高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式课时提升作业 理试题

直线的交点坐标与距离公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为()A.3x-4y-6=0 B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0 D.4x+3y+6=0【解析】选C.由方程组QUOTE得QUOTE即P(0,2).因为l⊥l3,所以kl=-QUOTE,所以直线l的方程为y-2=-QUOTEx,即4x+3y-6=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选C.因为直线l过直线l1和l2的交点,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.因为l与l3垂直,所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以λ=11,所以直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.2.平面直角坐标系中与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A.y=2x-1 B.y=-2x+1C.y=-2x+3 D.y=2x-3【解析】选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),B关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程QUOTE=QUOTE,即y=2x-3.3.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为()A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】选D.由题知直线斜率存在,设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得QUOTE=QUOTE,所以k=2或k=-QUOTE.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选D.满足条件的直线有以下两种可能;一是直线l过点P(3,4)且与AB所在的直线平行,而kAB=QUOTE=-QUOTE,此时直线方程为y-4=-QUOTE(x-3),即2x+3y-18=0;二是直线l过点P(3,4)与AB的中点D(1,0),此时直线方程为QUOTE=QUOTE,即2x-y-2=0.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.4.在平面直角坐标系中,过点P(-1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()A.x-2y+5=0 B.2x+y+4=0C.x-3y+7=0 D.3x-y-5=0【解析】选A.所求直线过点P且与OP垂直时满足条件,因为直线OP的斜率为kOP=-2,故所求直线的斜率为QUOTE,所以所求直线方程为y-2=QUOTE(x+1),即x-2y+5=0.5.若函数y=ax+8与y=-QUOTEx+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=()A.QUOTE B.-QUOTE C.2 D.-2【解析】选C.直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-QUOTEx+b为同一直线,故得QUOTE所以a+b=2.6.(2016·郑州模拟)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2 B.2QUOTE C.4 D.2QUOTE【解题提示】注意QUOTE可以看作点(m,n)到点(0,0)的距离.【解析】选C.因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,所以欲求m2+n2的最小值,可先求QUOTE的最小值.而QUOTE表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.所以m2+n2的最小值为4.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选C.由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于AQUOTE,BQUOTE,在Rt△OAB中,OA=QUOTE,OB=QUOTE,斜边AB=QUOTE=QUOTE,斜边上的高h即为所求m2+n2最小值的算术平方根,所以S△OAB=QUOTE·OA·OB=QUOTEAB·h,所以h=QUOTE=QUOTE=2,所以m2+n2的最小值为h2=4.【加固训练】(2016·惠州模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么QUOTE的最小值为.【解析】QUOTE表示点(x,y)到原点的距离,根据数形结合得QUOTE的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2016·开封模拟)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解题提示】可建立平面直角坐标系,利用直线的方程以及对称知识即可解决.【解析】选D.以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线.由P1,P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y=QUOTE(x+t),设△ABC的重心为G,易知GQUOTE.因为重心G在光线RQ上,所以有QUOTE=QUOTE,即3t2-4t=0.所以t=0或t=QUOTE,因为0<t<4,所以t=QUOTE,即AP=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.直线(2λ+1)x+(λ-1)y+1=0(λ∈R),恒过定点.【解析】整理为x-y+1+λ(2x+y)=0,令QUOTE得QUOTE所以恒过定点QUOTE.答案:QUOTE【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.由QUOTE得QUOTE即定点坐标为QUOTE.9.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.【解析】由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD对角线的交点到四点距离之和最小,直线AC的方程为y-2=2(x-1),直线BD的方程为y-5=-(x-1),由QUOTE得交点坐标为(2,4).答案:(2,4)10.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时,直线l的方程为.【解析】设点B(2,-1)到直线l的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l垂直于直线AB,kl=-QUOTE=QUOTE,所以直线l的方程为y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=0(20分钟40分)1.(5分)(2016·长治模拟)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组QUOTE的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,所以QUOTE即QUOTE因此关于x和y的方程组QUOTE有一组解为QUOTE【加固训练】已知直线l1:y=xsinα和直线l2:y=2x+c,则直线l1与l2()A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕l1上某点旋转可以重合【解析】选D.直线l1:y=xsinα的斜率为sinα,而sinα∈[-1,1],即直线l1的斜率k1∈[-1,1],直线l2:y=2x+c的斜率k2=2,因为k1≠k2,所以直线l1与l2不可能平行,即两直线必然相交,则直线l1与l2通过绕l1上某点旋转可以重合.2.(5分)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4QUOTE【解析】选A.依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得QUOTE=QUOTE⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为QUOTE=3QUOTE.3.(5分)若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么QUOTE+QUOTE的最小值等于.【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求QUOTE+QUOTE的最小值.【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)QUOTE=QUOTE×QUOTE≥QUOTE×(5+2×2)=QUOTE,当且仅当QUOTE即m=QUOTE,n=QUOTE,等号成立.答案:QUOTE4.(12分)(2016·郑州模拟)已知点A(3,3),B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.【解析】解方程组QUOTE得交点P(1,2).①若点A,B在直线l的同侧,则l∥AB.而kAB=QUOTE=-QUOTE,由点斜式得直线l的方程为y-2=-QUOTE(x-1),即x+2y-5=0.②若点A,B在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点QUOTE,由两点式得直线l的方程为QUOTE=QUOTE,即x-6y+11=0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=0.【加固训练】m为何值时,直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能围成三角形?【解析】先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况.①若m≠0,则k1=-4,k2=-m,k3=QUOTE,当m=4时,k1=k2;当m=-QUOTE时,k1=k3;而k2与k3不可能相等.②若m=0,则l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此时三条直线能围成三角形.所以当m=4或m=-QUOTE时,三条直线不能围成三角形.再考虑三条直线共点的情况,此时m≠0且m≠4且m≠-QUOTE.将y=-mx代入4x+y-4=0,得x=QUOTE,即l1与l2交于点PQUOTE,将P点坐标代入l3的方程得QUOTE+QUOTE-4=0,解得m=-1或m=QUOTE.所以当m=-1或m=QUOTE时,l1,l2,l3交于一点,不能围成三角形.综上所述,当m为-1或-QUOTE或QUOTE或4时,三条直线不能围成三角形.5.(13分)已知直线l:3x-y-1=0.(1)在直线l上求一点P,使得点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.(2)在直线l上求一点Q,使得点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解析】(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B′,连接AB′并延长交l于点P,此时点P满足|PA|-|PB|的值最大.设点B′的坐标为(a,b),则kBB′·kl=-1,即QUOTE·3=-1.所以a+3b-12=0.①又由于线段BB′的中点坐标为QUOTE,且在直线l上,所以3×QUOTE-QUOTE-1=0,即3a-b-6=0.②①