一元二次方程应用问题课件北师大版九年级上册数学

一元二次方程应用问题知识链接：一元二次方程概念解法实际应用只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax

2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.配方法公式法因式分解法根的判别式当

b2-4ac

＞

0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac

＝

0时，方程有两个相等的实数根；当

b2-4ac

＜

0时，方程没有实数根．设审设未知数，可以根据题目的实际情况选择直接设法和间接设法.通过审题明确已知量和未知量，读懂它们之间的关系.列根据题目中的等量关系列方程.解选用合理的方式求出所列方程的解.验检验所求出的解能否满足所列方程.检验所求出的解是否能符合题意.答写出完整的答案，切忌所答非所问.知识链接：利润问题1例1

某商店经销一种玩具，销售成本为每件20元，据市场分析，若按每个25元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，当销售单价为多少元时，月销售利润能够达到4000元.思路分析：

每件商品利润销量涨价x元总利润每件商品利润×销量（500-20x）件售价-进价：（25+x-20）元（25+x-20）（500-20x）元解：设销售单价涨x元，根据题意，得（25+x﹣20）(500﹣20x)＝4000.

解这个方程，得

x1＝5，x2＝15．

x＝5时，25+5=30，x＝15时，25+15=40.答：当销售单价30元或40元时，月销售利润能够达到4000元．例1

某商店经销一种玩具，销售成本为每件20元，据市场分析，若按每个25元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，当销售单价为多少元时，月销售利润能够达到4000元.思路分析：

例1

某商店经销一种玩具，销售成本为每件20元，据市场分析，若按每个25元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，当销售单价为多少元时，月销售利润能够达到4000元.思路分析：

每件商品利润销量销售单价x元总利润每件商品利润×销量[500-(x-25）×20]件售价-进价：（x-20）元（x-20）[500-(x-25）×20]元解：设销售单价x元，根据题意，得（x﹣20）[500-(x-25）×20]＝4000.

解这个方程，得

x1＝30，x2＝40．答：当销售单价30元或40元时，月销售利润能够达到4000元．例1

某商店经销一种玩具，销售成本为每件20元，据市场分析，若按每个25元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，当销售单价为多少元时，月销售利润能够达到4000元.思路分析：

思路分析：

巩固内化A级

一款服装每件进价为80元，销售单价为120元时，每天可售出40件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出4件．（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加

件，每件商品盈利

元（用含x的代数式表示）；（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利2400元.解：设每件服装降价x元，根据题意，得（120﹣x﹣80）（40+4x）＝2400.解这个方程，得

x1＝10，x2＝20．又∵为了扩大销售量，增加利润，x＝10时，销量为40+4×10=80，x＝20时，销量为40+4×20=120，80＜120，x＝10不合题意，舍去，∴x＝20．答：每件服装降价20元时，能扩大销售量，增加利润并且商家平均每天能赢利2400元.4x（40﹣x）巩固内化B级思路分析：一款服装每件进价为80元，销售单价为120元时，每天可售出40件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出4件．（3）商家能达到平均每天盈利3600元吗？请说明你的理由.商家不能达到平均每天盈利3600元，理由如下：设每件服装降价y元，根据题意，得依题意得：（120﹣y﹣80）（40+4y）＝3600.整理得：y2﹣30y+500＝0．这里a=1，b=-30，c=500．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，∴此方程无解，即不可能每天盈利3600元．巩固内化C级思路分析：方法一新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？(尝试用不同方法解决这一问题)北师大版数学九年级上册54页例2巩固内化C级思路分析：方法二新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？(尝试用不同方法解决这一问题)北师大版数学九年级上册54页例2巩固内化C级思路分析：方法三解：设每台冰箱降价应为50x元，每天多售出4x台，依题意得（2900-50x﹣2500）（8+4x）＝5000解方程得x1＝x2＝32900-50×3=2750元答：每台冰箱的定价应为2750元．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？(尝试用不同方法解决这一问题)北师大版数学九年级上册54页例2变化率问题2知识链接：若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为其中增长取+,降低取－例2北师大版数学九年级上册56页第7题改编

某公司前年缴税40万元,（1）如果每年缴税的增长率都是10%，去年的缴税金额将达到多少万元？（2）如果每年缴税的增长率都是10%，今年的缴税金额将达到多少万元？（3）若今年缴税万元，设该公司缴税的年均增长率为x，则可列出方程_______________(不需要化简).40（1+x）2＝40×（1+10%）=44万元.答：去年的缴税金额将达到44万元40×（1+10%）2万元.答：今年的缴税金额将达到万元思路分析：

巩固内化A级

某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为8亿元，2022年利润为亿元．求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率.解:设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x，根据题意,得8（1+x）2＝15.68.解这个方程，得

x1＝＝40%，x2＝﹣（不合题意，舍去）.答：该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为40%.巩固内化B级

某公司今年7月份的生产成本为200万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，9月份的生产成本为162万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）预测10月份该公司的生产成本是否会跌破140万元？说明理由．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得200（1﹣x）2＝162，解这个方程，得

x1＝＝10%，x2＝（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为10%.（2）预测10月份的生产成本为：162×（1﹣10%）＝，＞140，答：预测该公司10月份的生产成本不会跌破140万元．思路分析：

巩固内化C级思路分析：某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵.求这个百分数.解：设这个百分数为x，根据题意，得

200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1400.

解这个方程，得x1=1=100％，x2=-4(不合题意，舍去)．

答：这个百分数为100％．面积问题3例3思路分析：

解：设金色纸边的宽度为xcm，则原画四周镶上金色纸边后的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm．根据题意，得解这个方程，得x1＝-60，x2＝10

当x＝-60时，不合题意，舍去．答：金色纸边的宽度10cm．（60+2x）(40+2x)＝60×40×2巩固内化A级思路分析：分别表示出三条小路的面积，从图上可以看出相加的时候重复加了2x2．可列方程求解．则小路总面积为：8x+8x+12x﹣2x2＝12×8﹣70，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，本方法难点为道路面积重复的部分要去掉．

巩固内化A级8x+8x+12x﹣2x2＝12×8﹣70思路分析：把小路的位置平移到如图所示的位置．则种植农作物的区域面积为：(12-2x)(8-x)＝70，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，本方法难点道路位置进行适当平移．

巩固内化A级(12-2x)(8-x)＝70巩固内化B级巩固内化B级思路分析：12×8-（12x×3+8x×3-9x2）(12-3x)(8-3x)巩固内化B级（2）若种植农作物总面积为45m2，请问通道的宽度为多少？巩固内化C级思路分析：解：（1）设与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（28+2﹣2x）米，根据题意，得x（28+2﹣2x）＝100.解这个方程，得

x1＝5，x2＝10.当x＝5时，28+2﹣2x＝28+2﹣2×5＝20＞15，不符合题意，舍去；当x＝10时，28+2﹣2x＝28+2﹣2×10＝10＜15，符合题意．答：这个矩形车棚相邻两边长都为10米.温馨提示：边框问题，所围成图形中的一边一般是由墙或其它建筑物组成，进行面积计算时，要特别注意墙或其它建筑物长度的限制．此题若设与墙平行的边长为xm，同学们可以尝试列出方程.思路分析：（2）设小路的宽度为y米，则剩余部分可合成长为（10﹣y）米，宽为（10﹣2y）米的矩形，根据题意，得（10﹣y）（10﹣2y）＝48，解得：y1＝2，y2＝13,13＞10,（不符合题意，舍去）．答：小路的宽度为2米．动点问题4思路分析：

例4

思路分析：

巩固内化A级

巩固内化B级思路分析：当0＜t＜2

巩固内化B级思路分析：当2＜t＜

巩固内化B级

巩固内化C级

思路分析：巩固内化C级

其他问题5交互问题1.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手45次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）.

2.在某次聚会上，每两个同学都互相交换了礼物，他们一共买了90份礼物，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）

握手其中任何两个人的握手只有一次.交换礼物每个人都要送出（x-1）个礼物BA古文情境问题北师大版数学九年级上册53页随堂练习《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相