高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时提升作业 理试题

直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·新乡模拟)已知直线x-y-5=0与圆x2+y2-4x+6y-12=0相交于A,B两点,则弦AB的长为()A.5 B.8 C.10 D.12【解析】选C.圆x2+y2-4x+6y-12=0可化为(x-2)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(2,-3),半径为5,直线x-y-5=0经过圆心(2,-3),所以弦AB的长为10.2.(2016·厦门模拟)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.3.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为QUOTE的点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解题提示】先求圆心到直线的距离,然后再依据曲线上的点到直线l的距离,确定点的个数.【解析】选B.(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,圆心到直线l的距离d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.要使曲线上的点到直线l的距离为QUOTE,此时对应的点在直径上,故有两个点.4.若直线QUOTE+QUOTE=1通过点M(cosα,sinα),则()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1C.QUOTE+QUOTE≤1 D.QUOTE+QUOTE≥1【解题提示】注意点M(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切.【解析】选D.显然点M(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,直线QUOTE+QUOTE=1过点M,即直线与圆相交或相切.所以QUOTE≤1,所以QUOTE+QUOTE≥1.5.(2016·许昌模拟)若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为()A.-3QUOTE B.-3 C.3 D.3QUOTE【解析】选D.易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;圆C2的圆心为C2(0,b),半径为r2=1.因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.因为QUOTE≤QUOTE,所以a+b≤3QUOTE(当且仅当a=b=QUOTE时取“=”),所以a+b的最大值为3QUOTE.6.(2016·濮阳模拟)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()A.QUOTE,-4 B.-QUOTE,4C.QUOTE,4 D.-QUOTE,-4【解析】选A.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以QUOTE解得k=QUOTE,b=-4.7.(2016·郑州模拟)动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2QUOTE+1总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8π B.有最小值2πC.有最小值3π D.有最小值4π【解析】选D.设圆心为C(a,b),半径为r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即a=QUOTEb2,所以圆心为QUOTE,r=QUOTEb2+1,圆心到直线y=x+2QUOTE+1的距离为d=QUOTE≤QUOTE+1,所以b≤-2(2QUOTE+3)或b≥2,当b=2时,rmin=QUOTE×4+1=2,所以Smin=πr2=4π.【加固训练】过点P(QUOTE,0)引直线l与曲线y=QUOTE相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.QUOTE B.-QUOTE C.±QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为S△AOB=QUOTE|OA||OB|sin∠AOB=QUOTEsin∠AOB≤QUOTE.当∠AOB=QUOTE时,△AOB面积最大.此时O到AB的距离d=QUOTE.设AB方程为y=k(x-QUOTE)(k<0),即kx-y-QUOTEk=0.由d=QUOTE=QUOTE得k=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·衡水模拟)已知P(x,y)为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|3x+4y-3|的最大值为.【解析】设t=3x+4y-3,即3x+4y-3-t=0,由圆心(2,0)到直线3x+4y-3-t=0的距离d=1可得:QUOTE=1,解得t=8或t=-2,由题意可得-2≤t≤8,所以0≤|3x+4y-3|≤8.答案:89.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.【解析】圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即QUOTE≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤QUOTE.故k的最大值是QUOTE.答案:QUOTE【加固训练】(2016·黄冈模拟)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.【解析】由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的QUOTE,即QUOTE=QUOTE,QUOTE=cos45°=QUOTE,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.答案:210.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.则(1)不论k为何实数,直线l和圆C总有个交点.(2)直线l被圆C截得的最短弦长等于.【解题提示】直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而组成的方程组解的个数;最短弦长可用代数法或几何法判定.【解析】(1)由QUOTE消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,因为Δ=[-(2-4k)]2+28(k2+1)>0,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线l被圆C截得的弦长|AB|=QUOTE|x1-x2|=2QUOTE=2QUOTE,令t=QUOTE,则tk2-4k+(t-3)=0,当t=0时,k=-QUOTE,当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=QUOTE的最大值为4,此时|AB|最小为2QUOTE.答案:(1)两(2)2QUOTE【一题多解】解答本题还可以用如下两种方法解决:方法一:(1)圆心C(1,-1)到直线l的距离d=QUOTE,圆C的半径R=2QUOTE,R2-d2=12-QUOTE=QUOTE,而在S=11k2-4k+8中,Δ=(-4)2-4×11×8<0,故11k2-4k+8>0对k∈R恒成立,所以R2-d2>0,即d<R,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)由平面几何知识,知|AB|=2QUOTE=2QUOTE,下同原题解析.答案:(1)两(2)2QUOTE方法二:(1)因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|=QUOTE<2QUOTE=R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有和AC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2QUOTE=2QUOTE,即直线l被圆C截得的最短弦长为2QUOTE.答案:(1)两(2)2QUOTE(20分钟40分)1.(5分)若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为()A.QUOTE B.2 C.4 D.2QUOTE【解析】选B.圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R).化为:(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R),化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1,因为圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,所以QUOTE=3-1,即a2+b2=4,ab≤QUOTE(a2+b2)=2.所以ab的最大值为2.2.(5分)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|QUOTE+QUOTE|≥QUOTE|QUOTE|,那么k的取值范围是()A.(QUOTE,+∞) B.[QUOTE,+∞)C.[QUOTE,2QUOTE) D.[QUOTE,2QUOTE)【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),由QUOTE消去y,得2x2-2kx+k2-4=0.所以x1+x2=k,x1·x2=QUOTE,Δ=4k2-8(k2-4)>0,所以0<k<2QUOTE.QUOTE+QUOTE=(x1+x2,y1+y2)=(x1+x2,2k-x1-x2)=(k,k),QUOTE=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,x1-x2),由题意可得:QUOTE≥QUOTE·QUOTE,解得k≥QUOTE.所以k∈[QUOTE,2QUOTE).3.(5分)(2016·太原模拟)已知:点P是直线l:3x+4y+13=0上的动点,PA是圆C:x2+y2-2x-2y-2=0的一条切线,A是切点,那么△PAC的面积的最小值是.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心坐标为C(1,1),半径R=2,则△PAC的面积S=QUOTEPA·AC=QUOTE×2PA=PA,所以要使△PAC的面积最小,则PA最小,即PC最小即可,此时最小值为圆心C到直线的距离d=QUOTE=QUOTE=4,即PC=d=4,此时PA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.即△PAC的面积最小值为S=2QUOTE.答案:2QUOTE【加固训练】设M={(x,y)|y=QUOTE,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-QUOTE)2=a2,a>0},则M∩N≠∅时,a的最大值与最小值分别为,.【解析】因为集合M={(x,y)|y=QUOTE,a>0},所以集合M表示以O(0,0)为圆心,半径为r1=QUOTEa的上半圆.同理,集合N表示以O′(1,QUOTE)为圆心,半径为r2=a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示,当两圆外切时,由QUOTEa+a=2,得a=2QUOTE-2;当两圆内切时,由QUOTEa-a=2,得a=2QUOTE+2.所以a的最大值为2QUOTE+2,最小值为2QUOTE-2.答案:2QUOTE+22QUOTE-24.(12分)(2016·平顶山模拟)已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)求圆心坐标和半径长.(2)过点M作直线与圆交于A,B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程.【解析】(1)圆x2+y2-4x+2y-3=0化为标准方程为:(x-2)2+(y+1)2=8,圆心为P(2,-1),半径r=2QUOTE.(2)①若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0.设AB的中点为N,则|PN|=QUOTE=QUOTE,由|PN|2+QUOTE=r2,得k=-QUOTE