高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算课时提升作业 理试题

空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.2.(2016·长沙模拟)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=()A.9 B.-9 C.-3 D.3【解析】选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以QUOTE解得λ=-9.3.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是()A.(1,0,1) B.(0,1,0)C.(0,-1,0) D.(0,0,1)【解析】选C.设M(0,y,0),则有QUOTE=QUOTE,解得y=-1.4.(2016·黄山模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,点E是BC的中点,则QUOTE·QUOTE=()A.0 B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)·(QUOTE-QUOTE)=QUOTE(QUOTE·QUOTE-QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE-QUOTE)=QUOTE·QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=-QUOTE.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(QUOTE-QUOTE)-QUOTE;②(QUOTE+QUOTE)-QUOTE;③(QUOTE-QUOTE)-2QUOTE;④(QUOTE+QUOTE)+QUOTE.其中与向量QUOTE相等的是()A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】选A.①(QUOTE-QUOTE)-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE;②(QUOTE+QUOTE)-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE;③(QUOTE-QUOTE)-2QUOTE=QUOTE-2QUOTE≠QUOTE;④(QUOTE+QUOTE)+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE≠QUOTE,综上,①②符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖北四校联考)向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=QUOTE,且a⊥b,则x+y=.【解析】由|a|=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得x=0,即a=(1,2,0),又a⊥b,则a·b=0,即2+2y=0,解得y=-1,从而x+y=-1.答案:-17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=QUOTE,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得QUOTE的坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=QUOTE,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),EQUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·宜昌模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(QUOTE+QUOTE+QUOTE)2=3QUOTE2;②QUOTE·(QUOTE-QUOTE)=0;③向量QUOTE与向量QUOTE的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|QUOTE·QUOTE·QUOTE|.其中正确的序号是.【解析】①中,(QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE2+QUOTEQUOTE2+QUOTEQUOTE2=3QUOTEQUOTE2,故①正确;②中,QUOTE-QUOTE=QUOTE,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但QUOTE与QUOTE的夹角为120°,故③不正确,④中,|QUOTE·QUOTE·QUOTE|=0,故④也不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·周口模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以QUOTE,QUOTE为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=QUOTE,且a分别与QUOTE,QUOTE垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:QUOTE=(-2,-1,3),QUOTE=(1,-3,2),所以cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以以QUOTE,QUOTE为边的平行四边形的面积:S=2×QUOTE|QUOTE||QUOTE|sin<QUOTE,QUOTE>=14×QUOTE=7QUOTE.(2)设a=(x,y,z),由题意得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).10.(2016·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=QUOTE,b=QUOTE.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c∥QUOTE,求c的坐标.【解析】(1)因为QUOTE=(1,1,0),QUOTE=(-1,0,2),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=QUOTE,|b|=QUOTE.所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)QUOTE=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,c∥QUOTE,所以QUOTE=3,存在实数λ使得c=λQUOTE,即QUOTE联立解得QUOTE或QUOTE所以c=±(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2016·开封模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|QUOTE|取最小值时,x的值为()A.19 B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.|QUOTE|=QUOTE=QUOTE,所以当x=QUOTE时,|QUOTE|min=QUOTE.2.(5分)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,则△BCD的形状是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.无法确定【解题提示】通过QUOTE·QUOTE,QUOTE·QUOTE,QUOTE·QUOTE的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.QUOTE·QUOTE=(QUOTE-QUOTE)·(QUOTE-QUOTE)=QUOTE·QUOTE-QUOTE·QUOTE-QUOTE·QUOTE+QUOTE2=QUOTEQUOTE2>0,同理QUOTE·QUOTE>0,QUOTE·QUOTE>0.故△BCD为锐角三角形.【加固训练】如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()A.(1,1,1) B.QUOTEC.QUOTE D.(1,1,2)【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则EQUOTE.所以QUOTE=(0,0,a),QUOTE=QUOTE,|QUOTE|=a,|QUOTE|=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).3.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2a B.QUOTEa C.a D.QUOTEa【解题提示】选QUOTE,QUOTE,QUOTE为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<QUOTE,QUOTE>=60°,且QUOTE·QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTE=2a.4.(12分)已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),a·c=9,b·c=-4.(1)若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标.(2)是否存在向量c,使得c与z轴共线?试说明理由.【解题提示】(1)设c=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,m)(m≠0),依题意a·c=9,b·c=-4,c垂直于空间直角坐标系的z轴,即可求得c的坐标.(2)设c=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,n)(n≠0),则(x1,y1,z1)=λ(0,0,n),c=(0,0,λn)(n≠0),同(1)求得λ与n的关系式即可作出判断.【解析】(1)设c=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,m)(m≠0),则由题意得:解得QUOTE即c=QUOTE.(2)设c=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,n)(n≠0),则由题意,知(x1,y1,z1)=λ(0,0,n)=(0,0,λn)(n≠0),所以x1=0,y1=0,z1=λn,即c=(0,0,λn)(n≠0),又a·c=9,b·c=-4,即QUOTE⇒QUOTE显然矛盾,所以不存在满足题意的向量c,使得c与z轴共线.5.(13分)(2016·广州模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求QUOTE的模.(2)求cos<QUOTE,QUOTE>的值.(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】如图,建立空间直角坐标系Oxyz,点C为坐标原点O.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|QUOTE|==QUOTE.(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).所以