函数f(x)=log.——,(。>0且〃wl.)

x-1

(1)求/(X)的定义域，并判断函数/(X)的奇偶性；

m

(2)设。>1,对于xe[2,7],/(x)>log-~~；恒成立，求实数股的取值范围

18.已知函数/(%)=4*-2-2川+。，其中xe[0,3]

(1)若/(x)的最小值为1,求〃的值；

(2)若存在xe[0,3],使/(x"33成立，求a取值范围；

(3)已知g(x)="2v,在(1)的条件下，若/(x)Ng(x)恒成立，求,”的取值范围

19.已知二次函数/(X)满足“x+l)—/(x)=2x,且/⑼=1.

(1)求函数/(x)在区间[一1』上的值域；

(2)当xeR时，函数y=-“与y=/(x)-3x的图像没有公共点，求实数。的取值范围.

20.已知函数/(x)=Asin(ox+°)(A>0,o>0)的部分图像如图所示.

(1)求函数“X)的解析式；

(2)若函数/(x)在[0,可上取得最小值时对应的角度为。，求半径为2,圆心角为。的扇形的面积.

2

21.已知函数4x)=a-.

X

(1)若“(D=/(2),求a的值；

(2)判断/U)在(-8,0)上的单调性并用定义证明.

22.已知函数/(x)=2cosx(J^sinx+cosx)-l.

(1)求/(x)的周期和单调区间；

(2)若/(a)=|,

,求cos2。的值.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、C

【解析】：；a±b,:.ah=0,.,.-1+2cos20=0,.,.cos2。=2cos20-\=0.正确的是C.

点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.

2、A

【解析】•••2才+2/=*

.,.a2+Z>2=—.

2

/.圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=-^2<2,

二直线ax+by+c=0与圆/+/=4相交，

又,点(0,0)不在直线ar+by+c=0上，故选A

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系

(2)代数法：联立方程之后利用A判断

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题

3、C

【解析】利用两点间的距离公式结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】解：(x+l『+(y—2)2表示点(-1,2)与直线工+)，+3=0上的点(x,y)的距离的平方

所以(x++(y—2)2的最小值为点(-1,2)到直线x+y+3=0的距离的平方

所以最小值为：［比2+?=8

故选：C.

4、D

【解析】

与中间值1和2比较.

1

【详解】73=二<1,］<2。8<21=2，Iog24.1>log24=2,所以。<方<。

V

故选：D.

【点睛】本题考查幕与对数的大小比较，在比较对数和哥的大小时，能化为同底数的化为同底数，再利用函数的单调

性比较，否则可借助中间值比较，如0,1,2等等.

5、C

【解析】根据关系，当L=4.9时，求出IgV,再用指数表示V,即可求解.

【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0.1,

故选：C.

6、D

【解析】丫。〉。，.•.函数y=a'需向下平移工个单位，不过(0,1)点,所以排除A,

a〃

当。>1时，...Ov'vl,所以排除B,

a

当0<a<l时，...L〉］,所以排除C,故选D.

a

考点：函数图象的平移.

7、D

【解析】因为A，B，与y，轴重合，B-Cz与X，轴重合，所以AB_LBC,AB=2ArBSBC=B，C，.所以在直角△ABC中,

AC为斜边，故AB<AD<AC,BC<AC.

故选D.

8、B

【解析】图2

如图1为f(x)在(-3,3)的图象，图2为y=cosx图象，要求得/(x)cosx<0的解集，只需转化为在(-3,3)寻找满足

/(X)>0„/(X)<071,,

如下两个关系的区间即可：或£x〉。,结合图象易知当一»一1)时，八球0,8SX〉0'当一0，1)

时，/(x)(0,cosx)0,当xe(W，3)时，/(x)>0,cosx<0,故选B.

考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.

9、C

【解析】根据所给图象求出函数的解析式，即可求出/(0).

【详解】设函数的周期为T,由图像可知工="-巫=生，则丁=二，故“=3,

2121233

将代入解析式得cos或？；gj=0,

112)秒12

11TT97r

则一7i+(p=——I-2kji(kGZ),所以*=-----

424

令。=一?，代入解析式得/(x)=Acos(3x—?J

又因为/(])=,解得人

故选：C.

【点睛】本题考查根据三角函数的部分图象求函数的解析式，属于基础题.

10、B

【解析】计算出/⑴,/(2),并判断符号向零点存在性定理可得答案.

【详解】因为/(D=2-3+log31=-l<0,7(2)=22—3+log32=l+log32>0,

所以根据零点存在性定理可知函数/(%)=2"-3+log3x的零点所在区间是(1,2),

故选:B

【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间，解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号，如果

异号，说明区间内由零点，属于基础题.

11、D

【解析】利用奇函数的定义逐个分析判断

【详解】对于A,定义域为因为/(一幻=已1=*=/(幻，所以/(X)是偶函数，所以A错误，

对于B,定义域为R,因为/(-%)=2T声-/(X),且/(-x)=2T*/(X),所以f(x)是非奇非偶函数，所以B错误,

对于C,定义域为｛x|x>0｝,因为定义域不关于原点对称，所以/(幻是非奇非偶函数，所以C错误，

对于D,定义域为R,因为/(—x)=-2x=-/(x),所以/(x)是奇函数，所以D正确，

故选：D

12、B

【解析】列举出符合条件的集合A,即可得出答案.

【详解】满足｛l｝=A(j｛l,2,3｝的集合A有：｛1｝、｛1,2｝、｛1,3｝.

因此，满足｛1｝=AU｛1,2,3｝的集合A的个数为3.

故选：B.

【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，

属于基础题.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、

【解析】利用力和B线性相关等价于。和B是共线向量，故①正确，②不正确，④正确.通过举反例可得③不正确

【详解】解：若B线性相关，假设入wo,则日=-45,故。和5是共线向量

反之，若。和B是共线向量，则万=一与，即入之+访=0,故。和B线性相关

A

故。和B线性相关等价于。和5是共线向量

①若M=2b,则汗一26=0，故汗和5线性相关，故①正确

②若1和5为非零向量，al-b，则7和5不是共线向量，不能推出方和方线性相关，故②不正确

③若d和5线性相关，则己和B线性相关，不能推出若〃和了线性相关，例如当6=。时，

1和5可以是任意的两个向量.故③不正确

④向量不和方线性相关的充要条件是汗和B是共线向量，故④正确

故答案为①©

【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确M和5线性相关等价于G和方是共线向量，

是解题的关键

14、9

【解析】由指数函数的性质易得函数过定点(2,4),再由帚函数过该定点求解析式，进而可求/(3).

【详解】由y=a"2+3知：函数过定点(2,4),若/*)=/，贝！|2"=4,即〃=2,

/./(x)=x2,故八3)=9.

故答案为：9.

9兀

15、——

8

【解析】对。分类讨论，利用正弦函数的图象求出和Mie，代入M[o同之风小2“]，解出”的范围，即可得

解.

【详解】当0<2a<]，即0<a<?时，叫口㈤=sina,叫C可=sin2a,因为sina<sin2a,所以叫。,句20kl

不成立；

当2a<乃,即时'%o,"]=sina,叫",2句=1，不满足叫。㈤之夜叫曲]；

=1Wsin

当兀工2a<2兀,即不时，.[„,2«]=«>由加口川之"'"⑶”得1»&sina，得sinaV也，

22

但3冗//

得W。K7T;

4

当2万<2a<：，即"<a<•时，=1,^[„,2a]=sin2a,由%o.,产a%1M得12&sin2a，得

/?q冗q冗

sin2a<—,得2万<2。0,得乃<。<—-；

248

当多2a45-即答a卷时,叫刎=］，综回=1，不满足叫“产可印

当为>5%,即。>当时，%。旬=1,外加=1，不满足啊。同2对

综上所述：^3乃<a<^9~万.

48

971

所以a得最大值为丁

O

故答案为：?9兀

8

【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，利用正弦函数的图象求出Mg”和知小2〃］是解题关键.

16、2

【解析】根据函数的单调性及零点存在定理即得.

【详解】•.•函数/(x)=log3X+2'—6,函数在(0,+©)上单调递增，

23

X/(2)=log32+2-6=log32-2<0,/(3)=log33+2-6=3>0,

Aae(2,3),即及=2.

故答案为：2.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)定义域为(-8,-1)11(1,+8)；〃力为奇函数；⑵()<加<8

V*_1_1

【解析】(1)由函数/(X)的定义域满足——>0,可得其定义域，由/(-x)+/(x)=。可判断其奇偶性.

X—1

x+1m

(2)先由对数型函数的定义域可得/〃>0,当a>l时，由对数函数的单调性可得一7在xe［2,7］上恒

x-i(x-l)(8-x)

成立，即机<(x+l)(8—x)在2WxW7上恒成立，即可得出答案.

V4-1yJ-1

【详解】(1)由题意，函数一,由——>0,

x-\x-1

可得尤>1或x<—l,即定义域为(e,—1)U(1,”)；

由.f(-x)+f(x)=loga=■+log”=log“1=0,

%+1x-1

即有/(一x)=—/(x),可得/(X)为奇函数；

m

(2)对于[2,7],/(x)>Iog恒成立,

rt(x-l)(8-x)

m

由2«xW7,贝!)(x-l)(8—x)>0,X-~—~~->0,则加>0

(x-l)(8-x)

x+1m

由a>1,即二T>在XE[2,7]上恒成立.

(x—1)(8—x)

由2〈尤<7,即加<(x+D(8-x)在2Kx<7上恒成立.

(7、2Q1

由y=(1+1)(8_幻=_x——+一，

、2)4

可得x=7时，y取得最小值8,则0<机<8,

因此可得，时，加的取值范围是：0<相<8

【点睛】关键点睛：本题考查对数型函数的定义域和奇偶性的判断，不等式恒成立求参数问题，解答本题的关键是由

m

对数型函数的定义域则满足;""—""7>0,可得6>0,然后将问题化为由2<xK7,即加<(工+1)(8-处在

(九一1)(8—幻

2<x<7上恒成立，属于中档题.

18、(1)5(2)a>\

(3)m<2^-4

【解析】(1)采用换元法，令r=2',并确定f的取值范围，化简为关于/二次函数后，根据其性质进行计算；

(2)将存在xe[0,3],使"x)Z33成立，转化为存在xe[0,3],/(x)四233,求出/(x)的最大值列不等式即

可；

(3)根据第(D问的信息，将/(x)Ng(x)转化为关于/的不等式，采用分离参数法，使用基本不等式，求得比的

取值范围.

【小问1详解】

令f=2*,则7e[l,8],=-4/+a=(Z-2)2+a-4,

当t=2时，/(同“而=4—4=1,解得4=5

【小问2详解】

存在xe[0,3],使f(x)N33成立,等价于存在x«0,3],/(力皿N33,

由(D可知/(f)=(r-2)2+a-4,

当。时，解得

=8/(%)"1ax=a+32N33,

【小问3详解】

由(1)知，”=5,贝！|/(x)=4'—2-24+5

又g(x)=加2,则/(x)Ng(x)恒成立，等价于4“一2・2」+52”2*恒成立，

又f=2'，则等价于――射+52力，

即机<卜+*—4)=26—4,当且仅当『=逐时等号成立

\Jmin

「3J

19、(1)-,3

_4_

(2)a>3

【解析】(1)通过已知得到方程组，解方程组即得二次函数的解析式，再利用二次函数的图象求函数的值域得解;

(2)求出y=d-4x+i,等价于一。<卜2-4%+1)而，求出二次函数最小值即得解.

【小问1详解】

解：设/(*)=办2+法+c(a*o)、

/、「2。=2

.•・/(x+l)-/(x)=2or+a+Z?=2x,：,48°,

••a=l9b=—19

又/(0)=1,・・・c=l,，/(力=%2_%+1.

•.•对称轴为直线x=；,-1<X<1,/(；］=；，/(—1)=3，

'3'

函数的值域-,3.

_4_

【小问2详解】

解：由(1)可得：y-/(x)-3x=x2-4x+l

•.•直线y=-。与函数y=/(x)-3x的图像没有公共点

：・一。<(%2—41+1),

\/min

当x=2时，(%2-4X+1).=-3

\/mm

：,—a<—3,:•a>3・

20、(1)/(x)=2sin2x+—.

【解析】(1)由图象观察，最值求出A=2,周期求出。=2,特殊点求出。=「，所以/(x)=2sin

由题意得。=<，所以扇形面积:一

33

试题解析：

(l)YA>0,.•.根据函数图象，得A=2.

又周期7满足二二-7一一二］二:，刃>。，；・7=万解得69=2.

当了=:时,ITIT

2sinI2x—+0=2.*.—­¥(/)=—+2k兀,kGZ.

/.0=2+2&%,&eZ.故/(x)=2sin12x+^J.

⑵•函数的周期为左，二/⑺在［0，句上的最小值为-2.

由题意，角8(04"")满足〃6>)=—2,即sin(26+小=-1.解得6=署.

二半径为2,圆心角为。的扇形面积为

S=J_%2」x2x4=也.

2233

21、(1)3(2)/(x)在(-8,0)上是单调递增的，证明见解析

【解析】(D由已知列方程求解；

(2)由复合函数单调性判断，根据单调性定义证明；

【小问1详解】

'：2f(1)=/(2),：.2(a-2)=a-l,

；・。=3.

【小问2详解】

八x)在(一oo,0)上是单调递增的，证明如下：

设Xl,X2S(—00,0),且Xl<X2,贝!)

22222(2%2)

f(x1)-f(X2)=(a——)—(a——)=

xtx2

VX19冷£(—8,0),/.XlX2>0.

又X1<X29Axi—X2<0>

.,./ixi)—/(X2)<o,即y(xi)sAx2),

2

.•./(x)="一一在(一划0)上是单调递增的.

X

4-3^

22、(1)周期为乃，增区间为一二+k兀.+履(左eZ),减区间为—+k7r,—+k7r(斤eZ)；(2)

366310

【解析】Q