傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

./联合大学本科毕业设计〔论文题题目傅里叶变换在信号与系统中的应用院系理学院专业班级07数学一班学生姓名刘帅学生学号200710050113指导教师佟玉霞20XX5月24日题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学帅学号3主要容、基本要求、主要参考资料等主要容傅里叶变换是一种重要的变换,且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次,掌握其在滤波,调制、解调,抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法,通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理,由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波,低通滤波,带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化,简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。参考资料[1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学20XX3月修订二版[2]《信号与系统》第二版上、下册君里、应启珩、为理著高等教育[3]《通信系统》第四版SimonHaykin著宋铁成、徐平平、徐智勇等译连丰审校电子工业[4]《信号与系统—连续与离散》第四版RodgerE.Ziemer等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业[5]《现代通信原理》亚雄主编电子工业[6]《信号与系统》乐正友著清华大学[7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编交通大学[8]《信号与线性系统》卫钢主编晶、徐琨、徐建民副主编电子科技大学[9]baike.baidu./view/191871.htm//百度百科傅里叶变换[10]《通信原理》第六版樊昌信丽娜编著国防工业[11]A．V．Oppenheim,A.S.WillskywithS.H.Nawab.Siganalsandsystems<Secondedition>.Prentice-Hall,1997.中译：树棠。信号与系统。交通工业大学完成期限指导教师专业负责人20XX11月1日目录1.引言12.傅里叶变换12.1傅里叶变换的提出及发展12.2傅里叶变换定义22.3傅里叶变换的分类3傅里叶变换的性质3.傅里叶变换在滤波技术中的应用43.1滤波的概念43.2理想选择性滤波器43.3系统的物理可实现性64.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用74.1调制与解调的原理84.2正弦调制过程94.3相干解调105.傅里叶变换在抽样技术中的应用115.1理想抽样115.2抽样的恢复135.3零阶抽样保持146.频分复用与时分复用177.结束语19参考文献19.1.引言傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。这方面的问题也称为傅立叶分析。傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。1822年法国数学家傅立叶<J．Fourier,1768—1830>．提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理．莫定了傅立叶变换的理论基础。进入20世纪以后。人们认识到,在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中,采用频率域<颍域>的分析方法较之经典的时同域<时域>方法有许多突出的优点。当今。傅立叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。随着计算机、数字集成电路技术的发展。在傅立叶变换方法中出现了所谓的"快速傅立叶变换"<F丌>．目前快速傅立叶变换的研究与应用已相当成熟,而且仍然在不断更新与发展。傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用。滤波、调制和抽样,将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能,产生新的较理想信号。另外通过调制,使不同频率,不同时域信号可同时发送,从而达到节省频带的目的,即所谓时分复用、频分复用。,电视等也都涉及到傅里叶的变换。傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史,涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。2.傅里叶变换2.1傅里叶变换的提出及发展1804年,法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要,开始从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中,发展了热流动方程,并且指出如何求解。在求解过程中,他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想,虽然缺乏严格的论证,但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响,成为傅里叶变换的起源。从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初,傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点,傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物,而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：〔1傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的数,它还是酉算子。〔2傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。〔3正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。〔4著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段。〔5离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出<其算法称为快速傅里叶变换算法<FFT>>。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2.2傅里叶变换定义若在任一有限区间上满足狄利克雷条件,且在〔－∞,＋∞上绝对可积〔如下积分收敛,即：〔1则有下式的傅立叶变换成立：〔2傅里叶逆变换：〔3其中,F<ω>称为的象函数,称作F<ω>的原函数。2.4傅里叶变换的分类连续傅里叶变换：一般情况下,若"傅立叶变换"一词的前面未加任何限定语,则指的是"连续傅里叶变换"。"连续傅里叶变换"将平方可积的函数f<t>表示成复指数函数的积分或级数形式,如式3。该式其实表示的是连续傅里叶变换,即将时间域的函数f<t>表示为频率域的函数F<ω>的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F<ω>表示为时间域的函数f<t>的积分形式。一般可称函数f<t>为原函数,而称函数F<ω>为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对<transformpair>。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换〔FractionalFourierTransform。当f<t>为奇函数<或偶函数>时,其余弦<或正弦>分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换<cosinetransform>或正弦转换<sinetransform>.另一个值得注意的性质是,当f<t>为纯实函数时,F<−ω>=F<ω>成立.离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数x<n>定义在离散点而非连续域,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换,将函数x<n>表示为下面的求和形式：〔4其中X<k>是离散傅里叶变换。直接使用这个公式计算,而快速傅里叶变换〔FFT可以将复杂度大大降低。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。3.傅里叶变换在滤波技术中的应用3.1滤波的概念利用电路容抗或感抗随频率变化的特性,对不同频率的输入信号产生不同的响应,让需要的某一频率的信号顺利的通过,而抑制不需要的其他频率信号,这一过程即为滤波,实现该过程的系统称为滤波器。设滤波器的输入,输出,则有滤波器系统的输入关系如下：<5>由时域卷积定理知,式5可转换为<6>其中：,,由式6知,借助傅里叶变换不仅使运算得到简化,而且为从频域上对信号进行研究,进行频谱分析提供了可能。又由式6知<7>其中称为系统函数,可完全表征系统的性质和特征。因此,若已知输入及要求的输出,对其分别进行傅里叶变换后,便可根据需要设计出适当的滤波系统,从而满足适当地满足实际需要。3.2理想选择性滤波器理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率围的复指数信号或正弦信号能无失真地通过,在频率围之外则给予彻底抑制。通常把信号能通过的频率围称为滤波器的通带,阻止信号通过的频率围称为阻带,通带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同,可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器,它们是信号和系统分析中重要的基本系统。1、理想低通滤波器理想低通滤波器是指能使某频率围的信号无失真的通过,而高于一定频率值的信号完全抑制的滤波器,其系统函数为1,<8>0,其中,是理想低通滤波器的截止频率。频谱如图1所示。图1理想低通滤波器的频谱2、理想高通滤波器理想高通滤波器与理想低通滤波器相对应,是指使高于某个频率值的信号无失真的通过而低于该频率的信号则完全抑制,其系统函数为1,<9>0,其中,是理想高通滤波器的截止频率。频谱如图2所示。图2理想高通滤波器频谱图3、理想带通滤波器理想带通滤波器是一个允许特定频段的信号波通过同时屏蔽其他频段的滤波器,其系统函数为1,〔100,或其中,称带通滤波器的低通截止频率,称带通滤波器的高通截止频率。频率响应如图3。图3理想带通滤波器频谱图4、理想带阻滤波器理想带阻滤波器与理想带通滤波器相对应是指衰减或抑制某一频率围的信号,而允许此频率围以外的频率的信号通过的滤波器,其系统函数为0,〔111,或频率响应如图4示。图4理想带阻滤波器频谱图3.3系统的物理可实现性为了简单,理想滤波器通常都定义成频域上具有实的和单位幅度的频率响应,且有零相位特性。实际上,上述所有理想滤波器的频率响应再乘,仍能让处于通带的信号无失真地通过,并完全抑制通带外的信号。根据傅里叶变换的时移性质,乘线性相移因子,只是使信号产生一个时间滞后,它们仍然是理想滤波器。为了和上述的零相位理想滤波器相区别,也可把具有线性相位理想滤波器。但是实际上,没有真正意义的理想滤波器。实际的滤波器无法完全过滤掉所设计的允许通过的频率围之外的频率的波。例如,在理想通带边界有一部分频率衰减的区域,不能完全过滤,这一曲线被称作滚降斜率<roll-off>。滚降斜率通常用dB度量来表示频率的衰减程度。一般情况下,滤波器的设计就是使这过渡带尽可能的窄,以便该滤波器能最大限度接近理想通带的设计。就时域特性而言,一个物理可实现系统必须是因果的即它的单位冲激响应在t<0时必须为零。从频域特性来看,如果满足平方可积的条件,即〔12图5实际带通滤波器幅度特性4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用在许多工程问题中,调制与解调的概念起着十分重要的作用,并有广泛的应用。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量,产生已调制信号,其实质是把各种信号的频谱搬移,使它们互不重叠地占据不同的频率围。在几乎所有实际通信系统中,信号从发送端到接收端,为实现有效、可靠和远距离的信号传输,都需要调制和解调。比如无线通信。调制过程将信号频谱搬移到任何所需的较高频率围,这就容易以电磁波形式辐射出去。调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的信号,这就意味着把基带信号〔信源转变为一个相对基带频率而言频率非常高的代通信号。该信号称为已调信号,而基带信号称为调制信号。调制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频率来实现。调制过程用于通信系统的发端。在接收端需将已调信号还原成要传输的原始信号,也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受者〔信宿处理和理解的过程。该过程称为解调。从另一方面讲,如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去,那么各电台所发出的信号频率就会相同,它们混在一起,收信者将无法选择所要接受的信号。解调则是相反的过程,即从已调制信号中恢复出原信号,实质是把各种信号的频谱搬移,使它们互不重叠地占据不同的频率围,也即信号分别依附于不同频率的载波上,接收机就可以分离出所需要频率的信号,不致互相干扰。4.1调制与解调的原理在无线电技术中,将一个称为载波的高频电振荡〔电流、电压的参数〔振幅、频率、相位按照欲传输的信号的特征变化的过程称为调制。低频信号〔指欲传输的信号辐射效率低,不能直接用于发射,调制的目是借助于高频电振荡将低频信号连带传送出去。不同的低频信号可以附载在不同频率的高频电振荡上同时传送,这样就可以充分利用无线电频谱同时传输许多路广播信号,而且它们之间不会相互干扰。根据高频载波的振幅、频率或相位随低频信号变化的特点,调制相应地分为调幅、调频或调相。此外,如果先用信号去调制脉冲序列的参数〔脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等,再用这组经过调制的脉冲序列去调制一个高频正弦波载波,这种调制方式称为脉冲调制。解调是调制的反过程,指将已调信号恢复为原始信号的过程。目前使用的解调方法有相干解调和非相干解调。这些方法能有效地解调出调制信号的全部特征〔幅度、频率、初相位。4.2正弦调制过程载波信号为,它的傅里叶变换是F[]=[]调制信号为,其频谱为G<>,占据-至的有限频带,将与进行时域相乘便可得到已调信号,如式〔14示：=对上式进行傅里叶变换并由傅里叶变换的时域卷积性质得：F[]==<1/2>*[]=1/2[]由此,信号的频谱被搬移到附近,实现了频谱的搬移。频谱搬移过程实现过程如图6示：图6调制原理方框及其频谱4.3相干解调设信号是接收端的本地载波信号,它与发送端的载波同频同相。与相乘的结果使频谱向左、右分别移动<并乘以系数1/2>,得到频谱,也可以从时域的相乘关系得到解释：=[]=1/2+1/2F[]==1/2+1/4[]再利用一个适当低通滤波器,滤除在频率位附近的分量,即可取出,完成解调。解调过程如图7示。图7相干解调方框图及频谱这种解调器称为相干解调〔或同步解调,需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波,这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波,可采用如下方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号A,这时,发送端的合成信号为[A+],如果A足够大,对于全部t,有A+>0,于是已调信号的包络检波器,即可提取包络,恢复,不需要本地载波。此方法可降低接受机的成本,但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机,因为需提供足够强的信号A之附加功率。在此种调制方法中,载波的振幅随信号成比例地改变,因而称为"振幅调制"或"调幅〔AM。也可以控制载波的频率或相位,使它们随信号成比例地变化,它们的原理也是使的频谱搬移。5.傅里叶变换在抽样技术中的应用抽样定理论述了在一定条件下,一个连续时间信号可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号。可以说,抽样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁。由于离散时间信号〔数字信号>的处理更为灵活、方便,在许多实际应用〔如数字通信系统等,首先将连续信号转换为相应的离散信号,并进行加工处理,然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。取样定理为连续信号与离散信号的互相转换提供了理论依据。通过傅里叶变换可以知道：一定条件下,一个连续时间信号或离散序列均可惟一地用其等间隔的样本值来表示,这种表示是完全和充分的。换言之,这组等间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息,且原信号可以由这组样本值完全恢复出来。5.1理想抽样一般地说,在没有任何附加条件下,不能指望一个连续函数都能惟一地由其一组等间隔的样本值来表征,因为在给定的等间隔时间点上,有无限多个信号都可产生一组相同的样本。然而,如果是带限的连续时间信号,且样本取得足够密,那么该信号就能惟一地由其样本值来表征,且能从这些样本值完全恢复出原信号。设原连续时间信号是一带限于的连续时间带限信号,即F[]=,且=0,<18>如果抽样间隔满足：<或=>2<19>则就惟一地由其样本值{x<n>,n=0,1,2……}所确定。抽样脉冲信号是一冲激信号,即<20>其时域波形及频谱如图5.1.2示。已抽样信号也是一个冲激串,每个冲激的强度等于以为间隔的样本值。即<21>它是通过图8所示的理想抽样来实现的。带限信号与周期的冲激串相乘,便可得到已抽样信号,即<22>相乘相乘图8理想抽样系统方框图图9〔a中画出了对某个理想抽样的时域波形。利用傅里叶变换可以在频域中直观观察该理想抽样过程。图9<b>画出了上述过程的频谱。抽样脉冲信号的频谱为<23>利用频域卷积性质,可得的频谱为<24>上示表明的频谱是的周期复制并乘以〔1/。图9〔a冲激串抽样时的信号波形〔b相应信号的频谱5.2抽样的恢复由图9中可以看出,如果抽样频率不小于2,已抽样信号的频谱是无重叠地周期重复。只要满足19式的条件,从频域上看,如实地在抽样频率的整数倍频率上重现,因此,可以用一个低通滤波器,把从中完全恢复或重建出来。该低通滤波器的频率响应为,=<25>0,其中,是理想低通滤波器的截止频率。频率响应如图10所示。为讨论方便,取相位特性为零,Ts是抽样脉冲序列的周期。图10低通滤波器H<w>的频谱图滤波器冲激响应表达式为=Sa<><26>若已抽样信号ƒs<t>为ƒs<t>=<27>利用时域卷积关系可求得输出信号,即原连续时间信号ƒ<t>ƒ<t>=ƒs<t>*=*Sa<>=<28>式28表明,连续时间信号可展开成Sa函数的无穷级数,级数的系数等于抽样值ƒ<nTs>。也可以说在抽样信号ƒs<t>的每个抽样值上画有一个峰值为ƒ<nTs>的Sa函数波形,由此合成的信号就是ƒ<t>。按照线性时不变系统的叠加性,ƒs<t>通过理想低通滤波器时,抽样序列的每个冲激信号产生一个响应,将这些响应叠加就可以还原ƒ<t>,从而达到由ƒs<t>恢复ƒ<t>的目的。5.3零阶抽样保持设是原连续时间信号,为抽样脉冲序列,是已抽样信号,它们波形图如图11所示。在抽样瞬间,脉冲序列对抽样,保持这一样本。经传输到达接收端后需要恢复出信号,=〔29>=1/〔30>式中为抽样周期,=2/是重复角频率,是ƒ<t>的频谱。零阶抽样保持系统零阶抽样保持系统f<t>fsop<t>图11零阶抽样保持框tttttTsf<t>fsop<t>fs<t>图12零阶抽样保持波形设零阶保持系统的系统函数为,即=u<t>-u<t-><31>其波形图如图13示。1fs<t>fso<t>0Tst图13系统函数h〔t的波形则输出信号可表示如下：=ƒs<t>*ho<t>〔32>式中的傅里叶变换式为F[]=Sa<ωTs/2>〔33由频域关系式：=F[]=•F[]=∑F<w-n>Sa<ω/2><34>可以看出,零阶抽样保持信号的频谱的基本特征仍然是F<w>频谱以周期重复,但是要乘上Sa<ω/2>函数,还附加了延时因子项。当F<w>频带受限且满足抽样定理时,在接收端引入具有如下补偿特性的低通滤波器/Sa<ω/2>,<|w|≤/2>Hor<w>=〔350,<|w|≥/2>图14补偿低通特性它的幅频特性|Hor<w>|和相频特性曲线如图14示。当信号通过此补偿滤波器后,即可恢复出原信号ƒ<t>。从频域解释,将与Hor<w>相乘,得到F<w>。一般情况下,在通信系统中,只要求幅频特性尽可能的满足补偿要求,而相频特性只要满足线性相移特性即可。6.频分复用与时分复用将若干路信号以某种方式汇合,统一在同一信道中传输称为多路复用。复用技术已经渗透到我们日常生活当中。像手机,它能够接受音频、视频等不同频率的信号,就离不了复用技术的应用。在近代通信系统中普遍采用多路复用技术。多路复用技术主要有频分复用和时分复用两种。频分复用是指用正弦幅度调制把各种信号的频谱搬移,使它们互不重叠地占据不同的频率围,也即信号分别附载于不同频率的载波上,这样就可以用同一信道传输。在接收端利用若干滤波器就可以将各路信号分离,再经解调即可还原为各路原始信号,图15示出频分复用原理方框图。通常,相加信号ƒ<t>还要进行第二次调制,在接受端将此信号解调后再经带通滤波器分路解调。时分复用的理论依据是抽样定理。由抽样定理可知,频带受限于-ƒm～+ƒm的信号,可由间隔为的抽样值惟一地确定。从这些瞬时抽样值可以恢复原始的连续信号。因此,允许只传送这些抽样值,信道仅在抽样瞬间被占用,其余的空闲时间可供传送第二路、第三路……等各路抽样信号使用。将各路信号的抽样值有序地排列起来就可以实现时分复用,在接收端,这些抽样信号值由适当的同步检测器分离。当然,实际传送的信号并非冲激抽样,可以占有一段时间。图16示出两路抽样信号有序地排列经同一信道传输〔时分复用的波形。对于频分复用系统,每个信号在所有时间里都存在于信道中并混杂在一起。但是,每一信号占据着不同的频率区间,此区间不被其他信号占用。在时分复用系统中,每一信号占据着不同的时间区间,此区间不被其他信号占用,但是所有信号的频谱可以具有同一频率区间的任何分量。从本质上讲,频分复用信号保留了频谱的个性,在时分复用信号中保留了波形的个性。由于信号完全由其时间域特性或完全由其频率域特性完全确定,因此,在接收机里总是可以在相应的域应用适当的技术将复用信号恢复分离。解调1解调2解调N带通1带通N带通2∑调制N调制2调制1f<t>信道gN<t>发送端〔af1<t>g1<t>cos<w1t>f2<t>g2<t>解调1解调2解调N带通1带通N带通2∑调制N调制2调制1f<t>信道gN<t>发送端〔af1<t>g1<t>cos<w1t>f2<t>g2<t>f<t>cos<w2t>信道fN<t>gN<t>cos<wNt><b>接收端fN<t>gN<t>